$24$時間診療業務を休みなく行う病院において，$40$日間で$1$万個使用される医療材料$\mathrm{A}$について考える．$\mathrm{A}$の使用頻度は常に一定であり，$1$日の時間帯や曜日による変動は全くないものとする．さて，病院における在庫管理では，「品切れ」が起きないこと，「コスト」をできるだけ低くすること，この$2$つが肝要である．医療材料$\mathrm{A}$の保管費は，その保管期間に比例し，$1$個につき$10$日間で$1$円である．また，納入業者に$\mathrm{A}$を注文すれば，注文量の多少に関わらず，品物が届いた時点で$200$円の事務費がかかる．なお，担当者は$\mathrm{A}$の在庫量$y$の時間的推移を把握しており，品切れになる直前という最適のタイミングで，注文した量が届くものとする．われわれは，保管費と事務費の和$S$を最小にするような注文の仕方を求める．以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{A}$の在庫は最初$1$万個あったとする．そして注文する量は毎回一定として，$x$で表す．このとき，時間$t$による在庫量$y$の変化を表すグラフを，横軸を時間の$t$軸とする座標平面上に図示せよ．（図示する際には，適当な$x$の値を自ら設定すること．）
以下，$1$回目の注文によって品物の届く時点以降の$y$の変化について考察する．
(2)周期的な$y$の変動に留意して，平均在庫量を求めよ．
(3)長期にわたる保管費，事務費の総額をそれぞれ見積もり，保管費と事務費の和$S$の「$1$日当たりの平均コスト」を求めよ．さらに，この$1$日当たりの平均コストを最小にするような$x$の値を求めよ．

ある感染症の対策について考える．感染症の防御のためには感染拡大の試算が必要であり，感染拡大は自然にはその感染症の感染力と，致死性によって予測される．感染経路は，飛沫，接触，飲食などいろいろあり，感染力の制御，つまり感染を広げないために，ワクチン開発はもちろんであるが，外出規制（イベントの自粛や学級閉鎖など），手洗い呼びかけ，などが有効である． \\
ここでは簡単のために，$1$つの感染症のみを考え，ある一定の集団（たとえば$1000$人程度の島）を対象とし，外部との接触，出入りがないと仮定する．最初の時点での過去感染者，未感染者，現在感染者の割合をそれぞれ$x_0,\ y_0,\ z_0$とする．現在感染者は$1$か月後にはすべて過去感染者となり，一度感染した人はもう感染しない．また幸いなことにこの感染により死者は生じず，また簡単のために他要因による死者，あるいは出生，転入出もないとする． \\
$1$か月ごとの変動を見ることとし，$i$か月後の時点の上記の割合をそれぞれ$x_i,\ y_i,\ z_i$で示す．症状は丁度$1$か月続くので，一人の人が現在感染者として数えられるのは$1$回のみである． \\
過去感染者は，それまでの過去感染者に，$1$か月前の現在感染者を足したものである．また，現在感染者は，$1$か月前の未感染者と$1$か月前の現在感染者の接触頻度と，この感染症の感染力によって決まる．接触頻度の係数を$a$，感染力の係数を$b$とすると，現在感染者の割合は$1$か月前の現在感染者の割合，未感染者の割合，$a,\ b$の$4$つをかけたもので求められる． \\
$x_0=0$，$y_0=0.9$，$z_0=0.1$として，以下の問いに答えよ．計算は小数点以下第$4$位を四捨五入して求めよ．

(1)$x_i,\ y_i,\ z_i$を，$x_{i-1},\ y_{i-1},\ z_{i-1},\ a,\ b$で表せ．
(2)$a=1,\ b=1$として，$x_1,\ y_1,\ z_1,\ x_2,\ y_2,\ z_2,\ x_3,\ y_3,\ z_3$をそれぞれ求めよ．
(3)$a=1$，感染力の係数$b$を$2$とした時の$x_1,\ x_2,\ x_3$を求めよ．
(4)手洗いの徹底や外出規制が最初からなされたとして，$a=0.5$，$b=1$とした時の，$x_1,\ x_2,\ x_3$を求め，(2)，(3)の結果と共に，縦軸を過去感染者の割合，横軸を時間として，$3$つの場合の変化を同一座標上にグラフで示せ．

$-10,\ a_1,\ \cdots,\ a_m,\ 20,\ b_1,\ \cdots,\ b_n,\ 30$がこの順に等差数列になっているとき，次の設問に答えよ．

(1)$n = 4$のとき，$b_1$および$m$の値を求めよ．
(2)$m,\ n$が変動するとき，$m$を$n$の式で表せ．
(3)この数列の和が490になるときの$n$の値を求めよ．