$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．線分$\mathrm{AB}$を$p:(1-p) (0<p<1)$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{OC}$を$q:(1-q) (0<q<1)$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ p,\ q$を用いて表し，次の空欄$[タ]$～$[ツ]$に$p,\ q$を用いた値や式を記せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{DE}}=\left( [タ] \right) \overrightarrow{a}+\left( [チ] \right) \overrightarrow{b}+\left( [ツ] \right) \overrightarrow{c} \quad \cdots\cdots ① \]
(2)${|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}^2$を求める過程を記した次の文章の空欄$[テ]$～$[ト]$に適切な値や式を記せ．
$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OBC}$，$\triangle \mathrm{OCA}$は，いずれも$1$辺の長さが$2$の正三角形だから，
\[ |\overrightarrow{a|}=|\overrightarrow{b|}=|\overrightarrow{c|}=2 \quad \cdots\cdots ② \]
かつ，
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=[テ] \quad \cdots\cdots ③ \]
$①,\ ②,\ ③$より，${|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}^2$は$p,\ q$を用いて次のように表せる．
\[ {|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}^2=4 \left( [ト] \right) \quad \cdots\cdots ④ \]
(3)点$\mathrm{D}$，点$\mathrm{E}$がそれぞれ$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OC}$上を動くとき，${|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}$の最小値を求める過程を記した次の文章の空欄$[ナ]$～$[ネ]$に適切な値や式を記せ．
$④$は次のように変形できる．
\[ {|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}^2=4 \left\{ \left( p-[ナ] \right)^2+\left( q-[ニ] \right)^2+[ヌ] \right\} \quad \cdots\cdots ⑤ \]
$⑤$より，${|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}$は$p=[ナ]$，$q=[ニ]$のとき最小値$[ネ]$をとる．

次の空所を埋めよ．

(1)数列$\{a_n\}$が$a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n+2^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たすとき，$a_2=[ア]$，$a_3=[イ]$である．また，漸化式を変形すると，$a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+[ウ])$となることから，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[エ]$である．
(2)$t>0$とし，$k$を実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$，$\mathrm{B}(t,\ -t)$について，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$であるとする．このとき，$t=[オ]$である．さらに，直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}(k,\ k)$を中心とする円$C$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，$k=[カ]$であり，円$C$の半径$r$は，$r=[キ]$である．

次の空所を埋めよ．

(1)数列$\{a_n\}$が$a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n+2^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たすとき，$a_2=[ア]$，$a_3=[イ]$である．また，漸化式を変形すると，$a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+[ウ])$となることから，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[エ]$である．
(2)$t>0$とし，$k$を実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$，$\mathrm{B}(t,\ -t)$について，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$であるとする．このとき，$t=[オ]$である．さらに，直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}(k,\ k)$を中心とする円$C$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，$k=[カ]$であり，円$C$の半径$r$は，$r=[キ]$である．

次の各問に答えよ．

(1)すべての実数$x$に対して
\[ x^2-3ax-a+7 \geqq 0 \cdots\cdots (*) \]
が成り立つような定数$a$の値の範囲は$\displaystyle [アイ] \leqq a \leqq \frac{[ウエ]}{[オ]}$である．

$x \leqq 1$であるすべての$x$に対して$(*)$が成り立つような$a$の値の範囲は

$[カキ] \leqq a \leqq [ク]$である．
(2)$\displaystyle F=\sin \left( \theta+\frac{\pi}{6} \right)+\cos \theta$は

$\displaystyle F=\frac{\sqrt{[ケ]}}{[コ]} \sin \theta+\frac{[サ]}{[シ]} \cos \theta$

$\phantom{F}=\sqrt{[ス]} \sin \left( \theta+\displaystyle\frac{[セ]}{[ソ]} \pi \right)$

と変形できる．ここで，$\displaystyle 0 \leqq \frac{[セ]}{[ソ]} \pi<2\pi$とする．$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，

$\displaystyle F \leqq -\frac{\sqrt{6}}{2}$をみたす$\theta$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[タチ]}{[ツテ]} \pi \leqq \theta \leqq \frac{[トナ]}{[ツテ]} \pi$である．

次の各問に答えよ．

(1)$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．$F=2 \sin \theta (\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta)$は
\[ \begin{array}{rcl}
F &=& [ア]-\sqrt{3} \sin 2\theta-\cos 2\theta \\
&=& [ア]-[イ] \sin \left( 2\theta+\frac{[ウ]}{[エ]} \pi \right)
\end{array} \]
と変形できる．ここで，$\displaystyle 0 \leqq \frac{[ウ]}{[エ]} \pi <2\pi$とする．$F$は$\displaystyle \theta=\frac{[オ]}{[カ]} \pi$のとき，最大値$[キ]$をとる．
(2)$a$を正の定数とし，$f(x)=2x^3-ax^2+27$とする．$f(x)$の導関数は
\[ f^\prime(x)=[ク]x^2-[ケ]ax \]
であり，$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[コ]}{[サ]}a$のとき，極小値$\displaystyle 27-\frac{[シ]}{[スセ]} a^{[ソ]}$をとる．どのような正の数$x$に対しても不等式$2x^3+27>ax^2$が成り立つような$a$の値の範囲は$0<a<[タ]$である．

$[ツ]$の解答は解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ．

区間$\displaystyle \frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{2}{3} \pi$を定義域とする関数$f(\theta)=2 \sin^2 \theta+4 \sin \theta \cos \theta+4 \cos^2 \theta$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(\theta)$は次の形に変形できる．
\[ f(\theta)=\sqrt{[ア]} \sin (2\theta+\alpha)+[イ] \]
ただし，$\alpha$は$\displaystyle \tan \alpha=\frac{[ウ]}{[エ]}$を満たし，$\displaystyle \tan \frac{\alpha}{2}=\sqrt{[オ]}-[カ]$が成り立つ．
(2)$f(\theta)$は，$\displaystyle \theta=\frac{[キ]}{[ク]} \pi$のとき最小値$\displaystyle [ケ] \sqrt{[コ]}+\frac{[サ]}{[シ]}$をとり，
\[ \tan \theta=\frac{\sqrt{[ス]}-[セ]}{[ソ]} \]
を満たす$\theta$において最大値$\sqrt{[タ]}+[チ]$をとる．
(3)$k$を正の定数とすると，方程式$\displaystyle x^2+xy+\frac{1}{2}y^2=k$で表される図形は$[ツ]$である．この曲線と，
\[ x^2+y^2=4,\quad -1 \leqq x \leqq \sqrt{3},\quad y>0 \]
で表わされる弧が接するように$k$を定めると，$2$つの曲線の共通接線の傾きは$\displaystyle \frac{-\sqrt{[テ]}-[ト]}{[ナ]}$となる．

$[ツ]$の解答群
\[ ① \text{円} \qquad ② \text{放物線} \qquad ③ \text{楕円} \qquad ④ \text{双曲線} \]

以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}$を変形すると，$\displaystyle \frac{\sqrt{6}+[ア] \sqrt{3}-[イ] \sqrt{2}-[ウ]}{4}$となる．
(2)$2$次方程式$x^2+3x+4=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^3,\ \beta^3$を$2$つの解とする$2$次方程式を求めると，$x^2-[エ]x+[オカ]=0$となる．
(3)$x>8$のとき$\displaystyle \frac{4x^2-4x-223}{2x-16}$の最小値は，$[キク]$である．

次の各問に答えよ．

(1)関数$f(x)=8 \cos 2x+9 \tan^2 x$は，$\displaystyle f(x)=[アイ] \cos^2 x+\frac{[ウ]}{\cos^2 x}-[エオ]$と変形できる．$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$において，$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[カ]}{[キ]} \pi$のとき最小値$[ク]$をとる．
(2)$x$の不等式$\log_a(x+1)^2>\log_a \{9(x+5)\}$の解は，$a>1$のとき，$[ケコ]<x<[サシ]$，$[スセ]<x$であり，$0<a<1$のときは，$[サシ]<x<[ソタ]$，$[ソタ]<x<[スセ]$である．

次の各設問の[16]と[17]の空欄に数字を入れよ．また，[\phantom{ア]}には文字式を入れ完成させよ．\\
\quad 条件$\displaystyle a_1 = 1,\ a_{n+1}=\frac{9a_n}{3a_n+5} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

(1)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}$とし，$b_{n+1}-q=p(b_n-q)$と変形すると，実数$p,\ q$はそれぞれ$p = [16],\ q=[17]$である．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n = [\phantom{ア]}$である．

次の空欄ア～シに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)方程式$x^3-4x^2+ax+b=0$の$1$つの解が$1-2i$であるとき，実数解は$[ア]$であり，$a=[イ]$，$b=[ウ]$である．ただし，定数$a,\ b$は実数とし，$i$は虚数単位とする．
(2)サイコロを続けて$2$回振り，最初に出た目が$a$，次に出た目が$b$ならば座標平面上に直線$\ell:y=ax-b$を描く．この試行において，直線$\ell$が放物線$y=x^2$と相異なる$2$点で交わる確率は$[エ]$である．
(3)不等式$x^2+y^2+6x+4y-12 \leqq 0$の表す領域の面積は$[オ]$である．
(4)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}-1},\ y=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$であるとき，$x^3+y^3-2xy^2=[カ]$である．
(5)$0 \leqq \theta < 2\pi$のとき，$\sqrt{3}\cos \theta-\sin \theta=r \sin (\theta +\alpha)$の形に変形すると，$r=[キ]$，$\alpha=[ク]$である．ただし，$0 \leqq \alpha < 2\pi$とする．
(6)実数からなる数列$\{a_n\}$が$a_{n+1}^3=2a_n^2,\ a_1=4$を満たすとき，$\log_2a_n=[ケ]$である．
(7)図のように東西$6$本，南北$6$本の道路で区画された場所がある．南西の端の地点$\mathrm{A}$から北東の端の地点$\mathrm{B}$へ行く最短ルートは$[コ]$通りある．
（図は省略）
(8)$3$次関数$f(x)=x^3-3a^2x+b (a>0)$が極大値$13$と極小値$-19$を持つならば$a=[サ]$，$b=[シ]$である．