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私立 岡山理科大学 2016年 第3問関数
\[ f(x)=\log_4 (x-1)+\log_{\frac{1}{2}} (x+1) \]
について，次の問いに答えよ．
(1)$f(3)$の値を求めよ．
(2)関数$f(x)$において，変数$x$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)不等式$f(x) \leqq -2$を解け．
\[ f(x)=\log_4 (x-1)+\log_{\frac{1}{2}} (x+1) \]
について，次の問いに答えよ．
(1)$f(3)$の値を求めよ．
(2)関数$f(x)$において，変数$x$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)不等式$f(x) \leqq -2$を解け．
私立 福岡大学 2016年 第2問次の$[ ]$をうめよ．
(1)方程式$\log_2 (5-x)=\log_8 (x^2-15)$を解くと$[ ]$である．また，変数$a,\ b$が$\log_9 a=(\log_3 b)^2$をみたすとき$\displaystyle \left( \frac{a}{b} \right)^8$の最小値は$[ ]$である．
(2)$a_1=-30$，$a_{n+1}-a_n=-2n+18$で定められる数列$\{a_n\}$について，$a_n>0$である$n$の個数を求めると$[ ]$であり，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$の最大値を求めると$[ ]$である．
(1)方程式$\log_2 (5-x)=\log_8 (x^2-15)$を解くと$[ ]$である．また，変数$a,\ b$が$\log_9 a=(\log_3 b)^2$をみたすとき$\displaystyle \left( \frac{a}{b} \right)^8$の最小値は$[ ]$である．
(2)$a_1=-30$，$a_{n+1}-a_n=-2n+18$で定められる数列$\{a_n\}$について，$a_n>0$である$n$の個数を求めると$[ ]$であり，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$の最大値を求めると$[ ]$である．
国立 埼玉大学 2015年 第4問$n$は$2$以上の自然数とし，
\[ f(\theta)=\frac{\cos^{n-1}\theta \sin^{n-1}\theta}{\cos^{2n}\theta+\sin^{2n}\theta} \]
とする．次の問いに答えよ．
(1)$t=\tan^n \theta$と変数変換することにより，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(\theta) \, d\theta$を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で$f(\theta)$の最大値および最小値を求めよ．
\[ f(\theta)=\frac{\cos^{n-1}\theta \sin^{n-1}\theta}{\cos^{2n}\theta+\sin^{2n}\theta} \]
とする．次の問いに答えよ．
(1)$t=\tan^n \theta$と変数変換することにより，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(\theta) \, d\theta$を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で$f(\theta)$の最大値および最小値を求めよ．
国立 埼玉大学 2015年 第4問関数$\displaystyle f(\theta)=\frac{\cos \theta \sin \theta}{\cos^4 \theta+\sin^4 \theta}$について，次の問いに答えよ．
(1)$t=\tan^2 \theta$と変数変換することにより，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(\theta) \, d\theta$を求めよ．
(2)$f(\theta)$の最大値および最小値を求めよ．
(1)$t=\tan^2 \theta$と変数変換することにより，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(\theta) \, d\theta$を求めよ．
(2)$f(\theta)$の最大値および最小値を求めよ．
国立 山形大学 2015年 第2問$\displaystyle y=\cos \frac{\pi x}{2} (0 \leqq x \leqq 1)$で与えられる曲線を$C$とする．曲線$C$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形$S$について，以下の問いに答えよ．
(1)図形$S$の面積を求めよ．
(2)図形$S$を$x$軸のまわりに$1$回転させて得られる立体の体積を求めよ．
(3)部分積分法を用いて次の不定積分を求めよ．
\[ \int x^2 \sin x \, dx \]
(4)図形$S$を$y$軸のまわりに$1$回転させて得られる立体の体積を求めよ．その際，曲線$C$は変数$t$を媒介変数として
\[ x=\frac{2}{\pi}t,\quad y=\cos t \quad \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
と表せることを利用せよ．
(1)図形$S$の面積を求めよ．
(2)図形$S$を$x$軸のまわりに$1$回転させて得られる立体の体積を求めよ．
(3)部分積分法を用いて次の不定積分を求めよ．
\[ \int x^2 \sin x \, dx \]
(4)図形$S$を$y$軸のまわりに$1$回転させて得られる立体の体積を求めよ．その際，曲線$C$は変数$t$を媒介変数として
\[ x=\frac{2}{\pi}t,\quad y=\cos t \quad \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
と表せることを利用せよ．
国立 防衛医科大学校 2015年 第2問スイッチを押すと，$0$から$n$までの整数が$1$つ表示される機械がある．表示される数字を$X$とすると，$X=k$となる確率$P(X=k)=C \alpha^k (k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n)$である．ただし，$C$は定数，$0<\alpha<1$である．
(1)$P(X=k)$を$\alpha$と$k$で表せ（$k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n$）．
(2)$P(X<k)>1-\alpha^k$であることを示せ（$k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n+1$）．
(3)確率$p$で$1$点もらえ，確率$1-p$で得点がもらえない試行を考える（$0<p<1$）．この試行を独立に$m$回行ったとき，$l$点（$0 \leqq l \leqq m$）もらえる確率を$Q_{m,l}(p)$と表す．このとき，$m,\ l$を一定とし，$p$を変数とみなして以下の問に答えよ．
(i) $y=\log Q_{m,l}(p)$はどのような変化をするか．$p$を横軸，$y$を縦軸とする$y$のグラフの概形を描け．ただし，$\log$は自然対数である．
(ii) $Q_{m,l}(p)$を最大にする$p$を求めよ．
(4)$\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}$とする．このとき，$Q_{2m,m}(P(X<k))$を最大にする$k (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$を求めよ．
(1)$P(X=k)$を$\alpha$と$k$で表せ（$k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n$）．
(2)$P(X<k)>1-\alpha^k$であることを示せ（$k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n+1$）．
(3)確率$p$で$1$点もらえ，確率$1-p$で得点がもらえない試行を考える（$0<p<1$）．この試行を独立に$m$回行ったとき，$l$点（$0 \leqq l \leqq m$）もらえる確率を$Q_{m,l}(p)$と表す．このとき，$m,\ l$を一定とし，$p$を変数とみなして以下の問に答えよ．
(i) $y=\log Q_{m,l}(p)$はどのような変化をするか．$p$を横軸，$y$を縦軸とする$y$のグラフの概形を描け．ただし，$\log$は自然対数である．
(ii) $Q_{m,l}(p)$を最大にする$p$を求めよ．
(4)$\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}$とする．このとき，$Q_{2m,m}(P(X<k))$を最大にする$k (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$を求めよ．
国立 宮崎大学 2015年 第4問$a \geqq 0$，$b \geqq 0$とする．このとき，変数$x$の関数
\[ f(x)=\cos 2x \cos x+2a \sin 2x-2 \cos 2x-8a \sin x-(b+1) \cos x+2(b+1) \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$X=\sin x,\ Y=\cos x$とおくとき，
\[ f(x)=(Y-[ア])(-[イ]X^2+[ウ]X-b) \]
と表せる．ア，イ，ウに入る数，または$a,\ b$を用いた文字式を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲内に少なくとも$1$つの解をもつようなすべての$a,\ b$を座標平面上の点$(a,\ b)$として図示せよ．
\[ f(x)=\cos 2x \cos x+2a \sin 2x-2 \cos 2x-8a \sin x-(b+1) \cos x+2(b+1) \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$X=\sin x,\ Y=\cos x$とおくとき，
\[ f(x)=(Y-[ア])(-[イ]X^2+[ウ]X-b) \]
と表せる．ア，イ，ウに入る数，または$a,\ b$を用いた文字式を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲内に少なくとも$1$つの解をもつようなすべての$a,\ b$を座標平面上の点$(a,\ b)$として図示せよ．
国立 宮崎大学 2015年 第2問$a \geqq 0$，$b \geqq 0$とする．このとき，変数$x$の関数
\[ f(x)=\cos 2x \cos x+2a \sin 2x-2 \cos 2x-8a \sin x-(b+1) \cos x+2(b+1) \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$X=\sin x,\ Y=\cos x$とおくとき，
\[ f(x)=(Y-[ア])(-[イ]X^2+[ウ]X-b) \]
と表せる．ア，イ，ウに入る数，または$a,\ b$を用いた文字式を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲内に少なくとも$1$つの解をもつようなすべての$a,\ b$を座標平面上の点$(a,\ b)$として図示せよ．
\[ f(x)=\cos 2x \cos x+2a \sin 2x-2 \cos 2x-8a \sin x-(b+1) \cos x+2(b+1) \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$X=\sin x,\ Y=\cos x$とおくとき，
\[ f(x)=(Y-[ア])(-[イ]X^2+[ウ]X-b) \]
と表せる．ア，イ，ウに入る数，または$a,\ b$を用いた文字式を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲内に少なくとも$1$つの解をもつようなすべての$a,\ b$を座標平面上の点$(a,\ b)$として図示せよ．
私立 慶應義塾大学 2015年 第3問$\mathrm{M}$社はブドウを栽培し，それを原料にしたワインを醸造して世界中に販売している，としよう．一般には，企業の業績には，社内のさまざまな活動だけでなく，社外の要因も大きくかかわっている．しかしながら，ここでは，問題が複雑にならないように，一部の活動に限定して，$\mathrm{M}$社の醸造計画を考えてみよう．
栽培および醸造において，量と質には，醸造量が増えれば増えるほどワインの品質が低下する，という関係があると仮定する．この関係は，
\[ q=a-bx \]
という単純な式で表されるとする．ここで，$x$はワインの醸造量（リットル），$q$はワインの品質の高さを表す$\mathrm{M}$社が独自に定めた指標とし，$a$と$b$は正の実数とする．また，変数$x$のとり得る値の範囲は，$x$と$q$がともに正の値となる範囲とする．
醸造されるワインはすべて同一の品質で，同一の価格で販売されるものとし，その価格を$p$（円／リットル）で表す．市場において，品質の高いワインは希少性が増すため，その価格は非常に高いものになる．この関係は，
\[ p=cq^2 \]
で表されると仮定する．ただし，$c$は正の実数とする．また，醸造されたワインは，上記で定まる価格で，すべて残らずに販売されてしまうものとする．
$\mathrm{M}$社は，以上の諸条件を前提にして，その年の栽培および醸造を行う．すなわち，醸造量を$x$と決め，それに応じて適切な栽培および醸造を行うことにより，品質の指標が$q$となるワインを作り，その全量（すなわち$x$）を品質の指標$q$に応じた価格$p$で販売し，売上高$y=px$（円）を得る．
(1)売上高は，
\[ x=\frac{[$69$]}{[$70$]} \cdot \frac{a}{b} \ \text{（リットル）} \]
のとき，最大値
\[ \frac{[$71$]}{[$72$][$73$]} \cdot \frac{ca \!\!\! \raisebox{3mm}[5mm][1mm]{\mkakko{$74$}}}{b} \ \text{（円）} \]
をとる．
(2)次に，ワインを醸造するに際し，技術上の制約や販売上の都合などの理由で，醸造量の下限が設けられているとしよう．この下限を正の実数$m$（リットル）で表す．$x$の取り得る値の範囲には，$x$が$m$以上という条件が追加されることになる．このときの売上高の最大値を$\overline{y}$で表し，それを与える醸造量を$\overline{x}$で表す．$\overline{x}$は$m$の関数であるので，これを$\overline{x}=f(m)$で表す．関数$f(m)$の定義域を$\displaystyle 0<m<\frac{a}{b}$として，この関数のグラフを描きなさい．
同様に，$\overline{y}$も$m$の関数であるので，これを$\overline{y}=g(m)$で表す．関数$g(m)$の定義域を$\displaystyle 0<m<\frac{a}{b}$として，この関数のグラフを描きなさい．
栽培および醸造において，量と質には，醸造量が増えれば増えるほどワインの品質が低下する，という関係があると仮定する．この関係は，
\[ q=a-bx \]
という単純な式で表されるとする．ここで，$x$はワインの醸造量（リットル），$q$はワインの品質の高さを表す$\mathrm{M}$社が独自に定めた指標とし，$a$と$b$は正の実数とする．また，変数$x$のとり得る値の範囲は，$x$と$q$がともに正の値となる範囲とする．
醸造されるワインはすべて同一の品質で，同一の価格で販売されるものとし，その価格を$p$（円／リットル）で表す．市場において，品質の高いワインは希少性が増すため，その価格は非常に高いものになる．この関係は，
\[ p=cq^2 \]
で表されると仮定する．ただし，$c$は正の実数とする．また，醸造されたワインは，上記で定まる価格で，すべて残らずに販売されてしまうものとする．
$\mathrm{M}$社は，以上の諸条件を前提にして，その年の栽培および醸造を行う．すなわち，醸造量を$x$と決め，それに応じて適切な栽培および醸造を行うことにより，品質の指標が$q$となるワインを作り，その全量（すなわち$x$）を品質の指標$q$に応じた価格$p$で販売し，売上高$y=px$（円）を得る．
(1)売上高は，
\[ x=\frac{[$69$]}{[$70$]} \cdot \frac{a}{b} \ \text{（リットル）} \]
のとき，最大値
\[ \frac{[$71$]}{[$72$][$73$]} \cdot \frac{ca \!\!\! \raisebox{3mm}[5mm][1mm]{\mkakko{$74$}}}{b} \ \text{（円）} \]
をとる．
(2)次に，ワインを醸造するに際し，技術上の制約や販売上の都合などの理由で，醸造量の下限が設けられているとしよう．この下限を正の実数$m$（リットル）で表す．$x$の取り得る値の範囲には，$x$が$m$以上という条件が追加されることになる．このときの売上高の最大値を$\overline{y}$で表し，それを与える醸造量を$\overline{x}$で表す．$\overline{x}$は$m$の関数であるので，これを$\overline{x}=f(m)$で表す．関数$f(m)$の定義域を$\displaystyle 0<m<\frac{a}{b}$として，この関数のグラフを描きなさい．
同様に，$\overline{y}$も$m$の関数であるので，これを$\overline{y}=g(m)$で表す．関数$g(m)$の定義域を$\displaystyle 0<m<\frac{a}{b}$として，この関数のグラフを描きなさい．
私立 愛知学院大学 2015年 第2問$x$の関数$y=-3x^2+4ax-a$の最大値を$M$とするとき，次の問いに答えなさい．ただし，$a$は定数であり，$x$は$0 \leqq x \leqq 3$の範囲の変数である．
(1)$a=3$のとき，$M$の値を求めなさい．
(2)$0<a<3$のとき，$M$を$a$を用いて表しなさい．
(1)$a=3$のとき，$M$の値を求めなさい．
(2)$0<a<3$のとき，$M$を$a$を用いて表しなさい．