関数$f(x)=x^3-5x^2+6x+1$について，次の問いに答えよ．

(1)$x \geqq 0$のとき，不等式$f(x)>0$が成り立つことを証明せよ．
(2)$a$を$0$以上の定数とし，曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$，$x=a+1$で囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．$a$を変化させたとき，$S(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

平面上の$\triangle \mathrm{ABC}$と点$\mathrm{O}$を考える．$m,\ n$は正の実数とする．

(1)辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}$とする．このとき${|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2$，${|\overrightarrow{\mathrm{OM|}}}^2$を${|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2$，${|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2$と内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表せ．さらに
\[ \frac{mn}{m+n} {|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2+(m+n) {|\overrightarrow{\mathrm{OM|}}}^2=n {|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2+m {|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2 \]
を示せ．
(2)辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}_1$，辺$\mathrm{BC}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}_2$，辺$\mathrm{CA}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}_3$とする．このとき${|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}}^2$は
\[ \frac{mn}{{(m+n)}^2} \left( {|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{BC|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{CA|}}}^2 \right)+{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_1}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_2}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_3}}}^2 \]
に等しいことを示せ．
(3)$(2)$の$m,\ n$を変化させたとき
\[ {|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_1}}}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_2}}}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_3}}}^2 \]
の最大値を${|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2$，${|\overrightarrow{\mathrm{BC|}}}^2$，${|\overrightarrow{\mathrm{CA|}}}^2$で表せ．

原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする．円$C_1$に外接しながら，半径$1$の円$C_2$がすべることなく回転する．円$C_2$の中心を$\mathrm{P}$とし，円$C_2$上の点$\mathrm{Q}$は最初，$x$軸上の点$\mathrm{A}(3,\ 0)$にあるものとする．半直線$\mathrm{PQ}$上で点$\mathrm{P}$からの距離が$2$の点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{OP}$が$x$軸の正の向きとなす角を$\theta$とする．$C_2$が回転して$\theta$が$0$から$2\pi$まで変化するとき，点$\mathrm{R}$が描く曲線を$C$とする．曲線$C$の概形を図$1$に示す．以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り$x$軸と平行な直線を$\ell$とする．直線$\ell$と線分$\mathrm{PR}$のなす角$\alpha$を，$\theta$を用いて表せ．また，$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)曲線$C$と$x$軸の共有点の座標をすべて求めよ．
(4)曲線$C$と$y$軸の共有点の座標をすべて求めよ．
(5)点$\mathrm{R}$の$x$座標が最小となるときの点$\mathrm{R}$の座標をすべて求めよ．
(6)曲線$C$と$x$軸，$y$軸に囲まれた図$2$の斜線部分の面積を求めよ．

放物線$y=x^2$と円$\displaystyle x^2+(y-3)^2=\frac{r^2}{4}$について，次の問いに答えよ．ただし，$r$は正の定数である．

(1)$r=6$のとき，放物線と円の共有点の座標をすべて求めよ．
(2)$r$がすべての正の実数値をとって変化するとき，放物線と円の共有点の個数はどのように変わるか，調べよ．

実数$a$に対して，関数$\displaystyle f(x)=x^4+\frac{8}{3}ax^3-2x^2-8ax$が$x=X$で極大値$Y$をとるとする．$a$の値が変化するとき，点$(X,\ Y)$が描く軌跡を図示せよ．

点$\mathrm{A}(1,\ 0)$および点$\displaystyle \mathrm{P}(\sqrt{3} \cos \theta,\ \sqrt{3} \sin \theta) \left( 0<\theta<\frac{\pi}{4} \right)$がある．$x$軸に関して点$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}$とし，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}$を通る直線を$\ell$，$2$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とする．次に答えよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点を表す．

(1)$\sqrt{3} \cos \theta>1$を示せ．
(2)直線$\ell$の方程式と直線$m$の方程式を$\theta$を用いて表せ．
(3)直線$\ell$と直線$m$の交点$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(4)三角形$\mathrm{PAQ}$の面積を$S$とする．$\theta$が変化するとき，$S$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．
(5)$\theta$が$(4)$で求めた値をとるとき，$2$直線$\ell,\ m$および曲線$x^2+y^2=3 (x \geqq \sqrt{3} \cos \theta)$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

複素数$z$は，以下に述べる規則$(ⅰ),\ (ⅱ)$にしたがって，$1$秒ごとに値が変化していくものとする．ただし，$i$を虚数単位として，$\displaystyle \alpha=\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}$とおき，$n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$について，時刻$n$秒での$z$の値を$z_n$とおく．


(i) $z_0=1$とする．
(ii) $z$の値は，時刻$n+1$秒において，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で$z_{n+1}=\alpha z_n$に，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で$z_{n+1}=\alpha^{-1}z_n$に変化する．

$m=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$について，$z_{2m}=\alpha^2$となる確率を$p_m$，$z_{2m}=1$となる確率を$q_m$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)$z_{2m}=-1$となる確率を求めよ．
(2)$q_m$を，$p_m$を用いて表せ．
(3)$p_m$を求めよ．
(4)$z_n=1$となる確率を求めよ．

座標平面上の$2$直線$mx-y+1=0$，$x+my-m-2=0$の交点を$\mathrm{P}$とする．ここで，$m$は実数とする．

(1)$m$の値が変化するとき，点$\mathrm{P}$が描く軌跡の方程式は$[$1$]$である．ただし，点$(0,\ 1)$を含まない．
(2)$m$の値が$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \leqq m \leqq 1$のとき，点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さは$[$2$]$である．

以下の問いに答えよ．

(1)$k$を自然数とする．数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$\{S_n\}$が初項$k$，公比$k$の等比数列であるとする．
\begin{itemize}
$k=3$の場合，$a_n \geqq 5000$を満たすのは$n \geqq [$1$]$のときである．
$a_n$が$100$の倍数となる$n$が存在するような$10$以下の自然数$k$は$[$2$]$つあり，このとき，$a_n$が$100$の倍数となるのは$n \geqq [$3$]$のときである．
\end{itemize}
(2)$\alpha$を$0 \leqq \alpha<2\pi$を満たす定数とする．実数$t$が$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲で変化するとき，座標平面上の点$\mathrm{P}(\sin t,\ \sin (t+\alpha))$の軌跡を$\mathrm{T}$とする．
\begin{itemize}
$\mathrm{T}$が線分となるような$\alpha$の値をすべて記せ．
$\mathrm{T}$が原点を中心とする円となるような$\alpha$の値をすべて記せ．
\end{itemize}

平面上の$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\angle \mathrm{OAB}$の二等分線と線分$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{P}$，$\angle \mathrm{OBA}$の二等分線と線分$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{Q}$とおく．直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BQ}$との交点を$\mathrm{R}$とおく．$\mathrm{OA}=x$，$\mathrm{OB}=y$，$\mathrm{AB}=1$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と平行で向きが同じである単位ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{u}$，$\overrightarrow{v}$とおく．このとき次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$x,\ y,\ \overrightarrow{v}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$x,\ y,\ \overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{OR}$と直線$\mathrm{AB}$が垂直であるとき，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{PQ}$が平行となることを示せ．
(4)$2 \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=-1$であり，$x,\ y$が変化するとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$の大きさが最大となるときの$x,\ y$の値と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$の大きさをそれぞれ求めよ．