「増減」について
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国立 金沢大学 2015年 第2問関数$f(x)=xe^x$について，次の問いに答えよ．
(1)関数$y=f(x)$について，増減および凹凸を調べ，そのグラフをかけ．ただし，必要ならば$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}xe^x=0$を用いてもよい．
(2)不定積分$\displaystyle \int xe^x \, dx$，$\displaystyle \int x^2e^{2x} \, dx$をそれぞれ求めよ．
(3)$0 \leqq t \leqq 1$に対し$g(x)=f(x)-f(t)$とおく．$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で，曲線$y=g(x)$と$x$軸ではさまれる部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V(t)$とする．$V(t)$を求めよ．
(4)$(3)$の$V(t)$が最小値をとるときの$t$の値を$a$とする．最小値$V(a)$と，$f(a)$の値を求めよ．ただし，$a$の値を求める必要はない．
(1)関数$y=f(x)$について，増減および凹凸を調べ，そのグラフをかけ．ただし，必要ならば$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}xe^x=0$を用いてもよい．
(2)不定積分$\displaystyle \int xe^x \, dx$，$\displaystyle \int x^2e^{2x} \, dx$をそれぞれ求めよ．
(3)$0 \leqq t \leqq 1$に対し$g(x)=f(x)-f(t)$とおく．$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で，曲線$y=g(x)$と$x$軸ではさまれる部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V(t)$とする．$V(t)$を求めよ．
(4)$(3)$の$V(t)$が最小値をとるときの$t$の値を$a$とする．最小値$V(a)$と，$f(a)$の値を求めよ．ただし，$a$の値を求める必要はない．
国立 九州工業大学 2015年 第3問$n$を$2$以上の自然数とし，関数$f(x)$を$f(x)=x^n \log x (x>0)$とする．ただし，対数は自然対数とする．次に答えよ．
(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle \log x+\frac{1}{x}>0$を証明せよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to +0}x^n \log x=0$を示せ．
(3)関数$f(x)$の増減を調べ，その最小値を求めよ．また，曲線$y=f(x)$の概形をかけ．ただし，曲線の凹凸は調べなくてよい．
(4)$f(x)$が最小値をとるときの$x$の値を$c_n$とし
\[ I_n=\int_{c_n}^1 f(x) \, dx \]
とする．$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n^2I_n$を求めよ．
(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle \log x+\frac{1}{x}>0$を証明せよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to +0}x^n \log x=0$を示せ．
(3)関数$f(x)$の増減を調べ，その最小値を求めよ．また，曲線$y=f(x)$の概形をかけ．ただし，曲線の凹凸は調べなくてよい．
(4)$f(x)$が最小値をとるときの$x$の値を$c_n$とし
\[ I_n=\int_{c_n}^1 f(x) \, dx \]
とする．$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n^2I_n$を求めよ．
国立 弘前大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$a$を実数とする．$\displaystyle \int_0^\pi \sin^2 ax \, dx$を$a$を用いて表せ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x}$の増減を調べ，$2$つの数${59}^{61},\ {61}^{59}$の大小関係を決定せよ．
(3)$\displaystyle \lim_{k \to \infty}k^2 \int_1^{e^{\frac{1}{k}}} \frac{\log x}{x^k} \, dx$を求めよ．ただし，$k$は自然数を動くものとする．
(1)$a$を実数とする．$\displaystyle \int_0^\pi \sin^2 ax \, dx$を$a$を用いて表せ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x}$の増減を調べ，$2$つの数${59}^{61},\ {61}^{59}$の大小関係を決定せよ．
(3)$\displaystyle \lim_{k \to \infty}k^2 \int_1^{e^{\frac{1}{k}}} \frac{\log x}{x^k} \, dx$を求めよ．ただし，$k$は自然数を動くものとする．
国立 山梨大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int x \cos x \, dx$を求めよ．
(2)不等式$\displaystyle \frac{5x-6}{x-2}>x+1$を解け．
(3)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$の増減，グラフの凹凸，変曲点および漸近線を調べて，そのグラフをかけ．
(1)不定積分$\displaystyle \int x \cos x \, dx$を求めよ．
(2)不等式$\displaystyle \frac{5x-6}{x-2}>x+1$を解け．
(3)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$の増減，グラフの凹凸，変曲点および漸近線を調べて，そのグラフをかけ．
国立 宮城教育大学 2015年 第4問$\displaystyle f(x)=\frac{x}{(2x-1)(x-2)}$とする．以下の問に答えよ．
(1)$g(x)=2x^3-6x+5$とする．このとき，$-3<\alpha<-1$かつ$g(\alpha)=0$をみたす$\alpha$が存在することを示せ．さらに，$x<\alpha$では$g(x)<0$であり，$x>\alpha$では$g(x)>0$であることを示せ．
(2)$(1)$の$\alpha$を用いて，関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(1)$g(x)=2x^3-6x+5$とする．このとき，$-3<\alpha<-1$かつ$g(\alpha)=0$をみたす$\alpha$が存在することを示せ．さらに，$x<\alpha$では$g(x)<0$であり，$x>\alpha$では$g(x)>0$であることを示せ．
(2)$(1)$の$\alpha$を用いて，関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
国立 三重大学 2015年 第3問関数$f(x)={|x-2|}^3-3x^2+12x$がある．以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明] \ 必要ならば，自然数$n$に対して
\[ \int x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (C \text{は積分定数}) \]
となることを用いてよい．
(1)$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明] \ 必要ならば，自然数$n$に対して
\[ \int x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (C \text{は積分定数}) \]
となることを用いてよい．
国立 三重大学 2015年 第3問関数$f(x)={|x-2|}^3-3x^2+12x$がある．以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明] \ 必要ならば，自然数$n$に対して
\[ \int x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (C \text{は積分定数}) \]
となることを用いてよい．
(1)$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明] \ 必要ならば，自然数$n$に対して
\[ \int x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (C \text{は積分定数}) \]
となることを用いてよい．
国立 岐阜大学 2015年 第4問関数$f(x)=x^3-3x^2+x$を考える．曲線$y=f(x)$を$C$とする．以下の問に答えよ．
(1)$y=f(x)$の増減を調べて極値を求めよ．またグラフを描け．
(2)$a$を実数とする．直線$y=ax$と$C$の共有点が異なる$2$点のみであるときの$a$の値をすべて求めよ．また，求めたそれぞれの$a$の値に対して，共有点の$x$座標を求めよ．
(3)$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における接線を$\ell$とする．$\ell$と$C$の共有点が$\mathrm{P}$のみであるとき，$t$が満たす条件を求めよ．
(1)$y=f(x)$の増減を調べて極値を求めよ．またグラフを描け．
(2)$a$を実数とする．直線$y=ax$と$C$の共有点が異なる$2$点のみであるときの$a$の値をすべて求めよ．また，求めたそれぞれの$a$の値に対して，共有点の$x$座標を求めよ．
(3)$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における接線を$\ell$とする．$\ell$と$C$の共有点が$\mathrm{P}$のみであるとき，$t$が満たす条件を求めよ．
国立 茨城大学 2015年 第1問$f(x)=2xe^{-x}$とおく．ただし，$e$は自然対数の底とする．以下の各問に答えよ．
(1)$0 \leqq x \leqq 3$の範囲で，関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)正の実数$a$に対して，$\displaystyle I_a=\int_0^1 xe^{-ax} \, dx$，$\displaystyle J_a=\int_0^1 x^2e^{-ax} \, dx$とおく．$J_a$を$I_a$と$a$を用いて表せ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$および$\displaystyle \int_0^1 \{f(x)\}^2 \, dx$を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と，$3$直線$x=0$，$x=1$および$y=t$で囲まれた図形を，直線$y=t$を軸として$1$回転させてできる回転体の体積を$V(t)$とする．$t$を動かしたとき，$V(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．
(1)$0 \leqq x \leqq 3$の範囲で，関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)正の実数$a$に対して，$\displaystyle I_a=\int_0^1 xe^{-ax} \, dx$，$\displaystyle J_a=\int_0^1 x^2e^{-ax} \, dx$とおく．$J_a$を$I_a$と$a$を用いて表せ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$および$\displaystyle \int_0^1 \{f(x)\}^2 \, dx$を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と，$3$直線$x=0$，$x=1$および$y=t$で囲まれた図形を，直線$y=t$を軸として$1$回転させてできる回転体の体積を$V(t)$とする．$t$を動かしたとき，$V(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．
国立 山形大学 2015年 第1問二つの放物線
$C_1:y=x^2$
$\displaystyle C_2:y=\frac{1}{2}(x-a)^2+b$
がある．ただし，$a,\ b$は実数であり，$b>0$とする．以下の問いに答えよ．
(1)放物線$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$が$C_2$にも接する場合の$p$を$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$(2)$より$C_1,\ C_2$の両方に接する直線が$2$本存在することがわかる．この二つの直線の交点$\mathrm{Q}$の座標を$a$と$b$を用いて表せ．
(4)放物線$C_2$の頂点が曲線$y=e^{-2x^2}$上を動くとき，交点$\mathrm{Q}$の軌跡を$y=f(x)$で表す．関数$f(x)$を求めよ．また$f(x)$の増減と凹凸を調べ軌跡の概形をかけ．
$C_1:y=x^2$
$\displaystyle C_2:y=\frac{1}{2}(x-a)^2+b$
がある．ただし，$a,\ b$は実数であり，$b>0$とする．以下の問いに答えよ．
(1)放物線$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$が$C_2$にも接する場合の$p$を$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$(2)$より$C_1,\ C_2$の両方に接する直線が$2$本存在することがわかる．この二つの直線の交点$\mathrm{Q}$の座標を$a$と$b$を用いて表せ．
(4)放物線$C_2$の頂点が曲線$y=e^{-2x^2}$上を動くとき，交点$\mathrm{Q}$の軌跡を$y=f(x)$で表す．関数$f(x)$を求めよ．また$f(x)$の増減と凹凸を調べ軌跡の概形をかけ．