「定数」について
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(10ページ目:全1257問中91問~100問を表示)![明治大学](./img/univ/meiji.png)
次の設問の$[ ]$に適当な数を入れなさい.
$x$の$2$次方程式$x^2+3ax+2a^2-a+3=0$が虚数解をもつような定数$a$の値の範囲は$[ ]<a<[ ]$である.
$x$の$2$次方程式$x^2+3ax+2a^2-a+3=0$が虚数解をもつような定数$a$の値の範囲は$[ ]<a<[ ]$である.
![大阪薬科大学](./img/univ/osakayakka.png)
次の問いに答えなさい.
$2$つの関数$f(x)=x^2+3$と$g(x)=4x^2-8 |x|$を考える.$xy$座標平面において,$y=f(x)$のグラフを$C_1$とし,$y=g(x)$のグラフを$C_2$とする.また,$C_1$上の点$(2,\ f(2))$における接線を$\ell$とする.
(1)$\ell$の$y$切片を求めよ.
(2)$\ell$と$C_2$の共有点の個数を求めよ.
(3)$C_1$と$C_2$の共有点のうち,第$1$象限にある点の座標を求めよ.
(4)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ.
(5)$xy$座標平面上の関数$y=4x^2-8 |x|+ax+1$のグラフと$x$軸との共有点が$4$個になるように,定数$a$の値の範囲を定めよ.
$2$つの関数$f(x)=x^2+3$と$g(x)=4x^2-8 |x|$を考える.$xy$座標平面において,$y=f(x)$のグラフを$C_1$とし,$y=g(x)$のグラフを$C_2$とする.また,$C_1$上の点$(2,\ f(2))$における接線を$\ell$とする.
(1)$\ell$の$y$切片を求めよ.
(2)$\ell$と$C_2$の共有点の個数を求めよ.
(3)$C_1$と$C_2$の共有点のうち,第$1$象限にある点の座標を求めよ.
(4)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ.
(5)$xy$座標平面上の関数$y=4x^2-8 |x|+ax+1$のグラフと$x$軸との共有点が$4$個になるように,定数$a$の値の範囲を定めよ.
![神戸薬科大学](./img/univ/kobeyakka.png)
方程式$x^2-2ax+a+2=0$の解の$1$つが正,もう$1$つの解が負のとき,定数$a$の値の範囲を求めると$[ソ]$である.
この方程式の解のすべて(重解のときも含む)が$-3<x<3$の範囲内にあるとき,定数$a$の値の範囲を求めると$[タ]$である.
この方程式の解のすべて(重解のときも含む)が$-3<x<3$の範囲内にあるとき,定数$a$の値の範囲を求めると$[タ]$である.
![神戸薬科大学](./img/univ/kobeyakka.png)
次の問いに答えよ.
(1)次の極限値を求めると,$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^2+x-2}{x^3-1}=[ト]$である.
(2)次の式を満たす関数$f(x)$と定数$a$を求めると,$f(x)=[ナ]$,$a=[ニ]$である.
\[ \int_x^a f(t) \, dt=x^2-2x-3 \]
(1)次の極限値を求めると,$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^2+x-2}{x^3-1}=[ト]$である.
(2)次の式を満たす関数$f(x)$と定数$a$を求めると,$f(x)=[ナ]$,$a=[ニ]$である.
\[ \int_x^a f(t) \, dt=x^2-2x-3 \]
![明治大学](./img/univ/meiji.png)
$m$は定数とする.次の連立不等式について下の各問に答えよ.
\[ \left\{ \begin{array}{lr}
x^2-3mx+2m^2<0 \phantom{\displaystyle\frac{2}{2}} & \cdots\cdots ① \\
2x^2-(m-4)x-2m<0 \phantom{\displaystyle\frac{2}{2}} & \cdots\cdots ②
\end{array} \right. \]
において,
(1)$①$の左辺の式を因数分解せよ.
(2)$②$の左辺の式を因数分解せよ.
(3)$①$の不等式を満たす$x$の範囲を求めよ.
(4)$②$の不等式を満たす$x$の範囲を求めよ.
(5)この連立不等式の整数解がただ$1$つとなるときの整数解と,そのときの$m$の範囲を求めよ.
\[ \left\{ \begin{array}{lr}
x^2-3mx+2m^2<0 \phantom{\displaystyle\frac{2}{2}} & \cdots\cdots ① \\
2x^2-(m-4)x-2m<0 \phantom{\displaystyle\frac{2}{2}} & \cdots\cdots ②
\end{array} \right. \]
において,
(1)$①$の左辺の式を因数分解せよ.
(2)$②$の左辺の式を因数分解せよ.
(3)$①$の不等式を満たす$x$の範囲を求めよ.
(4)$②$の不等式を満たす$x$の範囲を求めよ.
(5)この連立不等式の整数解がただ$1$つとなるときの整数解と,そのときの$m$の範囲を求めよ.
![慶應義塾大学](./img/univ/keio.png)
\begin{mawarikomi}{50mm}{
(図は省略)
}
図のように放物線
\[ C:y=\frac{1}{2}x^2+ax+b \]
($a,\ b$は定数)が$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=x^2-4x+5 \]
に接している.
ここで,$2$つの曲線が交点$\mathrm{P}$で接するとは,$\mathrm{P}$における接線が一致することを意味し,このとき,$\mathrm{P}$を接点という.
このとき,$C$と$C_1$の接点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[$43$][$44$]}{[$45$][$46$]}$,$C$と$C_2$の接点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[$47$][$48$]}{[$49$][$50$]}$である.また,$3$つの放物線に囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[$51$][$52$]}{[$53$][$54$]}$である.
\end{mawarikomi}
(図は省略)
}
図のように放物線
\[ C:y=\frac{1}{2}x^2+ax+b \]
($a,\ b$は定数)が$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=x^2-4x+5 \]
に接している.
ここで,$2$つの曲線が交点$\mathrm{P}$で接するとは,$\mathrm{P}$における接線が一致することを意味し,このとき,$\mathrm{P}$を接点という.
このとき,$C$と$C_1$の接点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[$43$][$44$]}{[$45$][$46$]}$,$C$と$C_2$の接点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[$47$][$48$]}{[$49$][$50$]}$である.また,$3$つの放物線に囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[$51$][$52$]}{[$53$][$54$]}$である.
\end{mawarikomi}
![同志社大学](./img/univ/doshisha.png)
$r$を$r>1$である定数とする.$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において,点$\mathrm{P}(a,\ b)$は,原点$\mathrm{O}$を除く円$C:(x-r)^2+y^2=r^2$上を動くとする.点$\mathrm{P}$に対して点$\mathrm{Q}(p,\ q)$は,$\mathrm{OP} \times \mathrm{OQ}=1$を満たし,$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$は一直線上にあり,$p>0$であるとする.また点$\mathrm{Q}$に対して,点$\mathrm{R}(p,\ -q)$を考える.このとき次の問いに答えよ.
(1)$p,\ q$をそれぞれ$a,\ b$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{P}$が円$C$上を動くとき,点$\mathrm{R}$の軌跡を$r$を用いて表せ.
(3)$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{R}$の距離$d$を$a,\ r$を用いて表せ.
(4)$r$が$\displaystyle r^2>\frac{1}{4}(2+\sqrt{5})$を満たすとき,$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{R}$の距離$d$の最小値とそのときの$a$の値を$r$を用いて表せ.
(1)$p,\ q$をそれぞれ$a,\ b$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{P}$が円$C$上を動くとき,点$\mathrm{R}$の軌跡を$r$を用いて表せ.
(3)$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{R}$の距離$d$を$a,\ r$を用いて表せ.
(4)$r$が$\displaystyle r^2>\frac{1}{4}(2+\sqrt{5})$を満たすとき,$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{R}$の距離$d$の最小値とそのときの$a$の値を$r$を用いて表せ.
![大阪薬科大学](./img/univ/osakayakka.png)
次の問いに答えなさい.
点$\mathrm{O}$を原点とする$xy$座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 4)$と点$\mathrm{B}(5,\ 2)$,および直線$\ell$がある.
(1)$\ell$の方程式は$\displaystyle y=\frac{1}{2}(-x+1)$である.
(i) 点$\mathrm{P}$が$\ell$上の点であるとき,内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の値を求めよ.
(ii) $\ell$上の$\mathrm{P}$に対し,$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2$のとり得る最小の値を求めよ.
(2)$a$を$1$以上の定数とする.$xy$座標平面上の点$\mathrm{Q}$が,線分$\mathrm{AQ}$の中点$\mathrm{M}$を用いて,
\[ a|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|^2=4|\overrightarrow{\mathrm{OM}}|^2+4|\overrightarrow{\mathrm{BM}}|^2 \]
を満たしながら動くとき,その$\mathrm{Q}$の軌跡を$C$とする.
(i) $C$が直線となるときの$a$の値を求めよ.
(ii) $a=1$のとき,$C$上の$\mathrm{Q}$に対し,$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|^2$のとり得る最小の値を求めよ.
点$\mathrm{O}$を原点とする$xy$座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 4)$と点$\mathrm{B}(5,\ 2)$,および直線$\ell$がある.
(1)$\ell$の方程式は$\displaystyle y=\frac{1}{2}(-x+1)$である.
(i) 点$\mathrm{P}$が$\ell$上の点であるとき,内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の値を求めよ.
(ii) $\ell$上の$\mathrm{P}$に対し,$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2$のとり得る最小の値を求めよ.
(2)$a$を$1$以上の定数とする.$xy$座標平面上の点$\mathrm{Q}$が,線分$\mathrm{AQ}$の中点$\mathrm{M}$を用いて,
\[ a|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|^2=4|\overrightarrow{\mathrm{OM}}|^2+4|\overrightarrow{\mathrm{BM}}|^2 \]
を満たしながら動くとき,その$\mathrm{Q}$の軌跡を$C$とする.
(i) $C$が直線となるときの$a$の値を求めよ.
(ii) $a=1$のとき,$C$上の$\mathrm{Q}$に対し,$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|^2$のとり得る最小の値を求めよ.
![北里大学](./img/univ/kitazato.png)
次の$[ ]$にあてはまる答えを記せ.
(1)$a$と$\theta$を実数とし,$2$次方程式$x^2-\sqrt{7}ax+3a^3=0$の$2$つの解を$\sin \theta$,$\cos \theta$とする.このとき,$a$の値は$[ア]$または$[イ]$である.ただし,$[ア]<[イ]$とする.さらに,$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$であれば,$\sin \theta=[ウ]$である.
(2)$x,\ y,\ z$を$0$以上の整数とする.このとき
(i) $x+y+z=9$を満たす$x,\ y,\ z$の組の総数は$[エ]$である.
(ii) $x+y+z \leqq 9$を満たす$x,\ y,\ z$の組の総数は$[オ]$である.
(iii) $x+y+z \leqq 9$を満たす$x,\ y,\ z$の組のうち,$x,\ y,\ z$がすべて相異なるものの総数は$[カ]$である.
(3)$a$を$0 \leqq a \leqq 1$を満たす定数とする.直線$y=1-x$と$x$軸,$y$軸で囲まれた図形を直線$y=a$の周りに$1$回転してできる回転体の体積を$V(a)$とする.このとき$V(a)$は,$\displaystyle 0 \leqq a<\frac{1}{2}$ならば$[キ]$,$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq a \leqq 1$ならば$[ク]$と$a$を用いて表される.また,$V(a)$のとり得る値の範囲は$[ケ]$である.
(4)$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある.辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$,辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{N}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく.
このとき,$\cos \angle \mathrm{MCN}$の値は$[コ]$である.また,頂点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{MNC}$に下ろした垂線と平面$\mathrm{MNC}$の交点を$\mathrm{H}$とするとき,$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて表すと,$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=[サ] \overrightarrow{a}+[シ] \overrightarrow{b}-[ス] \overrightarrow{c}$である.さらに,直線$\mathrm{OH}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{F}$とするとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{OH}}{\mathrm{HF}}$の値は$[セ]$である.
(1)$a$と$\theta$を実数とし,$2$次方程式$x^2-\sqrt{7}ax+3a^3=0$の$2$つの解を$\sin \theta$,$\cos \theta$とする.このとき,$a$の値は$[ア]$または$[イ]$である.ただし,$[ア]<[イ]$とする.さらに,$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$であれば,$\sin \theta=[ウ]$である.
(2)$x,\ y,\ z$を$0$以上の整数とする.このとき
(i) $x+y+z=9$を満たす$x,\ y,\ z$の組の総数は$[エ]$である.
(ii) $x+y+z \leqq 9$を満たす$x,\ y,\ z$の組の総数は$[オ]$である.
(iii) $x+y+z \leqq 9$を満たす$x,\ y,\ z$の組のうち,$x,\ y,\ z$がすべて相異なるものの総数は$[カ]$である.
(3)$a$を$0 \leqq a \leqq 1$を満たす定数とする.直線$y=1-x$と$x$軸,$y$軸で囲まれた図形を直線$y=a$の周りに$1$回転してできる回転体の体積を$V(a)$とする.このとき$V(a)$は,$\displaystyle 0 \leqq a<\frac{1}{2}$ならば$[キ]$,$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq a \leqq 1$ならば$[ク]$と$a$を用いて表される.また,$V(a)$のとり得る値の範囲は$[ケ]$である.
(4)$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある.辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$,辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{N}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく.
このとき,$\cos \angle \mathrm{MCN}$の値は$[コ]$である.また,頂点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{MNC}$に下ろした垂線と平面$\mathrm{MNC}$の交点を$\mathrm{H}$とするとき,$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて表すと,$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=[サ] \overrightarrow{a}+[シ] \overrightarrow{b}-[ス] \overrightarrow{c}$である.さらに,直線$\mathrm{OH}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{F}$とするとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{OH}}{\mathrm{HF}}$の値は$[セ]$である.
![明治大学](./img/univ/meiji.png)
放物線$C:y=-x^2+ax$($a$は正の定数)と直線$\ell:y=mx+n$が$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$で交わっている.$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の$x$座標を$\alpha,\ \beta$とすると,$0<\alpha<\beta<2a$を満たしている.$x=0$,$C$,$\ell$で囲まれた図形の面積を$T_1$,$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積を$T_2$,$x=2a$,$C$,$\ell$で囲まれた図形の面積を$T_3$とする.このとき,
\[ T_2=T_1+T_3 \]
が満たされるとする.以下の各設問に答えよ.
(1)$T_2=T_1+T_3$から,$a,\ m,\ n$の間に関係式
\[ [ ]=0 \]
が成り立つ(もっとも簡潔な式で書くこと).
(2)$T_2=T_1+T_3$を満たす直線$\ell$は$m,\ n$によらず定点$[ ]$を通る.この定点を$a$を用いて表せ.
(3)$T_2$の値が最小となるのは直線$\ell$が$y=[ ]$のときであり,そのとき$T_2$の値は$[ ]$である.
(4)$(3)$のとき$\alpha,\ \beta$の値は
\[ \alpha=[ ]a,\quad \beta=[ ]a \]
である.
\[ T_2=T_1+T_3 \]
が満たされるとする.以下の各設問に答えよ.
(1)$T_2=T_1+T_3$から,$a,\ m,\ n$の間に関係式
\[ [ ]=0 \]
が成り立つ(もっとも簡潔な式で書くこと).
(2)$T_2=T_1+T_3$を満たす直線$\ell$は$m,\ n$によらず定点$[ ]$を通る.この定点を$a$を用いて表せ.
(3)$T_2$の値が最小となるのは直線$\ell$が$y=[ ]$のときであり,そのとき$T_2$の値は$[ ]$である.
(4)$(3)$のとき$\alpha,\ \beta$の値は
\[ \alpha=[ ]a,\quad \beta=[ ]a \]
である.