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(1ページ目:全28問中1問~10問を表示) 国立 愛知教育大学 2016年 第1問
平面上で,半径$r_1$の円$C_1$と半径$r_2$の円$C_2$が,異なる$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$で交わっているとする.線分$\mathrm{PQ}$の垂直二等分線を$\ell$として,円$C_1$と$\ell$の交点のうち円$C_2$の内部にある点を$\mathrm{R}$,円$C_2$と$\ell$の交点のうち円$C_1$の外部にある点を$\mathrm{S}$とする.
(1)$\displaystyle \angle \mathrm{PRQ}=\frac{\pi}{2},\ \angle \mathrm{PSQ}=\frac{\pi}{6}$のとき,$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}$を求めよ.
(2)$\displaystyle \angle \mathrm{PRQ}=\frac{\pi}{3},\ \angle \mathrm{PSQ}=\frac{\pi}{4}$のとき,$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}$を求めよ.
(3)$\displaystyle \angle \mathrm{PRQ}=\theta_1,\ \angle \mathrm{PSQ}=\theta_2$とするとき,$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}$を$\theta_1$と$\theta_2$を用いて表せ.
(1)$\displaystyle \angle \mathrm{PRQ}=\frac{\pi}{2},\ \angle \mathrm{PSQ}=\frac{\pi}{6}$のとき,$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}$を求めよ.
(2)$\displaystyle \angle \mathrm{PRQ}=\frac{\pi}{3},\ \angle \mathrm{PSQ}=\frac{\pi}{4}$のとき,$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}$を求めよ.
(3)$\displaystyle \angle \mathrm{PRQ}=\theta_1,\ \angle \mathrm{PSQ}=\theta_2$とするとき,$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}$を$\theta_1$と$\theta_2$を用いて表せ.
国立 信州大学 2016年 第5問
$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{Q}_0$を複素数平面上の異なる点とする.自然数$k$に対して,平面上の点$\mathrm{P}_k$,$\mathrm{Q}_k$を以下の条件$(ⅰ)$,$(ⅱ)$を満たすものとして定める.
(i) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k-1}$を$\mathrm{P}_{k-1}$を中心として角$\theta$だけ回転させた線分が$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$となる.
(ii) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$を$\mathrm{Q}_{k}$を中心として角$\theta^\prime$だけ回転させた線分が$\mathrm{Q}_{k} \mathrm{P}_{k}$となる.
以下の問いに答えよ.
(1)$\mathrm{Q}_{k+2}=\mathrm{Q}_k$となるための,$\theta$と$\theta^\prime$に関する条件を求めよ.
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$,$\theta=-\theta^\prime$,$|\mathrm{Q|_0 \mathrm{P}_0}=1$とする.$\mathrm{Q}_0$を中心とし,半径が$r$の円を$C$とする.$\mathrm{P}_{n-1}$は$C$の内部,$\mathrm{Q}_n$は$C$の外部にあるという.このとき,$r^2$が取り得る値の範囲を$n$と$\theta$を用いて表せ.
(i) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k-1}$を$\mathrm{P}_{k-1}$を中心として角$\theta$だけ回転させた線分が$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$となる.
(ii) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$を$\mathrm{Q}_{k}$を中心として角$\theta^\prime$だけ回転させた線分が$\mathrm{Q}_{k} \mathrm{P}_{k}$となる.
以下の問いに答えよ.
(1)$\mathrm{Q}_{k+2}=\mathrm{Q}_k$となるための,$\theta$と$\theta^\prime$に関する条件を求めよ.
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$,$\theta=-\theta^\prime$,$|\mathrm{Q|_0 \mathrm{P}_0}=1$とする.$\mathrm{Q}_0$を中心とし,半径が$r$の円を$C$とする.$\mathrm{P}_{n-1}$は$C$の内部,$\mathrm{Q}_n$は$C$の外部にあるという.このとき,$r^2$が取り得る値の範囲を$n$と$\theta$を用いて表せ.
国立 熊本大学 2016年 第1問
下図のように,$\triangle \mathrm{ABC}$の外部に$3$点$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$を$\triangle \mathrm{ABD}$,$\triangle \mathrm{BCE}$,$\triangle \mathrm{CAF}$がそれぞれ正三角形になるようにとる.$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$,$3$辺の長さを$\mathrm{BC}=a$,$\mathrm{CA}=b$,$\mathrm{AB}=c$とおくとき,以下の問いに答えよ.
(図は省略)
(1)$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおくとき,$\sin \theta$を$b,\ c,\ S$を用いて,$\cos \theta$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ.
(2)$\mathrm{DC}^2$を$a,\ b,\ c,\ S$を用いて表し,$\mathrm{DC}^2=\mathrm{EA}^2=\mathrm{FB}^2$が成り立つことを示せ.
(3)$3$つの正三角形の面積の平均を$T$とおくとき,$\mathrm{DC}^2$を$S$と$T$を用いて表せ.
(図は省略)
(1)$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおくとき,$\sin \theta$を$b,\ c,\ S$を用いて,$\cos \theta$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ.
(2)$\mathrm{DC}^2$を$a,\ b,\ c,\ S$を用いて表し,$\mathrm{DC}^2=\mathrm{EA}^2=\mathrm{FB}^2$が成り立つことを示せ.
(3)$3$つの正三角形の面積の平均を$T$とおくとき,$\mathrm{DC}^2$を$S$と$T$を用いて表せ.
私立 自治医科大学 2015年 第9問
円$C:x^2+y^2=20$と円$C$の外部に存在する点$\mathrm{R}(8,\ a)$($a$は負の実数)について考える.点$\mathrm{R}$を通り円$C$に接する直線は$2$つ存在する.この$2$つの直線が円$C$と接する点を$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする(点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p,\ q$とする).$\angle \mathrm{PRQ}={60}^\circ$となるとき,$|a+p+q|$の値を求めよ.
私立 名城大学 2015年 第3問
放物線$\displaystyle C:y=\frac{\sqrt{3}}{4}x^2$上の点$\mathrm{P}(2,\ \sqrt{3})$における接線を$\ell$とする.第$1$象限に中心をもつ円$O$が$x$軸に接し,かつ点$\mathrm{P}$で直線$\ell$に接するとき,次の各問に答えよ.
(1)点$\mathrm{P}$を通り,直線$\ell$に直交する直線の方程式を求めよ.
(2)円$O$の中心の座標と半径を求めよ.
(3)円$O$の外部において,放物線$C$,円$O$および$x$軸によって囲まれた部分の面積を求めよ.
(1)点$\mathrm{P}$を通り,直線$\ell$に直交する直線の方程式を求めよ.
(2)円$O$の中心の座標と半径を求めよ.
(3)円$O$の外部において,放物線$C$,円$O$および$x$軸によって囲まれた部分の面積を求めよ.
公立 滋賀県立大学 2015年 第2問
$xy$平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$がある.$C$の外部の点$\mathrm{A}(a,\ b) (a^2+b^2>1)$から$C$に接線を$1$本引き,その接点を$\mathrm{P}$とし,半直線$\mathrm{OA}$上に$\mathrm{OA} \cdot \mathrm{OQ}=\mathrm{OP}^2$となる点$\mathrm{Q}$をとる.
(1)$\mathrm{OA} \perp \mathrm{PQ}$となることを示せ.
(2)$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ.
(3)$\mathrm{A}$が$b=\sqrt{2}$,$-\sqrt{2} \leqq a \leqq \sqrt{2}$の範囲を動くとき,$\mathrm{Q}$の軌跡を求めて図示せよ.
(1)$\mathrm{OA} \perp \mathrm{PQ}$となることを示せ.
(2)$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ.
(3)$\mathrm{A}$が$b=\sqrt{2}$,$-\sqrt{2} \leqq a \leqq \sqrt{2}$の範囲を動くとき,$\mathrm{Q}$の軌跡を求めて図示せよ.
国立 広島大学 2014年 第1問
座標平面上で,原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とする.$C$の外部にある点$\mathrm{P}(a,\ b)$から$C$にひいた$2$本の接線と$C$との接点を$\mathrm{H}$,$\mathrm{H}^\prime$とする.$\angle \mathrm{OPH}=\theta$とするとき,次の問いに答えよ.
(1)$\mathrm{PH}$の長さ,および$\sin \theta$を$a,\ b$を用いて表せ.
(2)$\mathrm{HH}^\prime=\mathrm{OP}$となるような点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ.
(1)$\mathrm{PH}$の長さ,および$\sin \theta$を$a,\ b$を用いて表せ.
(2)$\mathrm{HH}^\prime=\mathrm{OP}$となるような点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ.
国立 奈良女子大学 2014年 第5問
三角形$\mathrm{ABC}$を$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$かつ$\mathrm{AB}>\mathrm{BC}$である二等辺三角形とする.辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{D}$を,三角形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{CDB}$が相似となるようにとる.三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$,三角形$\mathrm{ADC}$の外心を$\mathrm{P}$とする.以下の問いに答えよ.
(1)点$\mathrm{P}$は三角形$\mathrm{ADC}$の外部にあることを示せ.
(2)四角形$\mathrm{AOCP}$において,$\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{APC}$であることを示せ.
(3)三角形$\mathrm{CDB}$の外心は,三角形$\mathrm{ADC}$の外接円の周上にあることを示せ.
(1)点$\mathrm{P}$は三角形$\mathrm{ADC}$の外部にあることを示せ.
(2)四角形$\mathrm{AOCP}$において,$\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{APC}$であることを示せ.
(3)三角形$\mathrm{CDB}$の外心は,三角形$\mathrm{ADC}$の外接円の周上にあることを示せ.
国立 小樽商科大学 2014年 第4問
下図のように半径$1$の円$C_1$の内部に半径$x$の円$C_2$と半径$(1-x)$の円$C_3$が内接している.ただし$0<x<1$とする.円$C_1$の内部で円$C_2$と円$C_3$の外部の部分(図の斜線部分)の面積の最大値を求めよ.
(図は省略)
(図は省略)
国立 東京学芸大学 2014年 第2問
平面上に異なる$3$点$\mathrm{A}(\overrightarrow{a})$,$\mathrm{B}(\overrightarrow{b})$,$\mathrm{C}(\overrightarrow{c})$がある.線分$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BC}$を$m:n$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$,$\mathrm{Q}(\overrightarrow{q})$とする.さらに線分$\mathrm{PQ}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{R}(\overrightarrow{r})$とする.$\displaystyle t=\frac{m}{m+n} (0<t<1)$とするとき,下の問いに答えよ.
(1)$\overrightarrow{r}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$および$t$を用いて表せ.
(2)$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$に対し,上のように点$\mathrm{R}$をとる.直線$\mathrm{AC}$に対して点$\mathrm{B}$と対称な位置にある点を$\mathrm{O}$とする.点$\mathrm{R}$は,点$\mathrm{O}$を中心とし半径$\mathrm{OA}$の円の外部にあることを示せ.
(1)$\overrightarrow{r}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$および$t$を用いて表せ.
(2)$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$に対し,上のように点$\mathrm{R}$をとる.直線$\mathrm{AC}$に対して点$\mathrm{B}$と対称な位置にある点を$\mathrm{O}$とする.点$\mathrm{R}$は,点$\mathrm{O}$を中心とし半径$\mathrm{OA}$の円の外部にあることを示せ.