大きさの同じ$N$個の正方形を，図$1$のように左端からつめて高さを$3$段までに並べる．このとき，各段の正方形の数はその$1$つ下の段の正方形の数以下とする．例えば，$N=4$の場合，図$2$のように$4$通りの並べ方がある．

(1)上のような並べ方は，$N=5$のとき$[ノ]$通り，$N=6$のとき$[ハ]$通り，$N=7$のとき$[ヒ]$通りである．
(2)高さが$2$段までの並べ方は，

$N$が偶数のとき，$\displaystyle \left( \frac{[フ]}{[ヘ]}N+[ホ] \right)$通り，

$N$が奇数のとき，$\displaystyle \left( \frac{[マ]}{[ミ]}N+\frac{[ム]}{[メ]} \right)$通りである．

(3)$N=6n$（$n$は自然数）のとき，高さが$3$段までの並べ方を考える．$3$段目の正方形が$m$個であるような並べ方が$a_m$通りあるとする．図$1$は$N=12$，$m=3$のときの並べ方の一例である．
$m$が偶数のとき，
\[ a_m=[モ]n+\frac{[ヤ]}{[ユ]}m+[ヨ] \]
$m$が奇数のとき，
\[ a_m=[ラ]n+\frac{[リ]}{[ル]}m+\frac{[レ]}{[ロ]} \]
である．したがって，$N=6n$のとき，高さが$3$段までの並べ方は全部で
\[ [ワ]n^2+[ヲ]n+[ン] \]
通りである．

（図は省略）

次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{OAB}$に対し，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad s \geqq 0,\quad t \geqq 0 \]
とする．また，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とする．

(i) $1 \leqq s+t \leqq 3$のとき，点$\mathrm{P}$の存在しうる領域の面積は$S$の$[ア]$倍である．
(ii) $1 \leqq s+2t \leqq 3$のとき，点$\mathrm{P}$の存在しうる領域の面積は$S$の$[イ]$倍である．

(2)$(\sqrt{2})^n$は$n$が奇数のとき無理数である．より一般に，$2$以上の整数$k$に対し，$(\sqrt[k]{2})^n$は$n$が$k$の倍数でないとき無理数である．したがって，$2$以上の整数$k$に対し，
\[ \left( \sqrt{2}x+\sqrt[k]{2} \right)^{100} \]
を展開して得られる$x$の多項式において，

(i) $x^{100}$の係数は$2$の$[ウ]$乗，
(ii) $n=0,\ 1,\ \cdots,\ 100$に対し，$x^n$の係数が整数となるような$n$の個数は

$k=2$のとき$[エ]$個
$k=3$のとき$[オ]$個
$k=5$のとき$[カ]$個
$k=7$のとき$[キ]$個
$k=51$のとき$[ク]$個

である．

奇数の列を，次のように第$1$群，第$2$群，第$3$群，$\cdots$に分ける．
\[ 1,\ \bigg| \ 3,\ 5,\ 7,\ \bigg| \ 9,\ 11,\ 13,\ 15,\ 17,\ \bigg| \ \cdots \]
このとき，$2013$を第$n$群の$m$番目の奇数とすると，$(n,\ m)=[　]$であり，$2013$が属する第$n$群の奇数の総和は$[　]$である．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)$a,\ b$を実数とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$1$つの解$\alpha$が$1-\sqrt{3}i$のとき，$a=[$1$]$，$b=[$2$]$となる．もう$1$つの解を$\beta$とするとき，$\alpha-2$，$\beta-2$を解とし，$x^2$の係数が$1$である$2$次方程式は$x^2+[$3$]x+[$4$]=0$となる．
(2)$a=\sqrt{3}$のとき，$|a-2|+|a+3|$の値は$[$5$]$である．また，方程式$|x+1|=4$の解は$[$6$]$である．
(3)$2+\sqrt{2}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$\displaystyle 2a^2-\left( b^3+\frac{1}{b^3} \right)$の値は$[$7$]$である．
(4)$1$個のさいころを投げて，出た目が奇数なら$2$ポイント，偶数なら$4$ポイント獲得できるゲームがある．$1$回投げて獲得できるポイントの期待値は$[$8$]$である．また，さいころを$3$回投げたとき，獲得したポイントの合計が$12$である確率は$[$9$]$であり，$10$以上である確率は$[$10$]$である．
(5)放物線$y=x^3-3x^2+2$上の点$(1,\ 0)$における接線の方程式は$[$11$]$である．

$p$を奇数，$q$を偶数とし，方程式$x^2-px+q=0$の解を$\alpha,\ \beta$とおく．

(1)$a_n=\alpha^n+\beta^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とするとき，$a_{n+2}$を$a_{n+1},\ a_n,\ p,\ q$を用いて表せ．
(2)$a_n$はすべて奇数となることを示せ．

次の問に答えよ．

(1)奇数の平方は$8$で割ると$1$余ることを示せ．
(2)$11,\ 111,\ 1111,\ \cdots$のように数字$1$のみが並ぶ$2$桁以上の整数は平方数ではないことを示せ．

袋の中に$1$から$5$の番号のついた赤玉と，$1$から$10$の番号のついた白玉が，それぞれ$1$個ずつ入っている．この袋から同時に$2$個の玉を取り出す試行を考える．$A$は少なくとも$1$個が赤玉である事象，$B$は番号の和が奇数となる事象とする．事象$X$の起こる確率を$P(X)$とするとき，積事象$A \cap B$の起こる確率$P(A \cap B)$，和事象$A \cup B$の起こる確率$P(A \cup B)$を求めたい．次の文章中の空欄に値を入れよ．

「玉の取り出し方は全部で$[$1$]$通りある．
$A$の余事象$\overline{A}$の起こる場合の数は$[$2$]$通りだから，$A$の起こる確率は，
\[ P(A)=1-P(\overline{A})=[$3$] \]
となる．
一方，$B$の起こる場合の数は，赤玉$1$個と白玉$1$個を取り出すときは$[$4$]$通り，赤玉$2$個を取り出すときは$[$5$]$通り，白玉$2$個を取り出すときは$[$6$]$通りある．
よって，$B$の起こる確率は，
\[ P(B)=[$7$] \]
となる．したがって，$A \cap B$の起こる確率は，
\[ P(A \cap B)=[$8$] \]
となり，$A \cup B$の起こる確率は，
\[ P(A \cup B)=[$9$] \]
となる．」

$m$を自然数とする．$m^2-1$が$8$で割り切れるための必要十分条件は，$m$が奇数であることを示せ．

次の問いに答えなさい．多項式$P(x)={(1+x)}^{24}$を考える．

(1)$P(x)$の$x^2$の係数は$[$\mathrm{E]$}$である．
(2)$\comb{24}{0}-\comb{24}{1}+\comb{24}{2}-\comb{24}{3}+\cdots +\comb{24}{22}-\comb{24}{23}+\comb{24}{24}=[$\mathrm{F]$}$である．
(3)$\displaystyle Q(x)=\frac{1}{2} \left( P(x)+P(-x) \right)$とする．このとき，$Q(x)$は$P(x)$の
$\big\{$ （ア）奇数次数の項からなる． （イ）偶数次数の項からなる． （ウ）奇数次数と偶数次数の項からなる． $\bigr\}$
（ア），（イ），（ウ）の中から最も適切なものを選び，その記号を$[$\mathrm{G]$}$に記しなさい．
(4)方程式$x^3=1$の$3$つの解を$1,\ \alpha,\ \beta$とする．

(i) ${(1-\alpha)}^6=[$\mathrm{H]$}$である．
(ii) $\alpha^2-\beta=[$\mathrm{I]$}$である．
(iii) $\displaystyle \sum_{k=0}^{12} \comb{24}{2k} \beta^k$の値を$[い]$で求めなさい．
なお，必要ならば$3^{12}=531441$を使ってよい．

図のような縦横同数の格子の全ての格子点上に，白または黒の石を置く．縦または横に隣り合う石の色が同じならその間に実線を，異なっていれば点線を引き，実線の数を数える操作を行う．図$1$の実線の数は$2$本，図$2$では$5$本である．
（図は省略）

(1)$2 \times 2$の格子点に$4$つの石を置くとき，石の置き方にかかわらず，実線の数は偶数になることを示せ．
(2)$3 \times 3$の格子点に$9$つの石を置くとき，実線の数が奇数になるための必要十分条件を示せ．ただし，(1)の結果を使ってもよい．