座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$について，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の大きさを$d$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{e_3}=(0,\ 0,\ 1)$のなす角を$\alpha$とする．そして，点$\mathrm{P}$から$xy$平面に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$と$\overrightarrow{e_1}=(1,\ 0,\ 0)$のなす角を$\beta$とする．ただし，$d \geqq 0$，$0 \leqq \alpha \leqq \pi$，$0 \leqq \beta \leqq 2\pi$であるとし，$\mathrm{P}$が$z$軸上にあるとき$\beta=0$であるものとする．

(1)$x,\ y,\ z$を$d,\ \alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$d=3$を固定し，$\alpha$が$0$から$\pi$，$\beta$が$0$から$2\pi$まで変化したときに点$\mathrm{P}$が描く図形は何か．また，その面積を求めよ．
(3)$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$を固定し，$d$が$0$から$4$，$\beta$が$0$から$2\pi$まで変化したときに点$\mathrm{P}$が描く図形は何か．また，その面積を求めよ．

図のように辺の長さが$a$と$b$である長方形があり，$ab=1$とする．この長方形の四隅から，一辺の長さが$\displaystyle c \left( 0<c<\frac{1}{2} \right)$の正方形を切り取り，残った部分を組み立ててできる直方体の容器の容積を$V$とする．このとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$\displaystyle 0<c<\frac{1}{2}$を満たす$c$に対して，$a$と$b$が変化するとき，$a$の値の範囲を$c$を用いて表せ．
(2)容積$V$を$a$と$c$を用いて表せ．
(3)$a$が$(1)$で求めた範囲にあるとき，$V$を最大にする$a$の値と，そのときの$V$の値を$c$を用いて表せ．
(4)$(3)$で求めた$V$の値を$c$の関数として$M(c)$で表す．このとき，$M(c)$を最大にする$c$の値と，そのときの$M(c)$の値を求めよ．

$xy$平面上の放物線$y=x^2$の$0 \leqq x \leqq 1$に対応する部分の長さを$L$とする．$L$の値を次のようにして求めよう．$L$は定積分
\[ L=\int_0^1 \sqrt{1+[ア]x^2} \, dx \]
で定まる．この定積分を計算するために$\displaystyle x=\frac{e^t-e^{-t}}{4}$として，置換積分を行う．このとき
\[ \frac{dx}{dt}=\frac{e^t+e^{-t}}{4} \]
であり
\[ \sqrt{1+[ア]x^2}=\frac{e^t+e^{-t}}{[イ]} \]
である．

また，$\displaystyle \frac{e^t-e^{-t}}{4}=1$となる$t$の値を$\alpha$とすると，$x$が$0 \to 1$と変化するとき，$t$は$[ウ] \to \alpha$と変化するので，$L$を定める定積分は
\[ L=\frac{1}{[エ]} \int_{\mkakko{ウ}}^\alpha (e^t+e^{-t})^{\mkakko{オ}} \, dt \]
となる．ここで$X=e^\alpha$とおくと，$X$は$2$次方程式
\[ X^2-[カ]X-[キ]=0 \]
の解である．$X>0$なので
\[ X=[ク]+\sqrt{[ケ]} \]
である．これを用いて$\alpha$の値を定め，$L$の値を計算すると
\[ L=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}+\frac{1}{[シ]} \log \left( [ス]+\sqrt{[セ]} \right) \]
である．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(1,\ 0)$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(1,\ 2)$で定め，点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$（$s,\ t$は実数）で定める．

(1)$s=2$，$t=3$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=([サ],\ [シ])$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(2,\ 10)$のとき，$s=[スセ]$，$t=[ソ]$である．
(3)実数$s,\ t$が$4s+5t \leqq 20$，$s \geqq 0$，$t \geqq 0$を満たしながら変化するとき，点$\mathrm{P}$の存在する範囲は原点$\mathrm{O}$，点$([タ],\ [チ])$，$([ツ],\ [テ])$を頂点とする三角形の内部および周である．ただし，$[タ]<[ツ]$とする．

関数$f(x)=1-|ax(1-x)-1|$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a$は正の実数とする．

(1)$ax(1-x)-1$が常に負になるための$a$の条件を求めよ．
(2)$a=6$のとき，$y=f(x)$のグラフを描け．
(3)関数$f(x)$の最大値を$M(a)$とする．$a$がすべての正の実数値をとって変化するとき，点$(a,\ M(a))$を座標平面上に図示せよ．
(4)直線$y=x$と$y=f(x)$のグラフが$3$つの共有点をもつときの$a$の値を求めよ．

$s,\ t$を$s<t$をみたす実数とする．座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 2)$，$\mathrm{B}(s,\ s^2)$，$\mathrm{C}(t,\ t^2)$が一直線上にあるとする．以下の問に答えよ．

(1)$s$と$t$の間の関係式を求めよ．
(2)線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}(u,\ v)$とする．$u$と$v$の間の関係式を求めよ．
(3)$s,\ t$が変化するとき，$v$の最小値と，そのときの$u,\ s,\ t$の値を求めよ．

座標平面上の$2$つの放物線
\[ \begin{array}{rcl}
C_1 & : & y=x^2 \\
C_2 & : & y=-x^2+ax+b \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \]
を考える．ただし，$a,\ b$は実数とする．

(1)$C_1$と$C_2$が異なる$2$点で交わるための$a,\ b$に関する条件を求めよ．
以下，$a,\ b$が$(1)$の条件を満たすとし，$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積が$9$であるとする．
(2)$b$を$a$を用いて表せ．
(3)$a$がすべての実数値をとって変化するとき，放物線$C_2$の頂点が描く軌跡を座標平面上に図示せよ．

四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=1$，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=x$とする．頂点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線を下ろし，平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．頂点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{OBC}$に垂線を下ろし，平面$\mathrm{OBC}$との交点を$\mathrm{H}^\prime$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=p \overrightarrow{a}+q \overrightarrow{b}+r \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OH}^\prime}=s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}$と表す．このとき，$p,\ q,\ r$および$s,\ t$を$x$の式で表せ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$x$の式で表せ．また，$x$が変化するときの$V$の最大値を求めよ．

点$\mathrm{O}$を原点とし，$x$軸，$y$軸，$z$軸を座標軸とする座標空間において，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 0,\ 1)$がある．点$\mathrm{A}$を中心とする$xy$平面上の半径$1$の円周上に点$\mathrm{P}$をとり，図のように$\theta=\angle \mathrm{BAP}$とおく．ただし，$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\frac{3}{2}\pi$とする．また，直線$\mathrm{CP}$と$yz$平面の交点を$\mathrm{Q}$とおく．このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$の値が$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\frac{3}{2}\pi$の範囲で変化するとき，$yz$平面における点$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式を求め，その概形を図示せよ．

$\phantom{A}$
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
x(5-x) & (x \geqq 0) \\
x(x^2-1) & (x<0)
\end{array} \right. \]
とおき，関数$y=f(x)$のグラフを$C$とおく．直線$y=ax$と$C$は，原点$\mathrm{O}$およびそれ以外の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わっているものとする．ただし，点$\mathrm{P}$の$x$座標は正，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は負であるとする．線分$\mathrm{OP}$と$C$によって囲まれる図形の面積を$S_1(a)$，線分$\mathrm{OQ}$と$C$によって囲まれる図形の面積を$S_2(a)$とし，$S(a)=S_1(a)+S_2(a)$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$S_1(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$S_2(a)$を$a$を用いて表せ．
(4)$(1)$で求めた範囲を$a$が変化するとき，$S(a)$の最小値を求めよ．