タグ「変曲点」の検索結果

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山口大学 国立 山口大学 2016年 第1問
関数$f(x)=|x^3-3x^2-3x+1|$について,次の問いに答えなさい.

(1)方程式$f(x)=0$の実数解をすべて求めなさい.
(2)$f(x)$の増減,極値を調べ,$y=f(x)$のグラフをかきなさい.ただし,グラフの変曲点と凹凸は調べなくてよい.
(3)$a$を実数の定数とする.$x$についての方程式$f(x)=a$が,ちょうど$4$個の異なる実数解をもつように,$a$の値の範囲を定めなさい.
名古屋工業大学 国立 名古屋工業大学 2016年 第1問
関数$\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x^2+1}$のグラフを曲線$C$とする.

(1)関数$f(x)$の極値を求めよ.
(2)曲線$C$の変曲点を求めよ.
(3)曲線$C$上の点$(0,\ f(0))$における接線を$\ell$とする.曲線$C$と接線$\ell$とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ.
岡山大学 国立 岡山大学 2016年 第3問
$a$は正の数とし,次の関数$y=f_a(x)$のグラフの変曲点を$\mathrm{P}$とする.
\[ f_a(x)=axe^{-\frac{x}{a}} \quad (x \geqq 0) \]
このとき以下の問いに答えよ.

(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
(2)$a$が区間$1 \leqq a \leqq 2$全体を動くとき,点$\mathrm{P}$が描く曲線$C$の概形を図示せよ.
(3)$x \geqq 0$における曲線$y=f_1(x)$,$y=f_2(x)$と$(2)$の曲線$C$の$3$曲線で囲まれた部分の面積を求めよ.
宮城教育大学 国立 宮城教育大学 2016年 第4問
実数$a$は$\displaystyle 0<a<\frac{1}{2}$であるとする.関数$f(x)=\sqrt{x}-a \log x$について次の問いに答えよ.

(1)関数$y=f(x)$の増減,極値,グラフの凹凸および変曲点を調べて,そのグラフの概形をかけ.ただし$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt{x}}=0$となることを用いてよい.
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ 1)$における接線を$\ell$とする.曲線$y=f(x)$は$\ell$と垂直な接線をもつことを示せ.
奈良女子大学 国立 奈良女子大学 2016年 第2問
座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(t,\ 1)$,$\mathrm{B}(-1,\ 0)$,$\mathrm{C}(1,\ 0)$がある.ここで,$t$は実数全体を動くものとする.三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{D}$,外心を$\mathrm{E}$とする.次の問いに答えよ.

(1)点$\mathrm{D}$と点$\mathrm{E}$の座標を$t$を用いて表せ.
(2)線分$\mathrm{DE}$の長さの$2$乗を$t$を用いて表し,それを$f(t)$とおく.関数$y=f(t)$の増減,極値,グラフの凹凸および変曲点を調べて,そのグラフをかけ.
長崎大学 国立 長崎大学 2016年 第3問
以下の問いに答えよ.

(1)関数
\[ y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \]
の増減を調べ,$y$のとり得る値の範囲を求めよ.また,この関数の逆関数を求めよ.
(2)定積分
\[ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx \]
について,$I_1,\ I_2,\ I_3$を求めよ.
(3)関数
\[ f(x)=\frac{1+\log x}{x} \quad (x>0) \]
がある.曲線$C:y=f(x)$の変曲点を$\mathrm{P}(a,\ f(a))$とする.曲線$C$と直線$x=a$,および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ.
長崎大学 国立 長崎大学 2016年 第3問
以下の問いに答えよ.

(1)関数
\[ y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \]
の増減を調べ,$y$のとり得る値の範囲を求めよ.また,この関数の逆関数を求めよ.
(2)定積分
\[ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx \]
について,$I_1,\ I_2,\ I_3$を求めよ.
(3)関数
\[ f(x)=\frac{1+\log x}{x} \quad (x>0) \]
がある.曲線$C:y=f(x)$の変曲点を$\mathrm{P}(a,\ f(a))$とする.曲線$C$と直線$x=a$,および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ.
学習院大学 私立 学習院大学 2016年 第4問
平面上で,曲線$\displaystyle C:y=\frac{2}{x^2+1}$を考える.

(1)$C$は変曲点を$2$つもつ.その$2$点の座標を求めよ.
(2)$(1)$で求めた$2$点での$C$の接線を,それぞれ$L_1,\ L_2$とする.$2$直線$L_1,\ L_2$と$C$とで囲まれた部分の面積を求めよ.
青山学院大学 私立 青山学院大学 2016年 第5問
関数$y=xe^{-x} (x \geqq 0)$のグラフにおいて,$y$座標の値が最大となる点を$\mathrm{A}$,変曲点を$\mathrm{B}$とし,点$\mathrm{B}$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点を$\mathrm{C}$とする.

(1)点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の座標を求め,関数$y=xe^{-x} (x \geqq 0)$のグラフをかけ.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$であることを用いてよい.
(2)線分$\mathrm{OA}$,$\mathrm{OB}$および関数$y=xe^{-x}$のグラフの点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$までの部分で囲まれた図形の面積$S_1$を求めよ.ただし,$\mathrm{O}$は原点である.
(3)$S_1$と三角形$\mathrm{OBC}$の面積$S_2$の大小を比較せよ.
福岡大学 私立 福岡大学 2016年 第3問
曲線$C:y=2 \cos^3 x+3 \cos x (0 \leqq x \leqq \pi)$について,次の問いに答えよ.

(1)曲線$C$の増減表を書き,変曲点を求めよ.
(2)曲線$C$と$x$軸,$y$軸で囲まれる部分の面積を求めよ.
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