平面上で，半径$r_1$の円$C_1$と半径$r_2$の円$C_2$が，異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わっているとする．線分$\mathrm{PQ}$の垂直二等分線を$\ell$として，円$C_1$と$\ell$の交点のうち円$C_2$の内部にある点を$\mathrm{R}$，円$C_2$と$\ell$の交点のうち円$C_1$の外部にある点を$\mathrm{S}$とする．

(1)$\displaystyle \angle \mathrm{PRQ}=\frac{\pi}{2},\ \angle \mathrm{PSQ}=\frac{\pi}{6}$のとき，$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}$を求めよ．

(2)$\displaystyle \angle \mathrm{PRQ}=\frac{\pi}{3},\ \angle \mathrm{PSQ}=\frac{\pi}{4}$のとき，$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}$を求めよ．

(3)$\displaystyle \angle \mathrm{PRQ}=\theta_1,\ \angle \mathrm{PSQ}=\theta_2$とするとき，$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}$を$\theta_1$と$\theta_2$を用いて表せ．

$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{Q}_0$を複素数平面上の異なる点とする．自然数$k$に対して，平面上の点$\mathrm{P}_k$，$\mathrm{Q}_k$を以下の条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$を満たすものとして定める．

(i) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k-1}$を$\mathrm{P}_{k-1}$を中心として角$\theta$だけ回転させた線分が$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$となる．
(ii) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$を$\mathrm{Q}_{k}$を中心として角$\theta^\prime$だけ回転させた線分が$\mathrm{Q}_{k} \mathrm{P}_{k}$となる．

以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{Q}_{k+2}=\mathrm{Q}_k$となるための，$\theta$と$\theta^\prime$に関する条件を求めよ．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$，$\theta=-\theta^\prime$，$|\mathrm{Q|_0 \mathrm{P}_0}=1$とする．$\mathrm{Q}_0$を中心とし，半径が$r$の円を$C$とする．$\mathrm{P}_{n-1}$は$C$の内部，$\mathrm{Q}_n$は$C$の外部にあるという．このとき，$r^2$が取り得る値の範囲を$n$と$\theta$を用いて表せ．

下図のように，$\triangle \mathrm{ABC}$の外部に$3$点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$を$\triangle \mathrm{ABD}$，$\triangle \mathrm{BCE}$，$\triangle \mathrm{CAF}$がそれぞれ正三角形になるようにとる．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$，$3$辺の長さを$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$，$\mathrm{AB}=c$とおくとき，以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおくとき，$\sin \theta$を$b,\ c,\ S$を用いて，$\cos \theta$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{DC}^2$を$a,\ b,\ c,\ S$を用いて表し，$\mathrm{DC}^2=\mathrm{EA}^2=\mathrm{FB}^2$が成り立つことを示せ．
(3)$3$つの正三角形の面積の平均を$T$とおくとき，$\mathrm{DC}^2$を$S$と$T$を用いて表せ．

円$C:x^2+y^2=20$と円$C$の外部に存在する点$\mathrm{R}(8,\ a)$（$a$は負の実数）について考える．点$\mathrm{R}$を通り円$C$に接する直線は$2$つ存在する．この$2$つの直線が円$C$と接する点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする（点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p,\ q$とする）．$\angle \mathrm{PRQ}={60}^\circ$となるとき，$|a+p+q|$の値を求めよ．

放物線$\displaystyle C:y=\frac{\sqrt{3}}{4}x^2$上の点$\mathrm{P}(2,\ \sqrt{3})$における接線を$\ell$とする．第$1$象限に中心をもつ円$O$が$x$軸に接し，かつ点$\mathrm{P}$で直線$\ell$に接するとき，次の各問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$を通り，直線$\ell$に直交する直線の方程式を求めよ．
(2)円$O$の中心の座標と半径を求めよ．
(3)円$O$の外部において，放物線$C$，円$O$および$x$軸によって囲まれた部分の面積を求めよ．

$xy$平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$がある．$C$の外部の点$\mathrm{A}(a,\ b) (a^2+b^2>1)$から$C$に接線を$1$本引き，その接点を$\mathrm{P}$とし，半直線$\mathrm{OA}$上に$\mathrm{OA} \cdot \mathrm{OQ}=\mathrm{OP}^2$となる点$\mathrm{Q}$をとる．

(1)$\mathrm{OA} \perp \mathrm{PQ}$となることを示せ．
(2)$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{A}$が$b=\sqrt{2}$，$-\sqrt{2} \leqq a \leqq \sqrt{2}$の範囲を動くとき，$\mathrm{Q}$の軌跡を求めて図示せよ．

座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．$C$の外部にある点$\mathrm{P}(a,\ b)$から$C$にひいた$2$本の接線と$C$との接点を$\mathrm{H}$，$\mathrm{H}^\prime$とする．$\angle \mathrm{OPH}=\theta$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{PH}$の長さ，および$\sin \theta$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{HH}^\prime=\mathrm{OP}$となるような点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$を$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$かつ$\mathrm{AB}>\mathrm{BC}$である二等辺三角形とする．辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{D}$を，三角形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{CDB}$が相似となるようにとる．三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$，三角形$\mathrm{ADC}$の外心を$\mathrm{P}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$は三角形$\mathrm{ADC}$の外部にあることを示せ．
(2)四角形$\mathrm{AOCP}$において，$\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{APC}$であることを示せ．
(3)三角形$\mathrm{CDB}$の外心は，三角形$\mathrm{ADC}$の外接円の周上にあることを示せ．

下図のように半径$1$の円$C_1$の内部に半径$x$の円$C_2$と半径$(1-x)$の円$C_3$が内接している．ただし$0<x<1$とする．円$C_1$の内部で円$C_2$と円$C_3$の外部の部分（図の斜線部分）の面積の最大値を求めよ．
（図は省略）

平面上に異なる$3$点$\mathrm{A}(\overrightarrow{a})$，$\mathrm{B}(\overrightarrow{b})$，$\mathrm{C}(\overrightarrow{c})$がある．線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$を$m:n$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$，$\mathrm{Q}(\overrightarrow{q})$とする．さらに線分$\mathrm{PQ}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{R}(\overrightarrow{r})$とする．$\displaystyle t=\frac{m}{m+n} (0<t<1)$とするとき，下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{r}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および$t$を用いて表せ．
(2)$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に対し，上のように点$\mathrm{R}$をとる．直線$\mathrm{AC}$に対して点$\mathrm{B}$と対称な位置にある点を$\mathrm{O}$とする．点$\mathrm{R}$は，点$\mathrm{O}$を中心とし半径$\mathrm{OA}$の円の外部にあることを示せ．