負でない実数を$a$とする．$xy$平面上で$\displaystyle 0 \leqq x \leqq a,\ 0 \leqq y \leqq \frac{1}{1+x}$を満たす領域を$A$とし，$A$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V_1$，$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)$V_1$を求めよ．
(2)$V_2$を求めよ．
(3)$V_1-V_2$が最大となるときの$a$の値を$p$とおく．$p$を求め，$p<1$を示せ．
(4)$p<a<1$において$V_1=V_2$となる$a$が存在することを示せ．ただし，$\log 2<0.7$を使用してもよい．

単位行列$E$の実数倍ではない行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$を考える．$A$で表わされる$xy$平面上の移動を$f$とする．

(1)$A^2=kE$を満たす実数$k$が存在するための必要十分条件は，$a+d=0$であることを示せ．
(2)$a+d=0$のとき，原点Oとは異なる点Pで，$f(P)$が直線OP上にあるものが存在すれば，$a^2+bc \geqq 0$であることを示せ．
(3)$a+d=0$かつ$a^2+bc \geqq 0$であるとする．このとき$\lambda=\sqrt{a^2+bc}$とおけば，$(A-\lambda E)(A+\lambda E)=O$が成り立つことを示せ．ただし，$O$は零行列とする．
(4)(3)の仮定のもとで，$\lambda=\sqrt{a^2+bc}$とおく．原点Oとは異なる点Pで，$\text{Q}=f(P)$とすれば，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{OP}}$となるものが存在することを示せ．

$A$を成分が実数である2次の正方行列，$E$を2次の単位行列とする．数列$\{a_n\}$を漸化式
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n+2^n,\quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
によって定める．$\displaystyle b_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．また，座標平面上の点P$_n(x_n,\ y_n)$を
\[ \biggl( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr),\quad \biggl( \begin{array}{c}
x_{n+1} \\
y_{n+1}
\end{array} \biggr)=A^{b_n}\biggl( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \biggr),\quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
によって定める．以下の問いに答えよ．

(1)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$A$は$\sqrt{2}A^2=(1+\sqrt{3})A-\sqrt{2}E$を満たすとする．$A$の逆行列$A^{-1}$が存在することを示せ．
(3)(2)，かつ，$\displaystyle x_2=\sqrt{\frac{1}{2}},\ y_2=\sqrt{\frac{3}{2}}$のとき，$x_3,\ y_3$を求めよ．ただし，$A^{-1}$が存在することを証明なしに用いてよい．
(4)(3)のとき，$x_{n+1}=x_1,\ y_{n+1}=y_1$となる最小の自然数$n$を求めよ．