次の設問の$[　]$に適当な数を入れなさい．

$x$の$2$次方程式$x^2+3ax+2a^2-a+3=0$が虚数解をもつような定数$a$の値の範囲は$[　]<a<[　]$である．

次の問いに答えなさい．

$2$つの関数$f(x)=x^2+3$と$g(x)=4x^2-8 |x|$を考える．$xy$座標平面において，$y=f(x)$のグラフを$C_1$とし，$y=g(x)$のグラフを$C_2$とする．また，$C_1$上の点$(2,\ f(2))$における接線を$\ell$とする．

(1)$\ell$の$y$切片を求めよ．
(2)$\ell$と$C_2$の共有点の個数を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$の共有点のうち，第$1$象限にある点の座標を求めよ．
(4)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(5)$xy$座標平面上の関数$y=4x^2-8 |x|+ax+1$のグラフと$x$軸との共有点が$4$個になるように，定数$a$の値の範囲を定めよ．

方程式$x^2-2ax+a+2=0$の解の$1$つが正，もう$1$つの解が負のとき，定数$a$の値の範囲を求めると$[ソ]$である．

この方程式の解のすべて（重解のときも含む）が$-3<x<3$の範囲内にあるとき，定数$a$の値の範囲を求めると$[タ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)次の極限値を求めると，$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^2+x-2}{x^3-1}=[ト]$である．
(2)次の式を満たす関数$f(x)$と定数$a$を求めると，$f(x)=[ナ]$，$a=[ニ]$である．
\[ \int_x^a f(t) \, dt=x^2-2x-3 \]

$m$は定数とする．次の連立不等式について下の各問に答えよ．
\[ \left\{ \begin{array}{lr}
x^2-3mx+2m^2<0 \phantom{\displaystyle\frac{2}{2}} & \cdots\cdots ① \\
2x^2-(m-4)x-2m<0 \phantom{\displaystyle\frac{2}{2}} & \cdots\cdots ②
\end{array} \right. \]
において，

(1)$①$の左辺の式を因数分解せよ．
(2)$②$の左辺の式を因数分解せよ．
(3)$①$の不等式を満たす$x$の範囲を求めよ．
(4)$②$の不等式を満たす$x$の範囲を求めよ．
(5)この連立不等式の整数解がただ$1$つとなるときの整数解と，そのときの$m$の範囲を求めよ．

\begin{mawarikomi}{50mm}{
（図は省略）
}
図のように放物線
\[ C:y=\frac{1}{2}x^2+ax+b \]
（$a,\ b$は定数）が$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=x^2-4x+5 \]
に接している．

ここで，$2$つの曲線が交点$\mathrm{P}$で接するとは，$\mathrm{P}$における接線が一致することを意味し，このとき，$\mathrm{P}$を接点という．
このとき，$C$と$C_1$の接点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[$43$][$44$]}{[$45$][$46$]}$，$C$と$C_2$の接点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[$47$][$48$]}{[$49$][$50$]}$である．また，$3$つの放物線に囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[$51$][$52$]}{[$53$][$54$]}$である．

\end{mawarikomi}

$r$を$r>1$である定数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，点$\mathrm{P}(a,\ b)$は，原点$\mathrm{O}$を除く円$C:(x-r)^2+y^2=r^2$上を動くとする．点$\mathrm{P}$に対して点$\mathrm{Q}(p,\ q)$は，$\mathrm{OP} \times \mathrm{OQ}=1$を満たし，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は一直線上にあり，$p>0$であるとする．また点$\mathrm{Q}$に対して，点$\mathrm{R}(p,\ -q)$を考える．このとき次の問いに答えよ．

(1)$p,\ q$をそれぞれ$a,\ b$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が円$C$上を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡を$r$を用いて表せ．
(3)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{R}$の距離$d$を$a,\ r$を用いて表せ．
(4)$r$が$\displaystyle r^2>\frac{1}{4}(2+\sqrt{5})$を満たすとき，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{R}$の距離$d$の最小値とそのときの$a$の値を$r$を用いて表せ．

次の問いに答えなさい．

点$\mathrm{O}$を原点とする$xy$座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 4)$と点$\mathrm{B}(5,\ 2)$，および直線$\ell$がある．

(1)$\ell$の方程式は$\displaystyle y=\frac{1}{2}(-x+1)$である．

(i) 点$\mathrm{P}$が$\ell$上の点であるとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の値を求めよ．
(ii) $\ell$上の$\mathrm{P}$に対し，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2$のとり得る最小の値を求めよ．

(2)$a$を$1$以上の定数とする．$xy$座標平面上の点$\mathrm{Q}$が，線分$\mathrm{AQ}$の中点$\mathrm{M}$を用いて，
\[ a|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|^2=4|\overrightarrow{\mathrm{OM}}|^2+4|\overrightarrow{\mathrm{BM}}|^2 \]
を満たしながら動くとき，その$\mathrm{Q}$の軌跡を$C$とする．

(i) $C$が直線となるときの$a$の値を求めよ．
(ii) $a=1$のとき，$C$上の$\mathrm{Q}$に対し，$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|^2$のとり得る最小の値を求めよ．

次の$[　]$にあてはまる答えを記せ．

(1)$a$と$\theta$を実数とし，$2$次方程式$x^2-\sqrt{7}ax+3a^3=0$の$2$つの解を$\sin \theta$，$\cos \theta$とする．このとき，$a$の値は$[ア]$または$[イ]$である．ただし，$[ア]<[イ]$とする．さらに，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$であれば，$\sin \theta=[ウ]$である．
(2)$x,\ y,\ z$を$0$以上の整数とする．このとき

(i) $x+y+z=9$を満たす$x,\ y,\ z$の組の総数は$[エ]$である．
(ii) $x+y+z \leqq 9$を満たす$x,\ y,\ z$の組の総数は$[オ]$である．
(iii) $x+y+z \leqq 9$を満たす$x,\ y,\ z$の組のうち，$x,\ y,\ z$がすべて相異なるものの総数は$[カ]$である．

(3)$a$を$0 \leqq a \leqq 1$を満たす定数とする．直線$y=1-x$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形を直線$y=a$の周りに$1$回転してできる回転体の体積を$V(a)$とする．このとき$V(a)$は，$\displaystyle 0 \leqq a<\frac{1}{2}$ならば$[キ]$，$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq a \leqq 1$ならば$[ク]$と$a$を用いて表される．また，$V(a)$のとり得る値の範囲は$[ケ]$である．
(4)$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．
このとき，$\cos \angle \mathrm{MCN}$の値は$[コ]$である．また，頂点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{MNC}$に下ろした垂線と平面$\mathrm{MNC}$の交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=[サ] \overrightarrow{a}+[シ] \overrightarrow{b}-[ス] \overrightarrow{c}$である．さらに，直線$\mathrm{OH}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{F}$とするとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{OH}}{\mathrm{HF}}$の値は$[セ]$である．

放物線$C:y=-x^2+ax$（$a$は正の定数）と直線$\ell:y=mx+n$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わっている．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$x$座標を$\alpha,\ \beta$とすると，$0<\alpha<\beta<2a$を満たしている．$x=0$，$C$，$\ell$で囲まれた図形の面積を$T_1$，$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積を$T_2$，$x=2a$，$C$，$\ell$で囲まれた図形の面積を$T_3$とする．このとき，
\[ T_2=T_1+T_3 \]
が満たされるとする．以下の各設問に答えよ．

(1)$T_2=T_1+T_3$から，$a,\ m,\ n$の間に関係式
\[ [　]=0 \]
が成り立つ（もっとも簡潔な式で書くこと）．
(2)$T_2=T_1+T_3$を満たす直線$\ell$は$m,\ n$によらず定点$[　]$を通る．この定点を$a$を用いて表せ．
(3)$T_2$の値が最小となるのは直線$\ell$が$y=[　]$のときであり，そのとき$T_2$の値は$[　]$である．
(4)$(3)$のとき$\alpha,\ \beta$の値は
\[ \alpha=[　]a,\quad \beta=[　]a \]
である．