タグ「大小関係」の検索結果

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三重大学 国立 三重大学 2016年 第4問
$\log x$は$x$の自然対数とする.

(1)$2$と$\log 4$の大小関係を,理由をつけて述べよ.必要ならば$e=2.718 \cdots$を用いてよい.さらに$x>0$のとき$\sqrt{x}>\log x$を示せ.
(2)$x>1$のとき,$\displaystyle y=\frac{x}{\log x}$の増減,極値およびグラフの凹凸を調べ,このグラフの概形をかけ.
(3)$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{\log x}} (e \leqq x \leqq e^2)$と$\displaystyle y=\frac{1}{\log x} (e \leqq x \leqq e^2)$,および$x=e^2$で囲まれた図形を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
茨城大学 国立 茨城大学 2016年 第1問
以下の各問に答えよ.ただし,対数は自然対数であり,$e$は自然対数の底である.

(1)曲線$\displaystyle C:y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$について,傾きが$1$である接線を$\ell$とする.$C$と$\ell$との接点の座標を求めよ.

(2)実数$\alpha,\ \beta$が$0<\alpha<\beta<1$を満たすとき,$2$つの実数$\displaystyle \frac{e^\alpha-\alpha}{\alpha}$と$\displaystyle \frac{e^\beta-\beta}{\beta}$の大小関係を不等号を用いて表せ.

(3)定積分$\displaystyle \int_0^{e-1} x \log (x+1) \, dx$を求めよ.
長崎大学 国立 長崎大学 2016年 第4問
区間$-1 \leqq x \leqq 1$において,$2$つの関数$f(x)=x+\sqrt{1-x^2}$,$g(x)=x-\sqrt{1-x^2}$を考える.曲線$C_1:y=f(x)$と曲線$C_2:y=g(x)$で囲まれた図形を$D$とする.以下の問いに答えよ.

(1)関数$f(x)$の増減を調べ,その最大値と最小値を求めよ.
(2)曲線$C_1$は曲線$C_2$と原点に関して対称であることを示せ.
(3)区間$-1 \leqq x \leqq 1$において,$f(x)$と$-g(x)$の値の大小関係を調べよ.また,$g(x) \geqq 0$が成り立つような$x$の範囲を求めよ.
(4)図形$D$の$x \geqq 0$の部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ.
日本医科大学 私立 日本医科大学 2016年 第2問
次の関数$f(x)$(ただし$x>0$)に関する以下の各問いに答えよ.
\[ f(x)=\int_1^x t(x-t+1)e^{-{(x-t+1)}^2} \, dt \]

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ.
(2)関数$g(x)$を$\displaystyle g(x)=\frac{1}{2}(e^{-1}-e^{-x^2})$とするとき,$f(x)$と$g(x)$の$x>0$における大小関係を調べよ.
(3)$(2)$の$g(x)$に対して,傾きが$f^\prime(x)-g^\prime(x)$の$x=\sqrt{2}$における値に等しく,点$(1,\ 0)$を通る直線を考えることにより,不等式
\[ 0.115<f(\sqrt{2})<0.165 \]
が成り立つことを示せ.ただし,$0.367<e^{-1}<0.368$,$0.135<e^{-2}<0.136$であることは用いてよい.
明治大学 私立 明治大学 2016年 第1問
$(1)$~$(5)$において,$\nagamaruA$,$\nagamaruB$,$\nagamaruC$の値の大小関係を調べ,最大のものと最小のものを答えよ.

(1)$\{1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 6,\ 6,\ 7\}$の,
$\nagamaruA$ 平均値 \qquad $\nagamaruB$ 中央値(メジアン) \quad $\nagamaruC$ 最頻値(モード)
(2)$\theta$が第$2$象限の角で,$\displaystyle \sin \theta=\frac{2}{3}$のとき,
$\displaystyle \nagamaruA \sin \left( \theta-\frac{\pi}{2} \right)$ \qquad $\nagamaruB \cos \theta$ \qquad $\nagamaruC \tan \theta$
(3)$\nagamaruA$ 半径$4$,面積$4 \pi$の扇形の弧の長さ
$\nagamaruB$ 半径$5$,中心角$\displaystyle \frac{\pi}{2}$の扇形の弧の長さ
$\nagamaruC$ 半径$6$,中心角${72}^\circ$の扇形の弧の長さ
(4)$2x^3+x^2-8x-3$を$x+2$で割ったときの商を$f(x)$としたとき,
$\nagamaruA f(0)$ \qquad $\nagamaruB f(1)$ \qquad $\nagamaruC f(2)$
(5)$f(x)=x^3-x^2-5x+5$のとき,
$\displaystyle \nagamaruA f \left( -\frac{2236}{1001} \right)$ \qquad $\displaystyle \nagamaruB f \left( \frac{98}{299} \right)$ \qquad $\displaystyle \nagamaruC f\left( \frac{502}{301} \right)$
大阪薬科大学 私立 大阪薬科大学 2016年 第1問
次の問いに答えなさい.

(1)$4$個のさいころを同時に投げるとき,出る目の最大値が$5$以上である確率を$p$,出る目の最大値が$4$以下である確率を$q$とする.このとき,$p$と$q$の間で成り立つ大小関係を次のア~ウのうちからひとつ選べ.ただし,どのさいころも$1$から$6$までの目が同様に確からしく出るとする.

ア:「$p<q$」 \qquad イ:「$p=q$」 \qquad ウ:「$p>q$」

(2)第$2$項が$3$,第$22$項が$33$である等差数列の第$28$項の値を求めよ.
(3)$n$を自然数とする.$(5x+1)^n$の展開式における$x^2$の項の係数が$700$である$n$の値を求めよ.
(4)$\theta$は$0 \leqq \theta<2\pi$を満たす実数とする.$x$の関数
\[ f(x)=2x^3-3(2+\sin \theta)x^2+(1+\sin \theta)(2+\sin \theta)^2 \]
の極小値を$m(\theta)$とし,$\theta$が$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲を動くときの$m(\theta)$のとり得る最大の値を$M$とする.このとき,$M$の値,および$m(\theta)=M$を満たす$\theta$の値を求めよ.
弘前大学 国立 弘前大学 2015年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$a$を実数とする.$\displaystyle \int_0^\pi \sin^2 ax \, dx$を$a$を用いて表せ.
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x}$の増減を調べ,$2$つの数${59}^{61},\ {61}^{59}$の大小関係を決定せよ.
(3)$\displaystyle \lim_{k \to \infty}k^2 \int_1^{e^{\frac{1}{k}}} \frac{\log x}{x^k} \, dx$を求めよ.ただし,$k$は自然数を動くものとする.
名古屋大学 国立 名古屋大学 2015年 第2問
次の問に答えよ.

(1)$\alpha=\sqrt{13}+\sqrt{9+2 \sqrt{17}}+\sqrt{9-2 \sqrt{17}}$とするとき,整数係数の$4$次多項式$f(x)$で$f(\alpha)=0$となるもののうち,$x^4$の係数が$1$であるものを求めよ.
(2)$8$つの実数
\[ \pm \sqrt{13} \pm \sqrt{9+2 \sqrt{17}} \pm \sqrt{9-2 \sqrt{17}} \]
(ただし,複号$\pm$はすべての可能性にわたる)の中で,$(1)$で求めた$f(x)$に対して方程式$f(x)=0$の解となるものをすべて求め,それ以外のものが解でないことを示せ.
(3)$(2)$で求めた$f(x)=0$の解の大小関係を調べ,それらを大きい順に並べよ.
立教大学 私立 立教大学 2015年 第1問
次の空欄$[ア]$~$[シ]$に当てはまる数または式を記入せよ.

(1)式$(2x+3y+z)(x+2y+3z)(3x+y+2z)$を展開したときの$xyz$の係数は$[ア]$である.
(2)実数$x,\ y$が$\displaystyle \frac{i}{1+xi}+\frac{x+2}{y+i}=0$を満たすとき,$x=[イ]$,$y=[ウ]$である.ただし,$i$は虚数単位とする.
(3)定積分$\displaystyle \int_{-2}^2 x |x-1| \, dx$を求めると$[エ]$である.
(4)$2^{\frac{1}{2}},\ 3^{\frac{1}{3}},\ 5^{\frac{1}{5}}$の大小関係は$[オ]<[カ]<[キ]$である.
(5)不等式$\displaystyle (\log_2 x)^2+\log_2 \frac{x}{2}<1$を満たす$x$の範囲は$[ク]$である.
(6)半径$1$の円に内接する正$n$角形の周の長さは$[ケ]$である.
(7)座標空間における$3$点$\mathrm{A}(1,\ -1,\ 5)$,$\mathrm{B}(4,\ 5,\ 2)$,$\mathrm{C}(a,\ b,\ 0)$が一直線上にあるとき,$a=[コ]$,$b=[サ]$である.
(8)円$x^2+y^2=1$と直線$y=kx+2 (k>0)$が接するとき,その接点の座標は$[シ]$である.
西南学院大学 私立 西南学院大学 2015年 第3問
以下の問に答えよ.

(1)$\sqrt{2},\ \sqrt[3]{3},\ \sqrt[6]{6}$の大小関係について,以下の$1$~$6$の選択肢のうち,$[ツ]$が成立する.

\mon[$1$ \quad] $\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}<\sqrt[6]{6}$
\mon[$2$ \quad] $\sqrt{2}<\sqrt[6]{6}<\sqrt[3]{3}$
\mon[$3$ \quad] $\sqrt[3]{3}<\sqrt{2}<\sqrt[6]{6}$
\mon[$4$ \quad] $\sqrt[3]{3}<\sqrt[6]{6}<\sqrt{2}$
\mon[$5$ \quad] $\sqrt[6]{6}<\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}$
\mon[$6$ \quad] $\sqrt[6]{6}<\sqrt[3]{3}<\sqrt{2}$

(2)$a>b>1$のとき,$\displaystyle \log_a b-\log_b a=-\frac{2 \sqrt{7}}{3}$ならば,$\displaystyle \log_a b+\log_b a=\frac{[テ]}{[ト]}$である.
(3)$\displaystyle y=\log_8 (1+x^2)-\frac{1}{3} \log_2 x$は$x=[ナ]$のとき最小値$\displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}$をとる.
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