次の$[　]$にあてはまる適切な数値を記入せよ．

(1)数直線上を動く点$\mathrm{P}$が原点の位置にある．$2$個のさいころを同時に投げる試行を$\mathrm{T}$とし，試行$\mathrm{T}$の結果によって，$\mathrm{P}$は次の規則で動く．
（規則）$2$個のさいころの出た目の積が偶数ならば$+2$だけ移動し，奇数ならば$+1$だけ移動する．
試行$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行ったときの$\mathrm{P}$の座標を$x_n$とすると，$x_1=2$となる確率は$[ア]$であり，$x_3=3$かつ$x_4=5$となる確率は$[イ]$である．また，$\mathrm{P}$が座標$4$以上の点に初めて到達するまで試行$\mathrm{T}$を繰り返し行うとき，試行回数の期待値は$[ウ]$である．
(2)平面上に$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=|2 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$をみたしている．このとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=[エ]$である．また，実数$s,\ t$が条件$1 \leqq s+3t \leqq 3$，$s \geqq 0$，$t \geqq 0$をみたしながら動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定められた点$\mathrm{P}$の存在する範囲の面積は$[オ]$である．

関数$y=|(x+1)(x-2)|$のグラフと直線$y=ax+b$が$4$個の異なる共有点をもつとする．このとき，点$\mathrm{P}(a,\ b)$の存在する領域を図示し，その面積を求めよ．

$a,\ d$は$ad \neq 0$をみたす実数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -1 \\
0 & d
\end{array} \right)$の表す$1$次変換（移動）を$f$とし，以下の$2$つの条件をみたす直線$\ell$がただ$1$つ存在するときを考える．

$(ⅰ)$ $\ell$は$\mathrm{O}$を通る．
$(ⅱ)$ $f$によって，$\ell$上の点はすべて$\ell$と垂直に交わるある直線$m$上に移される．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a$と$d$の関係式を求めよ．
(2)$d>0$とする．$\ell$上に$\mathrm{O}$からの距離が$1$で$x$座標が正となる点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．また，直線$\mathrm{PQ}$と$y$軸が交わる点を$\mathrm{R}$とするとき，線分$\mathrm{OR}$の長さが最小となるように$a$と$d$の値を定めよ．

次の文中の$[ア]$～$[ホ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい．

点$\mathrm{A}$の座標を$(4,\ 0)$，点$\mathrm{B}$の座標を$(0,\ 3)$とし，点$\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$を通る直線$L$と点$\mathrm{A}$で接する半径$r$の円を考える．このような円は，直線$L$より上の領域と下の領域にそれぞれ存在する．直線$L$より上の領域に存在する円を$C_1$，下の領域に存在する円を$C_2$とする．また，点$\mathrm{B}$を通る円$C_1$へのもう$1$本の接線が円と接する点を$\mathrm{P}_1$，同じく，点$\mathrm{B}$を通る円$C_2$へのもう$1$本の接線が円と接する点を$\mathrm{P}_2$とする．
（図は省略）
(1)円の半径$r$が線分$\mathrm{AB}$の長さ$R$と等しいとする．
円$C_1$の中心の座標は$([ア],\ [イ])$，円$C_2$の中心の座標は$([ウ],\ [エ])$である．
また，点$\mathrm{P}_1$の座標は$([オ],\ [カ])$，点$\mathrm{P}_2$の座標は$([キ],\ [ク])$である．
(2)円の半径$r$が線分$\mathrm{AB}$の長さ$R$の$2$倍であるとする．
円$C_1$の中心の座標は$([ケ][コ],\ [サ])$，円$C_2$の中心の座標は$([シ],\ [ス])$である．
点$\mathrm{B}$と円$C_1$の中心を通る直線は，線分$\mathrm{AP}_1$を垂直二等分する．その交点を$\mathrm{Q}_1$とする．同様に，点$\mathrm{B}$と円$C_2$の中心を通る直線は，線分$\mathrm{AP}_2$を垂直二等分する．その交点を$\mathrm{Q}_2$とする．
点$\mathrm{B}$と円$C_1$の中心を通る直線の式は$\displaystyle y=\frac{[セ]}{[ソ]}x+[タ]$であり，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}_1$を通る直線の式は，$\displaystyle y=-\frac{[ソ]}{[セ]}x+[チ]$と表すことができる．
同様に，点$\mathrm{B}$と円$C_2$の中心を通る直線の式は$\displaystyle y=\frac{[ツ][テ]}{[ト]}x+[タ]$であり，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}_2$を通る直線の式は，$\displaystyle y=-\frac{[ト]}{[ツ][テ]}x+\frac{[ナ]}{[ニ][ヌ]}$と表すことができる．
点$\mathrm{Q}_2$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ネ]}{[ノ]},\ \frac{[ハ]}{[ノ]} \right)$，点$\mathrm{P}_2$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ヒ][フ]}{[ヘ]},\ \frac{[ホ]}{[ヘ]} \right)$となる．

$\triangle \mathrm{OAB}$において$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．$2$つの正の数$s,\ t$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$となるように点$\mathrm{C}$を定める．また，線分$\mathrm{AC}$および線分$\mathrm{BC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とし，直線$\mathrm{OM}$および直線$\mathrm{ON}$が線分$\mathrm{AB}$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．$|\overrightarrow{a}|=2$，$|\overrightarrow{b}|=3$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=5$のとき，次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{AB}$の長さ，および$\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S_1$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$s$，$t$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$s$，$t$を用いて表せ．
(4)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S_2$とする．$S_2$を$s,\ t$を用いて表せ．
(5)$\displaystyle S_2=\frac{1}{4}S_1$となるための$s,\ t$の条件を求め，$s,\ t$がその条件をみたしながら動くとき，点$\mathrm{C}$の存在する範囲を求めよ．

座標空間において$3$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 4)$，$\mathrm{B}(a,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{C}(x,\ y,\ 0)$をとる．ただし$a$は正の実数とする．次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$となる条件を$a,\ x,\ y$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$が直交する条件を$a,\ x,\ y$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$かつ$\angle \mathrm{ABC}$が直角となる点$\mathrm{C}$が存在する$a$の値の範囲を求めよ．

水平面に高さ$10 \, \mathrm{m}$の線分$\mathrm{AB}$が垂直に立っている（点$\mathrm{A}$が水平面上）．

(1)水平面上の点$\mathrm{P}$から$\mathrm{B}$を見上げる角度が${30}^\circ$のとき，$\mathrm{AP}$を求めよ．
(2)水平面上の点$\mathrm{Q}$から$\mathrm{B}$を見上げる角度が${30}^\circ$以上${60}^\circ$以下であるとき，$\mathrm{Q}$の存在する領域の面積を求めよ．
(3)水平面上$1 \, \mathrm{m}$の高さの点$\mathrm{R}$から$\mathrm{B}$を見上げる角度が${30}^\circ$以上${60}^\circ$以下であるとき，$\mathrm{R}$の存在する領域の面積を求めよ．

座標平面において，$x$座標，$y$座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ．いま，$4$つの格子点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(a,\ b+4)$，$\mathrm{C}(0,\ b+4)$を考える．ただし，$a$と$b$は互いに素な自然数とする．

(1)線分$\mathrm{OA}$上には，点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$以外の格子点は存在しないことを示せ．
(2)四角形$\mathrm{OABC}$の$4$辺上に格子点はいくつあるか．
(3)四角形$\mathrm{OABC}$の内部（辺，頂点は含まない）に格子点はいくつあるか．

関数$f(x)=x^3+ax^2+bx$が$x=\alpha$で極大値，$x=\beta$で極小値をとるとき，次の各問に答えよ．

(1)極大値と極小値がともに存在するための条件を，$a$と$b$を用いて表せ．
(2)$\alpha+\beta$を，$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$f(\alpha)+f(\beta)$を，$a$と$b$を用いて表せ．
(4)$f(\alpha)+f(\beta)=0$が成り立つための条件を，$a$と$b$を用いて表せ．

$xy$平面上に$3$点$\mathrm{A}(-3,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 0)$，$\mathrm{C}(c,\ 0) (c>0)$がある．

(1)$\mathrm{PA}:\mathrm{PB}=2:1$となる点$\mathrm{P}$は，点$([ア],\ [イ])$を中心とする半径$[ウ]$の円を描く．
(2)$\mathrm{PA}:\mathrm{PB}:\mathrm{PC}=4:2:1$となるような点$\mathrm{P}$が存在するのは$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]} \leqq c \leqq \frac{[カ]}{[キ]}$のときである．