$n$を正の整数とし，$m$を$0$以上$10$以下の整数とする．袋$1$から袋$n$まで，外見では区別のつかない袋が$n$袋ある．$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$について，袋$k$の中には，赤球が$k$個，白球が$n-k$個入っているものとする．袋を$1$つ選んだ後，その選んだ袋について次の操作を$10$回繰り返して行うことにする．

（操作） 袋から球を$1$つ取り出し，色を確認してその袋に戻す．

赤球をちょうど$m$回取り出す確率を$P_{m,n}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$P_{m,n}$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} P_{10,n}$を求めよ．
(3)$m=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ 9$について，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_{m,n}=\lim_{n \to \infty} P_{m+1,n}$を示せ．

棚に包装された製品が$n$個（$n \geqq 4$）並んでいるが，そのうち$2$個が不良品だということがわかっている．$n$個の製品はすでに包装されているため，外見からはどれが不良品かどうかを区別することはできない．今，どの$2$個が不良品かを見つけるために，$n$個の製品のうち$1$個を取り出し，包装を解き，中身をチェックする．中身が不良品だった場合は，別に置いてあったすでに包装された良品と交換し，もとにあった場所に戻す．中身が不良品でなかった場合は，製品を包装し直した上でもとにあった場所に戻す．$1$個目の製品のチェックが終わったら，棚の別の製品も同様にチェックし，この作業を$2$個の不良品が見つかるまで繰り返し，$2$個目の不良品を交換した時点で終了する．包装された良品と交換する費用は製品$1$個につき$1000$円，製品を包装し直す費用は製品$1$個につき$100$円である．

(1)$n=4$のとき，この作業全体の費用が$2200$円になる確率は$[セ]$である．
(2)$n=4$のとき，この作業全体の費用の期待値は$\displaystyle \left( 2000+[ソ] \right)$円である．
(3)この作業全体の費用の期待値を$n$の関数で表すと$\displaystyle \left( 2000+[タ] \right)$円である．