$n$が奇数のとき，
\[ S=n+(n+1)^2+(n+2)^3 \]
は$16$の倍数であることを示せ．

自然数を$2$乗した列を，次のように奇数個ずつの群に分ける．以下の問いに答えよ．
\begin{align}
& \{1\},\quad \{4,\ 9,\ 16\},\quad \{25,\ 36,\ 49,\ 64,\ 81\},\ \cdots \nonumber \\
& 第1群 \qquad 第2群 \qquad\qquad\qquad 第3群 \nonumber
\end{align}

(1)$625$は第何群の何番目の数か．
(2)第$n$群の最後の数を$n$の式で表せ．
(3)第$n$群の最初の数を$n$の式で表せ．
(4)第$n$群にあるすべての数の和を$n$の式で表せ．

正の奇数$p$に対して，$3$つの自然数の組$(x,\ y,\ z)$で，$x^2+4yz=p$を満たすもの全体の集合を$S$とおく．すなわち，
\[ S=\left\{ (x,\ y,\ z) \;\Big|\; x,\ y,\ z \text{は自然数，} x^2+4yz=p \right\} \]
次の問いに答えよ．

(1)$S$が空集合でないための必要十分条件は，$p=4k+1 \ (k \text{は自然数})$と書けることであることを示せ．
(2)$S$の要素の個数が奇数ならば$S$の要素$(x,\ y,\ z)$で$y=z$となるものが存在することを示せ．

袋の中に$1$から$8$までの数字が$1$つずつ重複せずに書かれた$8$枚のカードが入っている．袋の中からカードを$1$枚取り出して，もとに戻すという操作を$4$回繰り返す．$1$回目，$2$回目，$3$回目，$4$回目に取り出されたカードに書かれた数をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$a+b+c+d=6$となる確率を求めよ．
(2)積$abcd$が奇数となる確率を求めよ．
(3)$(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)=0$となる確率を求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{1}{ab}+\frac{2}{cd}=\frac{1}{2}$となる確率を求めよ．

奇数の列$1,\ 3,\ 5,\ \cdots$を次のように群に分ける．
\[ \begin{array}{ccccccccc}
1 & \bigg| & 3,\ 5 & \bigg| & 7,\ 9,\ 11,\ 13 & \bigg| & 15,\ 17,\ 19,\ 21,\ 23,\ 25,\ 27,\ 29 & \bigg| & \cdots \\
第1群 & & 第2群 & & 第3群 & & 第4群 & &
\end{array} \]
ここで，一般に第$n$群は$2^{n-1}$個の項からなるものとする．以下の各問に答えよ．

(1)第$7$群の小さい方から$10$番目の項を求めよ．
(2)$555$は第何群の小さい方から何番目の項であるかを求めよ．
(3)第$n$群に含まれるすべての項の和を求めよ．

数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)^{n-1}-\left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} \right\} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定義する．次の各問に答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$を求めよ．
(2)すべての自然数$n$に対して，次の漸化式が成り立つように実数$p,\ q$を定めよ．
\[ a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n \]
(3)$a_n$が奇数なら$a_{n+3}$も奇数となり，$a_n$が偶数なら$a_{n+3}$も偶数となることを示せ．

次の空欄$[ア]$から$[キ]$に当てはまるものを答えよ．ただし，自然数とは$1$以上の整数のことである．

行列$A,\ B,\ E$を$A=\left( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{rr}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．

$M_0=E$とし，さいころをふって偶数が出れば$A$を左からかけ，奇数が出れば$B$を左からかける操作を$n$回繰り返すことにより行列$M_n$を定める．つまり，
\begin{itemize}
$n$回目に偶数が出たら$M_n=AM_{n-1}$，
$n$回目に奇数が出たら$M_n=BM_{n-1}$
\end{itemize}
と順々に$M_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を定める．$M_n=A$となる確率を$p_n$とする．

(1)$p_1=[ア]$である．
(2)$A^a=E$をみたす最小の自然数$a$は$[イ]$である．$B^b=E$をみたす最小の自然数$b$は$[ウ]$である．$BA=AB^c$をみたす最小の自然数$c$は$[エ]$である．
(3)$M_0,\ M_1,\ M_2,\ \cdots$の中で相異なる行列は最大$[オ]$個である．
(4)$n$が偶数のときは$p_n=[カ]$であり，$n$が$3$以上の奇数のときは$p_n=[キ]$である．

次の空欄ア～ケに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$(x-2y)^8$の展開式における$x^5y^3$の係数は[ア]である．
(2)$\displaystyle \int_0^2 (x^2-ax+2)\, dx=0$の等式を満たす定数$a$の値は[イ]である．
(3)$1$から$200$までの整数で，$3$および$7$のいずれでも割りきれない数の個数は[ウ]個である．
(4)方程式$5x+3y+z=15$を満たす自然数$x,\ y,\ z$の組の個数は[エ]個である．
(5)原点$\mathrm{O}$から出発して数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$は，サイコロを振って偶数の目が出るとその目の数に$+3$をかけた数だけ移動し，奇数の目が出るとその目の数に$-2$をかけた数だけ移動する．このサイコロを$1$回振るときの点$\mathrm{P}$の数直線上の位置の期待値は[オ]である．
(6)$a=\log_2 5,\ b=\log_2 9$とおく．$\log_4 150$を$a,\ b$を用いて表すと[カ]である．
(7)複素数$z$が$\displaystyle z=\frac{a}{1-3i}+\frac{bi}{1+3i}$で与えられたとき，$z=4i$となるような実数$a,\ b$を求めると，$a=[キ],\ b=[ク]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(8)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に長さが等しいベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(2,\ 6)$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとき，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は[ケ]である．ただし，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$2$より小さいとする．

$n$は$2$以上の整数とする．$1$が書かれたカードが$1$枚，$2$が書かれたカードが$1$枚，$\cdots$，$2n+1$が書かれたカードが$1$枚の全部で$2n+1$枚のカードが袋の中に入っている．この袋から$2$枚のカードを同時に取り出すとき，次の問いに答えよ．

(1)取り出した$2$枚のカードに書かれた整数が，両方とも奇数である確率を$n$を用いて表せ．
(2)取り出した$2$枚のカードに書かれた整数の和が，偶数である確率を$n$を用いて表せ．
(3)取り出した$2$枚のカードに書かれた整数の和が，$7$以上の奇数である確率を$n$を用いて表せ．

$4$枚のコインの表に$1$から$4$まで数字が$1$つずつ書かれている．これらを同時に投げ，表が出たコインに書かれた数字の和を$S$とする．ただし，すべてが裏のときは$S=0$とする．

(1)$1 \leqq S \leqq 5$である確率を求めよ．
(2)$S$の期待値を求めよ．
(3)表が出たコインに書かれた数字のうち奇数だけの和を$T$とする．$T$の期待値を求めよ．