$a$は定数で，$1<a<e$とする．曲線$C_1:y=x+\log x$上に点$\mathrm{P}(a,\ a+\log a)$，曲線$C_2:y=-\log x$上に点$\mathrm{Q}(a,\ -\log a)$がある．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)$\mathrm{P}$における$C_1$の接線を$\ell_1$，$\mathrm{Q}$における$C_2$の接線を$\ell_2$とする．このとき，$3$直線$x=0,\ \ell_1,\ \ell_2$で囲まれた部分の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(2)$C_1$と$3$直線$y=0,\ x=1,\ x=a$で囲まれた部分を$R_1$，$C_2$と2直線$y=0,\ x=a$で囲まれた部分を$R_2$とする．また，$R_1,\ R_2$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体をそれぞれ$B_1,\ B_2$とする．このとき，$B_1$から$B_2$を除いた部分の体積$V$を求めよ．

定数$k$を実数とする．座標平面上に4つの定点A$(\overrightarrow{a})$，B$(\overrightarrow{b})$，C$(\overrightarrow{c})$，D$(\overrightarrow{d})$がある．$|\overrightarrow{a}|=2,\ |\overrightarrow{b}|=1,\ |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}$とし，$\overrightarrow{d}=4\overrightarrow{b}$とする．このとき，Cを中心とする円$K$上の任意の点をP$(\overrightarrow{p})$とし，$K$はベクトル方程式
\[ (\overrightarrow{p}-k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{p}+3\overrightarrow{b})=0 \]
で表されるとする．また，Dを通り，$\overrightarrow{a}$に平行な直線を$\ell$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．
(2)$K$の半径が$\sqrt{3}$となる$k$の値を求めよ．
(3)Cから$\ell$に下ろした垂線の足をHとする．Hの位置ベクトル$\overrightarrow{h}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．
(4)$\ell$が，$K$と共有点をもつとするとき，$k$のとり得る値の範囲を求めよ．

定数$k$を実数とする．座標平面上に4つの定点A$(\overrightarrow{a})$，B$(\overrightarrow{b})$，C$(\overrightarrow{c})$，D$(\overrightarrow{d})$がある．$|\overrightarrow{a}|=2,\ |\overrightarrow{b}|=1,\ |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}$とし，$\overrightarrow{d}=4\overrightarrow{b}$とする．このとき，Cを中心とする円$K$上の任意の点をP$(\overrightarrow{p})$とし，$K$はベクトル方程式
\[ (\overrightarrow{p}-k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{p}+3\overrightarrow{b})=0 \]
で表されるとする．また，Dを通り，$\overrightarrow{a}$に平行な直線を$\ell$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．
(2)$K$の半径が$\sqrt{3}$となる$k$の値を求めよ．
(3)Cから$\ell$に下ろした垂線の足をHとする．Hの位置ベクトル$\overrightarrow{h}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．
(4)$\ell$が，$K$と共有点をもつとするとき，$k$のとり得る値の範囲を求めよ．

定数$a$を正の実数とする．放物線$C:y=ax^2$上の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とする．$\mathrm{P}$における$C$の法線を$\ell$とし，$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積を$S$とする．ただし，$t>0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$C$と$\ell$の$\mathrm{P}$以外の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$の$x$座標を$a,\ t$を用いて表せ．
(2)$S$を$a,\ t$を用いて表せ．
(3)$S$が最小となるときの$t$を$a$を用いて表せ．

次の問いに答えよ．

(1)$a$を正の定数とするとき，関数
\[ f(x)=\log (x+\sqrt{a+x^2}) \]
の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$t=\sqrt{3}\tan \theta$とおくことにより，定積分
\[ I=\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}} \]
を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$であるすべての$x$に対して，不等式
\[ \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}} \geqq k \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{3+t^2}} \]
が成り立つための実数$k$の範囲を求めよ．ただし，$\log 3=1.10$とする．

$r$と$\theta$を$-1<r<1,\ 0 \leqq \theta < 2\pi$を満たす定数とする．行列$A=r \left( \begin{array}{rr}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$に対して，次の各問に答えよ．

(1)行列$E-A$は逆行列を持つことを証明し，$(E-A)^{-1}$を求めよ．
(2)全ての自然数$n$について
\[ A^n=r^n \left( \begin{array}{rr}
\cos n \theta & -\sin n \theta \\
\sin n \theta & \cos n \theta
\end{array} \right) \]
が成立することを数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)$n$を2以上の自然数とする．$(E+A+\cdots +A^{n-1})(E-A)$を簡単な式にせよ．
(4)次の極限値を求めよ．
\[ ① \quad \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n-1}r^k \cos k\theta ② \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n-1}r^k \sin k\theta \]

$(1)$の問いに答えよ．また，$(2)$から$(6)$までの空欄をうめよ．

(1)次の積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．

(i) $\displaystyle \int_1^e x \log x \, dx=[　]$
(ii) $\displaystyle \int \sin^3 x \cos x \, dx=[　]$

(2)$y=\sqrt[5]{2x-1}$のとき，$\displaystyle \frac{dy}{dx}=[　]$である．
(3)方程式$2^{x^2-1}4^{x+2}=8^{x+3}$の解は$x=[　]$である．
(4)方程式$\log_3(x-5)=2-\log_3(x+3)$の解は$x=[　]$である．
(5)2直線$y=3x$と$\displaystyle y=\frac{x}{3}$のなす角を$\theta$とするとき，$\tan \theta=[　]$である．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(6)座標平面上で次の連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
|x|+|y| \leqq 2 \\
x^2+y^2 \geqq 2
\end{array}
\right. \]
の表す領域の面積は[　]である．

$a$を定数とするとき，関数$f(x)=2^{2x}-(4+a)2^{x+1}+16a$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle a=-\frac{1}{2}$のとき，$f(x)=0$をみたす$x$を求めよ．
(2)$a>-4$のとき，$f(x)$の最小値を$a$で表せ．

次の問いに答えよ．

(1)$(\log_5 7+\log_{25}7) \log_7 x=6$をみたす$x$の値を求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2+8x+c=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty (\alpha-\beta)^{2k}=3$のとき，定数$c$の値を求めよ．
(3)袋の中に青球$5$個，緑球$4$個，黄球$2$個，赤球$2$個，白球$2$個，黒球$1$個が入っている．この袋にさらに$n$個の赤球と$5-n$個の白球を加える．この袋から同時に$2$個の球を取り出すとき，取り出された$2$個の球が同じ色でない確率が$\displaystyle \frac{5}{6}$となる$n$の値を求めよ．

辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さを，それぞれ，$4,\ 2,\ b$とする$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AC}$と$\angle \mathrm{ABC}$の$2$等分線の交点を$\mathrm{D}$とする．$\alpha=\angle \mathrm{BAC}$，$\beta=\angle \mathrm{ABC}$，$\gamma=\angle \mathrm{ACB}$，$\displaystyle \overrightarrow{u}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+(1-t) \overrightarrow{\mathrm{BC}}+\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{CD}}$とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，$t$は定数である．

(1)$\triangle \mathrm{BCD}$の面積$S_1$と$\triangle \mathrm{ABD}$の面積$S_2$の比$\displaystyle p=\frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|$と$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|$の比$\displaystyle r=\frac{|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|}$の値を求めよ．
(3)$w=|\overrightarrow{u}|^2+4bt \cos \alpha+16t(1-t) \cos \beta+2b(1-t) \cos \gamma$を$b$と$t$を用いて表せ．
(4)$t=p$のとき，$z=3|\overrightarrow{u}|+4w-b^2$の値を求めよ．