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東洋大学 私立 東洋大学 2016年 第1問
次の各問に答えよ.

(1)整式$(a+b-7)^3-(a-b+7)^3$を因数分解すると,
\[ 2(b-[ア])([イ]a^2+b^2-[ウエ]b+[オカ]) \]
となる.
(2)$\log_2 x+\log_2 y=4$のとき,$x^2+y^2$の最小値は$[キク]$で,そのときの$x,\ y$の値は$x=[ケ]$,$y=[コ]$である.
(3)各辺の長さが$\mathrm{AB}=10$,$\mathrm{BC}=8$,$\mathrm{CA}=6$である$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$,$\angle \mathrm{A}$の外角の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の延長との交点を$\mathrm{E}$とする.このとき,線分$\mathrm{DE}$の長さは$[サシ]$である.
(4)$k$を定数とするとき,方程式$x^3+3x^2-9x-k=0$が異なる$3$個の実数解をもつための必要十分条件は$-[ス]<k<[セソ]$である.
静岡大学 国立 静岡大学 2014年 第1問
三角形$\mathrm{OAB}$において,頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$におけるそれぞれの外角の二等分線の交点を$\mathrm{C}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき,次の問いに答えよ.

(1)点$\mathrm{P}$が$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線上にあるとき,
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=t \left( \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}+\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} \right) \]
となる実数$t$が存在することを示せ.
(2)$|\overrightarrow{a}|=7$,$|\overrightarrow{b}|=5$,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=5$のとき,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.
静岡大学 国立 静岡大学 2014年 第3問
三角形$\mathrm{OAB}$において,頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$におけるそれぞれの外角の二等分線の交点を$\mathrm{C}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき,次の問いに答えよ.

(1)点$\mathrm{P}$が$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線上にあるとき,
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=t \left( \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}+\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} \right) \]
となる実数$t$が存在することを示せ.
(2)$|\overrightarrow{a}|=7$,$|\overrightarrow{b}|=5$,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=5$のとき,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.
杏林大学 私立 杏林大学 2014年 第3問
$[ケ]$,$[ヌ]$,$[ネ]$の解答は解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ.

$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$がそれぞれ$x$軸,$y$軸,$z$軸上にあり,原点$\mathrm{O}$を頂点に持つ$3$つの三角形$\mathrm{OAB}$,$\mathrm{OBC}$,$\mathrm{OCA}$の面積の比が$1:\sqrt{3}:\sqrt{5}$となっている.三角形$\mathrm{ABC}$を含む平面を$\alpha$とする.

(1)平面$\alpha$上にある点$\mathrm{P}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と表わすと,$s+t+u=[ア]$が成り立つ.
(2)$4$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を通る球面の中心を$\mathrm{D}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{[イ]}{[ウ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[エ]}{[オ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[カ]}{[キ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
と表わされる.
直線$\mathrm{OD}$と平面$\alpha$の交点$\mathrm{G}$は,線分$\mathrm{OD}$を$[ク]:1$に内分する.点$\mathrm{G}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ケ]$である.
(3)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[コ]}{[サ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[シ]}{[ス]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[セ]}{[ソ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}}, \]
点$\mathrm{D}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{E}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{[タ]}{[チ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ツ]}{[テ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ト]}{[ナ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
が成り立つ.
点$\mathrm{G}$は線分$\mathrm{EH}$を$1:[ニ]$に内分する.
点$\mathrm{H}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ヌ]$であり,点$\mathrm{E}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ネ]$である.

$[ケ]$,$[ヌ]$,$[ネ]$の解答群
\mon[$①$] 重心
\mon[$②$] 内心
\mon[$③$] 外心
\mon[$④$] 垂心
\mon[$⑤$] 三辺の中点を通る円の中心
\mon[$⑥$] 頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$における外角の二等分線の交点
\mon[$④chi$] 頂点$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$における外角の二等分線の交点
\mon[$\maruhachi$] 頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{C}$における外角の二等分線の交点
西南学院大学 私立 西南学院大学 2011年 第2問
$\mathrm{AB}=3$,$\mathrm{AC}=2$,$\angle \mathrm{BAC}=60^\circ$の三角形$\mathrm{ABC}$がある.$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$,$\angle \mathrm{BAC}$の外角の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の延長との交点を$\mathrm{Q}$とし,$\angle \mathrm{APQ}=\theta$とするとき,以下の問に答えよ.

(1)$\mathrm{BC}=\sqrt{[サ]}$である.
(2)$\displaystyle \mathrm{AP}=\frac{[シ] \sqrt{[ス]}}{[セ]}$,$\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac{[ソタ] \sqrt{[チ]}}{[ツ]}$であるから,$\displaystyle \cos \theta=\frac{\sqrt{[テト]}}{[ナニ]}$である.
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「外角」とは・・・

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