次に答えよ．ただし，対数は自然対数とする．必要ならば，$1.09<\log 3<1.10$を用いてよい．

(1)すべての$x>0$に対して，不等式
\[ x-\frac{x^2}{2} < \log (1+x) \]
が成り立つことを示せ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=x-\frac{x^2}{3}-\log (1+x)$の$0 \leqq x \leqq 2$における最大値，および最小値を求めよ．
(3)方程式$\displaystyle x-\frac{x^2}{3}=\log (1+x)$は$0<x<2$の範囲に解を1つだけもつことを示せ．
(4)(3)における解を$\alpha \ (0<\alpha<2)$とする．曲線$\displaystyle y=x-\frac{x^2}{3}$と曲線$y=\log (1+x)$で囲まれた図形($0 \leqq x \leqq \alpha$の部分)の面積を$S$とする．また，曲線$\displaystyle y=x-\frac{x^2}{3}$，$y=\log (1+x)$と直線$x=2$で囲まれた図形($\alpha \leqq x \leqq 2$の部分)の面積を$T$とする．$S$と$T$の大小を比較せよ．

$n$を正の整数とする．

(1)$x>y>0$とするとき，次の不等式を証明せよ．
\[ x^{n+1}-y^{n+1} > (n+1)(x-y)y^n \]
(2)$\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$と$\displaystyle \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+2}$の大小を比較せよ．

$\displaystyle a=\frac{\sqrt{3}}{6},\ b=\tan \frac{\pi}{12}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$x$を実数（ただし$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{4}$）とするとき，$\tan 2x$を$\tan x$の式で表せ．
(2)$a$と$b$の大小を，理由をつけて答えよ．

不等式
\[ 19200<19683=3^9<20000<20480=2^{11} \cdot 10 \]
を利用して，以下の設問に答えよ．ただし，$x=\log_{10}2$，$y=\log_{10}3$とする．

(1)$\log_{10}19200$の値を$x$と$y$で表せ．
(2)$x$と$\displaystyle \frac{3}{10}$の大小を比較せよ．

(3)$y$と$\displaystyle \frac{11}{23}$の大小を比較せよ．

大小二つのサイコロを同時に振り，大きいサイコロの出た目を$a$，小さいサイコロの出た目を$b$とする．次の確率を求めよ．

(1)$a<5,\ b<5,\ a+b>5$を満たす確率
(2)$a,\ b,\ 5$を$3$辺とする三角形が鈍角三角形になる確率
(3)二つの$2$次方程式
\[ x^2+ax+b=0,\quad x^2+2abx+16=0 \]
のうち，少なくとも一方が実数解をもつ確率

$a,\ b$は$a < b$をみたす実数とする．$f(x),\ g(x)$は閉区間$[ \; a,\ b \; ]$で定義された連続関数で，$g(x) \leqq f(x)$をみたすとする．座標平面上，不等式$a \leqq x \leqq b,\ g(x) \leqq y \leqq f(x)$をみたす点$(x,\ y)$全体からなる図形をAとする．Aの面積$S$が正のとき，Aの重心の$y$座標は，
\[ \frac{1}{S} \int_a^b \frac{\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2}{2} \, dx \]
で与えられる．この事実を用いて，次の問いに答えよ．

(1)$r$は$0 < r < 1$をみたす実数とする．不等式$r^2 \leqq x^2 + y^2 \leqq 1,\ y \geqq 0$をみたす点$(x,\ y)$全体からなる図形をBとおく．Bの重心の$y$座標$Y(r)$を$r$を用いて表せ．
(2)$t$は正の実数とする．不等式$-1 \leqq x \leqq 1,\ \sqrt{1-x^2} -t \leqq y \leqq \sqrt{1-x^2}$をみたす点$(x,\ y)$全体からなる図形をCとおく．Cの重心の$y$座標$Z(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)(1)で得られた$Y(r)$と(2)で得られた$Z(t)$について，$\displaystyle \lim_{r \to 1-0}Y(r)$と$\displaystyle \lim_{t \to +0}Z(t)$の大小を比較せよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$7^x=49^{1-x}$を解け．
(2)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}-3}{2}$のとき，$x^4+x^2$の値を求めよ．
(3)次の定積分を求めよ．
\[ \int_{-2}^0 (2x^2-x) \, dx - \int_1^0 (2x^2-x) \, dx \]
(4)関数$y=(2x-1)(x^2+2x-1)$を微分せよ．
(5)$\displaystyle 3\log_{\frac{1}{2}}3, 2\log_{\frac{1}{2}}5, \frac{5}{2}\log_{\frac{1}{2}}4$の3数の大小を比較せよ．
(6)$\overrightarrow{a}=(1,\ -1),\ \overrightarrow{b}=(-4,\ -3)$のとき，$2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$の大きさを求めよ．
(7)初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=2n^2-3n$で与えられる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(8)$0 \leqq \theta < 2\pi$のとき，不等式$\displaystyle |\sin \theta|<\frac{1}{2}$を解け．