空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)$1$次不等式$\displaystyle \frac{7+4x}{3} \geqq \frac{x+1}{2}-x$の解は$[$1$]$である．
(2)$\displaystyle \frac{1}{2+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$の分母を有理化すると$[$2$]$となる．
(3)$A,\ B,\ C$を定数とする．$\displaystyle \frac{x^2+2x+17}{x^3-x^2-5x-3}=\frac{A}{(x+1)^2}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-3}$が$x$についての恒等式であるとき，$A=[$3$]$，$B=[$4$]$，$C=[$5$]$である．
(4)実数$a$に対して，$a$以下の整数で最大のものを$[a]$で表す．このとき，$[\log_2 7]=[$6$]$，$\displaystyle [\log_3 \frac{1}{25}]=[$7$]$である．
(5)大小$2$個のさいころを同時に投げる．このとき，目の和が$9$以下になる確率は$[$8$]$であり，目の積が$9$以下になる確率は$[$9$]$である．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$とし，頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろすとする．このとき，線分$\mathrm{AH}$の長さは$[$10$]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[$11$]$である．

大小$2$つのコインを投げたとき，次の（ルール）に従って，平面上の点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を動かす．


\mon[（ルール）] $\mathrm{P}$が$(a,\ b)$にいるとき，大きなコインが表なら$\mathrm{P}$を$(a+1,\ b)$に動かし，裏なら$(a,\ b+1)$に動かす．また，$\mathrm{Q}$が$(c,\ d)$にいるとき，小さいコインが表なら$\mathrm{Q}$を$(c-1,\ d)$に動かし，裏なら$(c,\ d-1)$に動かす．

最初に，$\mathrm{P}$は$(0,\ 0)$にいて，$\mathrm{Q}$は$(4,\ 4)$にいるとする．この状態から，大小$2$つのコインを同時に投げて（ルール）に従って$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を動かす試行を$4$回繰り返したときの$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の位置について，次の問いに答えよ．ただし，大小どちらのコインについても，表と裏の出る確率はともに$\displaystyle \frac{1}{2}$に等しいとする．

(1)$\mathrm{P}$が$(1,\ 3)$にいる確率を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が同じ点にいる確率を求めよ．

大小二つのさいころを同時にふって，出た目の値をそれぞれ$a,\ b$とする．領域
\[ y \geqq -\frac{x}{2}+a \quad \text{かつ} \quad (x-b)^2+(y-b)^2 \leqq b^2 \]
の面積を$S$とする．ただし，空集合の面積は$0$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)$\displaystyle S=\frac{\pi b^2}{2}$となる確率$p_1$を求めなさい．
(2)$S=0$となる確率$p_2$を求めなさい．

以下の問いの空欄$[ア]$～$[ス]$に適する数値，式などを記せ．

(1)直線$\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{3}}+1$と$x$軸の正の向きとのなす角は$[ア]$であり，この直線と放物線$\displaystyle y=\frac{x^2}{4}$の共有点の座標は$([イ],\ [ウ])$と$([エ],\ [オ])$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \frac{\sin A}{9}=\frac{\sin B}{7}=\frac{\sin C}{5}$が成り立つとき，この三角形の最も大きい角の余弦の値は$[カ]$である．この三角形の最も大きい辺の長さを$9$とすると，三角形の面積は$[キ]$である．
(3)同じ$2$つの箱と，同じ$4$つの球がある．$2$つの箱にすべての球を分配するときの組み合わせは$[ク]$通りである．また，大小の$2$つの箱と，$1$から$4$までの数が書かれた$4$つの球があるとき，すべての球を分配するときの組み合わせは$[ケ]$通りである．ただし，片方の箱のみに球が入っている場合も含む．
(4)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}},\ y=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$のとき，$x^2+y^2$の値は$[コ]$，$x^3-y^3$の値は$[サ]$となる．
(5)大小の$2$個のさいころを投げ，出た目が同じ場合は$10$点，大のさいころの目のほうが大きい場合は$5$点，それ以外の場合には得点は得られないとするとき，点数を得られる目が出る確率は$[シ]$で，得点の期待値は$[ス]$点である．

次の問いに答えよ．

(1)$64^{95}$と$65^{90}$の大小を比較せよ．
(2)$63^{100}$と$64^{95}$の大小を比較せよ．

関数$f(x)=\log x$がある．曲線$y=f(x)$の点$(t,\ \log t)$における接線の方程式を$y=g(x)$とするとき，次に答えよ．ただし，対数は自然対数を表し，$e$は自然対数の底とする．

(1)$x>0$のとき，不等式$f(x)-g(x) \leqq 0$を証明せよ．

(2)$\displaystyle t>\frac{1}{2}$のとき，$\displaystyle \int_{t-\frac{1}{2}}^{t+\frac{1}{2}}f(x) \, dx$と$\displaystyle \int_{t-\frac{1}{2}}^{t+\frac{1}{2}}g(x) \, dx$をそれぞれ$t$を用いて表せ．

(3)自然数$n$に対して，$n!$と$\displaystyle \sqrt{2} \left( n+\frac{1}{2} \right)^{n+\frac{1}{2}}e^{-n}$の大小を比較せよ．

関数$\displaystyle f(x)=-\frac{5}{2}x(x-1)$を考える．$a$を実数とし，実数$b,\ c$を$b=f(a)$，$c=f(b)$により定める．

(1)不等式$a<b$を満たすような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)連立不等式
\[ (*) \quad \left\{ \begin{array}{l}
a<b \\
b>c
\end{array} \right. \]
を満たすような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)(2)の連立不等式$(*)$が成り立つとき，$c$と$f(c)$の大小を判定せよ．

大小$2$個のさいころを投げて，出る目をそれぞれ$a,\ b$とする．次の問いに答えよ．

(1)$xy$平面上の$2$直線$\displaystyle y=\frac{1}{a}x+1,\ y=(b+1)x$のなす鋭角を$\theta$とする．

\mon[$①$] $\tan \theta$を$a$と$b$を用いて表せ．
\mon[$②$] $\tan \theta \leqq 1$となる確率を求めよ．

(2)$xy$平面上で，連立不等式$x \geqq 0,\ y \geqq 0,\ 2x+y \leqq 4$の表す領域を$D$とする．点$(x,\ y)$がこの領域$D$を動くとき，$\displaystyle \frac{b}{a}x+y$の最大値を$M$とする．

\mon[$①$] $\displaystyle \frac{b}{a} \leqq 2$のとき，$M$を求めよ．
\mon[$②$] $\displaystyle \frac{b}{a}>2$のとき，$M$を$a$と$b$を用いて表せ．
\mon[$③$] $M$の期待値を求めよ．

大小$2$個のサイコロを同時に投げるとき，出た目の積が$5$の倍数になる確率を$p$とし，出た目の和が$5$の倍数になる確率を$q$とする．$\displaystyle \frac{1}{p-q}$の値を求めよ．

大小$2$個のさいころを投げたとき，大のさいころの出た目を$10$の位，小のさいころの出た目を$1$の位とする$2$桁の数をつくる．このとき，この数を$3$で割った余りが$1$となる確率を求めよ．