「奇数」について
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私立 早稲田大学 2014年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$1$つのサイコロを$3$回投げたとき，$1$の目が奇数回出る確率は$[シ]$である．
(2)袋の中に赤玉$8$個，白玉$6$個の合計$14$個の玉が入っている．この袋から一度に$6$個の玉を取り出したとき，赤玉が$2$個，白玉が$4$個取り出される確率は$[ス]$である．
(3)袋の中に赤玉$n-7$個，白玉$7$個の合計$n$個の玉が入っている．ただし$n \geqq 10$とする．この袋から一度に$5$個の玉を取り出したとき，赤玉が$3$個，白玉が$2$個取り出される確率を$P_n$とする．$P_n$が最大となる$n$の値は$[セ]$である．
(1)$1$つのサイコロを$3$回投げたとき，$1$の目が奇数回出る確率は$[シ]$である．
(2)袋の中に赤玉$8$個，白玉$6$個の合計$14$個の玉が入っている．この袋から一度に$6$個の玉を取り出したとき，赤玉が$2$個，白玉が$4$個取り出される確率は$[ス]$である．
(3)袋の中に赤玉$n-7$個，白玉$7$個の合計$n$個の玉が入っている．ただし$n \geqq 10$とする．この袋から一度に$5$個の玉を取り出したとき，赤玉が$3$個，白玉が$2$個取り出される確率を$P_n$とする．$P_n$が最大となる$n$の値は$[セ]$である．
私立 吉備国際大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$(\sqrt{2}-1)^2-(\sqrt{2}-1)(\sqrt{8}+1)$を計算せよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=1$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$のとき，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(3)連立不等式$2-3x \leqq 5,\ 2(x-1)>3x-5$を解け．
(4)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$のうちから異なる$3$個の数字を並べて$3$桁の整数をつくる．奇数はいくつできるか．
(5)$2$次関数$y=x^2+2ax+4$は$x=1$のとき最小値をとる．その最小値を求めよ．
(1)$(\sqrt{2}-1)^2-(\sqrt{2}-1)(\sqrt{8}+1)$を計算せよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=1$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$のとき，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(3)連立不等式$2-3x \leqq 5,\ 2(x-1)>3x-5$を解け．
(4)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$のうちから異なる$3$個の数字を並べて$3$桁の整数をつくる．奇数はいくつできるか．
(5)$2$次関数$y=x^2+2ax+4$は$x=1$のとき最小値をとる．その最小値を求めよ．
私立 広島工業大学 2014年 第3問数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{1}{2}a_n & (a_n \text{が偶数のとき}) \\
5a_n+5 \phantom{\frac{[ ]}{2}} & (a_n \text{が奇数のとき})
\end{array} \right. \]
で定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5,\ a_6,\ a_7,\ a_8,\ a_9$を求めよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^{36} a_k$を求めよ．
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{1}{2}a_n & (a_n \text{が偶数のとき}) \\
5a_n+5 \phantom{\frac{[ ]}{2}} & (a_n \text{が奇数のとき})
\end{array} \right. \]
で定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5,\ a_6,\ a_7,\ a_8,\ a_9$を求めよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^{36} a_k$を求めよ．
私立 倉敷芸術科学大学 2014年 第4問$m,\ n$を自然数とする．命題「$m^2+n^2$が奇数$\Longrightarrow$積$mn$は偶数」について，次の問いに答えよ．
(1)この命題の対偶を書け．
(2)$(1)$の対偶を証明することにより，上の命題を証明せよ．
(1)この命題の対偶を書け．
(2)$(1)$の対偶を証明することにより，上の命題を証明せよ．
私立 金沢工業大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$p=(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2$，$q=(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2$のとき$p+q=[アイ]$，$pq=[ウ]$，$p^2+q^2=[エオカ]$である．
(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{r}
|2x-9| \leqq 5 \\
9-2x \leqq 4
\end{array} \right.$の解は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]} \leqq x \leqq [ケ]$である．
(3)$(2x-1)^5(y-2)^4$の展開式における$x^2y^3$の項の係数は$[コサシ]$である．
(4)${0}^\circ<\theta<{90}^\circ$で，$\displaystyle \tan \theta=\frac{4}{3}$のとき，
\[ \frac{\sin (\theta+{90}^\circ)+\tan (\theta+{90}^\circ)}{\sin ({180}^\circ-\theta)+\tan ({180}^\circ-\theta)}=\frac{[ス]}{[セソ]} \]
である．
(5)$p,\ q$を定数とし，$q<0$とする．$2$次関数$y=px^2+qx+2q$のグラフの頂点の座標が$(-4q,\ -40)$のとき，$\displaystyle p=\frac{[タ]}{[チ]}$，$q=[ツテ]$である．
(6)赤玉が$5$個，白玉が$3$個入っている袋がある．この袋の中から玉を同時に$2$個取り出すとき，少なくとも$1$個が白玉である確率は$\displaystyle \frac{[ト]}{[ナニ]}$である．
(7)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$個のさいころを同時に投げて，それぞれの出る目を$a,\ b,\ c$とする．このとき，積$abc$が奇数になる組$(a,\ b,\ c)$は$[ヌネ]$組あり，偶数になる組$(a,\ b,\ c)$は$[ノハヒ]$組ある．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=1:3$となるように点$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{AB}$上に，点$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{AC}$上にとる．線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とすると，$\displaystyle \triangle \mathrm{PQR}=\frac{[フ]}{[ヘホ]} \triangle \mathrm{BCR}$である．
(1)$p=(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2$，$q=(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2$のとき$p+q=[アイ]$，$pq=[ウ]$，$p^2+q^2=[エオカ]$である．
(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{r}
|2x-9| \leqq 5 \\
9-2x \leqq 4
\end{array} \right.$の解は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]} \leqq x \leqq [ケ]$である．
(3)$(2x-1)^5(y-2)^4$の展開式における$x^2y^3$の項の係数は$[コサシ]$である．
(4)${0}^\circ<\theta<{90}^\circ$で，$\displaystyle \tan \theta=\frac{4}{3}$のとき，
\[ \frac{\sin (\theta+{90}^\circ)+\tan (\theta+{90}^\circ)}{\sin ({180}^\circ-\theta)+\tan ({180}^\circ-\theta)}=\frac{[ス]}{[セソ]} \]
である．
(5)$p,\ q$を定数とし，$q<0$とする．$2$次関数$y=px^2+qx+2q$のグラフの頂点の座標が$(-4q,\ -40)$のとき，$\displaystyle p=\frac{[タ]}{[チ]}$，$q=[ツテ]$である．
(6)赤玉が$5$個，白玉が$3$個入っている袋がある．この袋の中から玉を同時に$2$個取り出すとき，少なくとも$1$個が白玉である確率は$\displaystyle \frac{[ト]}{[ナニ]}$である．
(7)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$個のさいころを同時に投げて，それぞれの出る目を$a,\ b,\ c$とする．このとき，積$abc$が奇数になる組$(a,\ b,\ c)$は$[ヌネ]$組あり，偶数になる組$(a,\ b,\ c)$は$[ノハヒ]$組ある．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=1:3$となるように点$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{AB}$上に，点$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{AC}$上にとる．線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とすると，$\displaystyle \triangle \mathrm{PQR}=\frac{[フ]}{[ヘホ]} \triangle \mathrm{BCR}$である．
私立 近畿大学 2014年 第3問$xy$平面上の点$\mathrm{P}$の$x$座標，$y$座標をそれぞれ$\mathrm{P}_x$，$\mathrm{P}_y$と書く．$\mathrm{P}_x$，$\mathrm{P}_y$がともに整数であるような点$\mathrm{P}$を格子点という．次の問に答えよ．
(1)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(18,\ 12)$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$がある．線分$\mathrm{OA}$上にある格子点の個数を求めよ．ただし両端$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$も線分$\mathrm{OA}$上の点とする．
(2)$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}(18,\ 0)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$の周または内部にある格子点の個数を求めよ．
(3)$n$を正の整数とする．$2$点$\mathrm{C}(n,\ 0)$，$\mathrm{D}(0,\ n)$を考える．格子点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{OCD}$の周または内部を動くとき$\mathrm{P}_x$の総和を$m_1$とおく．また$|\mathrm{P|_x-\mathrm{P}_y}$の総和を$n$が偶数のとき$m_2$，$n$が奇数のとき$m_3$とする．$m_1$，$m_2$，$m_3$を$n$の式で表せ．ただし解答は$an^3+bn^2+cn+d$のように$n$の次数について整理し，降べきの順（次数の高い順）に書くこと．
(1)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(18,\ 12)$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$がある．線分$\mathrm{OA}$上にある格子点の個数を求めよ．ただし両端$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$も線分$\mathrm{OA}$上の点とする．
(2)$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}(18,\ 0)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$の周または内部にある格子点の個数を求めよ．
(3)$n$を正の整数とする．$2$点$\mathrm{C}(n,\ 0)$，$\mathrm{D}(0,\ n)$を考える．格子点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{OCD}$の周または内部を動くとき$\mathrm{P}_x$の総和を$m_1$とおく．また$|\mathrm{P|_x-\mathrm{P}_y}$の総和を$n$が偶数のとき$m_2$，$n$が奇数のとき$m_3$とする．$m_1$，$m_2$，$m_3$を$n$の式で表せ．ただし解答は$an^3+bn^2+cn+d$のように$n$の次数について整理し，降べきの順（次数の高い順）に書くこと．
私立 南山大学 2014年 第1問$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & 2b \\
-b & a
\end{array} \right)$の表す$1$次変換によって，点$(3,\ 1)$が点$(7,\ -5)$に移され，点$(p,\ q)$が点$(4,\ 1)$に移される．$a$と$b$の値を求めると$(a,\ b)=[ア]$であり，$p$と$q$の値を求めると$(p,\ q)=[イ]$である．
(2)$3$辺の長さがそれぞれ$\displaystyle 1,\ x,\ 2-x \left( \frac{1}{2}<x<\frac{3}{2} \right)$の三角形がある．この三角形の面積$S$を$x$で表すと$S=[ウ]$であり，$\displaystyle S \geqq \frac{\sqrt{2}}{4}$となる$x$の値の範囲を求めると$[エ]$である．
(3)$2$つの数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は，
$a_n=2n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_1=2, (n+1)b_{n+1}=a_{n+1}+nb_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
を満たす．$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を求めると，$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k=[オ]$である．$\{b_n\}$の一般項を求めると，$b_n=[カ]$である．
(4)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，$y=1-2 \sin \theta-\cos 2\theta$の最大値を求めると，$y=[キ]$であり，$z=\sin^2 \theta+\sqrt{3} \sin \theta \cos \theta+2 \cos^2 \theta$の最大値を求めると，$z=[ク]$である．
(5)$3$つのサイコロを同時に投げるとき，出た目の和が$4$以下である確率は$[ケ]$であり，出た目の和が奇数であるか$5$以上である確率は$[コ]$である．
(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & 2b \\
-b & a
\end{array} \right)$の表す$1$次変換によって，点$(3,\ 1)$が点$(7,\ -5)$に移され，点$(p,\ q)$が点$(4,\ 1)$に移される．$a$と$b$の値を求めると$(a,\ b)=[ア]$であり，$p$と$q$の値を求めると$(p,\ q)=[イ]$である．
(2)$3$辺の長さがそれぞれ$\displaystyle 1,\ x,\ 2-x \left( \frac{1}{2}<x<\frac{3}{2} \right)$の三角形がある．この三角形の面積$S$を$x$で表すと$S=[ウ]$であり，$\displaystyle S \geqq \frac{\sqrt{2}}{4}$となる$x$の値の範囲を求めると$[エ]$である．
(3)$2$つの数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は，
$a_n=2n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_1=2, (n+1)b_{n+1}=a_{n+1}+nb_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
を満たす．$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を求めると，$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k=[オ]$である．$\{b_n\}$の一般項を求めると，$b_n=[カ]$である．
(4)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，$y=1-2 \sin \theta-\cos 2\theta$の最大値を求めると，$y=[キ]$であり，$z=\sin^2 \theta+\sqrt{3} \sin \theta \cos \theta+2 \cos^2 \theta$の最大値を求めると，$z=[ク]$である．
(5)$3$つのサイコロを同時に投げるとき，出た目の和が$4$以下である確率は$[ケ]$であり，出た目の和が奇数であるか$5$以上である確率は$[コ]$である．
私立 成城大学 2014年 第3問図のように，$1$から$9$までの異なる自然数の書かれたボタンを$3$行$3$列に並べる．
（図は省略）
(1)ボタンの並べ方は，全部で何通りあるか．
(2)縦一列の$3$つのボタンの数字の和が，すべて奇数となる並べ方は何通りあるか．
(3)縦一列の$3$つのボタンの数字の和が，すべて$3$の倍数となる並べ方は何通りあるか．
（図は省略）
(1)ボタンの並べ方は，全部で何通りあるか．
(2)縦一列の$3$つのボタンの数字の和が，すべて奇数となる並べ方は何通りあるか．
(3)縦一列の$3$つのボタンの数字の和が，すべて$3$の倍数となる並べ方は何通りあるか．
私立 広島修道大学 2014年 第1問空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．
(1)$(3x+2)(2x^2-5x+3)$を展開すると，$[$1$]$となる．
(2)男子$5$人，女子$3$人が$1$列に並ぶとき，女子$3$人が続いて並ぶ方法は$[$2$]$通り，一端に男子，もう一端に女子が並ぶ方法は$[$3$]$通りある．
(3)$\displaystyle \frac{1+2i}{1-3i}+\frac{1-4i}{1+3i}=a+bi$（$a,\ b$は実数）と表すとき，$a=[$4$]$，$b=[$5$]$である．
(4)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$5$個の数字を用いて$3$桁の整数をつくるとき，奇数は全部で$[$6$]$個できる．ただし，同じ数字を繰り返し用いてもよい．
(5)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=-2 \sin^2 \theta+8 \cos \theta+3$は，$\theta=[$7$]$のとき，最小値$[$8$]$をとる．
(6)不等式$\displaystyle \frac{1}{9^x}-\frac{30}{3^x}+81 \leqq 0$の解は$[$9$]$である．また，$-2 \leqq x \leqq 0$において関数$\displaystyle y=\frac{1}{9^x}-\frac{30}{3^x}+81$は，$x=[$10$]$のとき，最小値$[$11$]$をとる．
(1)$(3x+2)(2x^2-5x+3)$を展開すると，$[$1$]$となる．
(2)男子$5$人，女子$3$人が$1$列に並ぶとき，女子$3$人が続いて並ぶ方法は$[$2$]$通り，一端に男子，もう一端に女子が並ぶ方法は$[$3$]$通りある．
(3)$\displaystyle \frac{1+2i}{1-3i}+\frac{1-4i}{1+3i}=a+bi$（$a,\ b$は実数）と表すとき，$a=[$4$]$，$b=[$5$]$である．
(4)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$5$個の数字を用いて$3$桁の整数をつくるとき，奇数は全部で$[$6$]$個できる．ただし，同じ数字を繰り返し用いてもよい．
(5)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=-2 \sin^2 \theta+8 \cos \theta+3$は，$\theta=[$7$]$のとき，最小値$[$8$]$をとる．
(6)不等式$\displaystyle \frac{1}{9^x}-\frac{30}{3^x}+81 \leqq 0$の解は$[$9$]$である．また，$-2 \leqq x \leqq 0$において関数$\displaystyle y=\frac{1}{9^x}-\frac{30}{3^x}+81$は，$x=[$10$]$のとき，最小値$[$11$]$をとる．
私立 北里大学 2014年 第2問次の文中の$[ア]$～$[フ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい．
(1)数列$\{a_n\}$は$a_1=1$，$a_{n+1}=3a_n-n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定義される．ここで，$b_n=a_{n+1}-a_n$とおくと，$b_1=[ア]$，$b_2=[イ]$であり，数列$\{b_n\}$の一般項は，
\[ b_n=\frac{[ウ]}{[エ]} \left\{ ([オ])^{n-1}+[カ] \right\} \]
となる．初項$b_1$から第$n$項$b_n$までの和$S_n$は，
\[ S_n=\frac{[キ]}{[ク]} \left\{ ([ケ])^n+[コ]n+[サ] \right\} \]
である．また，数列$\{a_n\}$の一般項は，
\[ a_n=\frac{[シ]}{[ス]} \left\{ ([セ])^{n-1}+[ソ]n+[タ] \right\} \]
と表される．
(2)奇数の列を
\[ 1 \;|\; 3,\ 5,\ 7 \;|\; 9,\ 11,\ 13,\ 15,\ 17 \;|\; 19,\ 21,\ 23,\ 25,\ 27,\ 29,\ 31 \;|\; \cdots \]
のような群にわける．つまり，第$1$群は$1$のみからなる．このとき，第$n$群に含まれる項の数は$[チ]n+[ツ]$であるので，第$1$群から第$n-1$群までの項の数は，
\[ [テ]n^2+[ト]n+[ナ] \]
である．したがって，第$n$群の最初の項の値は，
\[ [ニ]n^2+[ヌ]n+[ネ] \]
である．また，第$n$群に含まれる数の総和は，
\[ [ノ] n^3+[ハ]n^2+[ヒ]n+[フ] \]
である．
(1)数列$\{a_n\}$は$a_1=1$，$a_{n+1}=3a_n-n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定義される．ここで，$b_n=a_{n+1}-a_n$とおくと，$b_1=[ア]$，$b_2=[イ]$であり，数列$\{b_n\}$の一般項は，
\[ b_n=\frac{[ウ]}{[エ]} \left\{ ([オ])^{n-1}+[カ] \right\} \]
となる．初項$b_1$から第$n$項$b_n$までの和$S_n$は，
\[ S_n=\frac{[キ]}{[ク]} \left\{ ([ケ])^n+[コ]n+[サ] \right\} \]
である．また，数列$\{a_n\}$の一般項は，
\[ a_n=\frac{[シ]}{[ス]} \left\{ ([セ])^{n-1}+[ソ]n+[タ] \right\} \]
と表される．
(2)奇数の列を
\[ 1 \;|\; 3,\ 5,\ 7 \;|\; 9,\ 11,\ 13,\ 15,\ 17 \;|\; 19,\ 21,\ 23,\ 25,\ 27,\ 29,\ 31 \;|\; \cdots \]
のような群にわける．つまり，第$1$群は$1$のみからなる．このとき，第$n$群に含まれる項の数は$[チ]n+[ツ]$であるので，第$1$群から第$n-1$群までの項の数は，
\[ [テ]n^2+[ト]n+[ナ] \]
である．したがって，第$n$群の最初の項の値は，
\[ [ニ]n^2+[ヌ]n+[ネ] \]
である．また，第$n$群に含まれる数の総和は，
\[ [ノ] n^3+[ハ]n^2+[ヒ]n+[フ] \]
である．