「境界線」について
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国立 大分大学 2016年 第2問自然数$n$に対して関数$y=2nx-x^2$のグラフと$x$軸で囲まれた領域（境界線を含む）$R_n$を考える．以下の問いに答えなさい．
(1)領域$R_n$に含まれる格子点（$x$座標と$y$座標がともに整数である点）の数$S_n$を求めなさい．
(2)点$\mathrm{A}(0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2n,\ 0)$，および関数$y$の頂点を結ぶ線分で囲まれた領域（境界線を含む）に含まれる格子点の数$T_n$を求めなさい．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{T_n}{S_n}$を求めなさい．
(1)領域$R_n$に含まれる格子点（$x$座標と$y$座標がともに整数である点）の数$S_n$を求めなさい．
(2)点$\mathrm{A}(0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2n,\ 0)$，および関数$y$の頂点を結ぶ線分で囲まれた領域（境界線を含む）に含まれる格子点の数$T_n$を求めなさい．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{T_n}{S_n}$を求めなさい．
国立 宇都宮大学 2016年 第4問座標平面上の曲線$y^2-2x-2=0$と直線$\displaystyle x+y=\frac{1}{2}$で囲まれた図形を$D$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)座標平面に$D$を図示せよ．
(2)$D$の面積を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$D$の内部および境界線上を動くとき，$3x+2y$の値がとりうる範囲を求めよ．
(1)座標平面に$D$を図示せよ．
(2)$D$の面積を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$D$の内部および境界線上を動くとき，$3x+2y$の値がとりうる範囲を求めよ．
私立 東京都市大学 2015年 第2問曲線$y=\sin x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$を$F$，曲線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}} \sin 2x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$を$G$とする．
(1)$F$と$G$の交点の座標をすべて求めよ．
(2)$xy$平面上に$F$と$G$を図示せよ．$(1)$で求めた交点の座標に加え，軸との交点の座標もかくこと．
(3)$F$と$G$で囲まれた部分（境界線を含む）に含まれる点のうち，$x$と$y$がともに整数となる点の座標をすべて求めよ．
(1)$F$と$G$の交点の座標をすべて求めよ．
(2)$xy$平面上に$F$と$G$を図示せよ．$(1)$で求めた交点の座標に加え，軸との交点の座標もかくこと．
(3)$F$と$G$で囲まれた部分（境界線を含む）に含まれる点のうち，$x$と$y$がともに整数となる点の座標をすべて求めよ．
私立 安田女子大学 2014年 第3問次の問いに答えよ．
(1)次の不等式の表す領域を図示せよ．ただし，作図は，定規やコンパスは使わず，全てフリーハンドで行い，該当領域には斜線を入れよ．
\[ (x-y-1)(x+y+1)>0 \]
(2)下の図の$2$つの直線と$1$つの円で囲まれた斜線部分の領域（境界線は含まない）を$1$つの不等式で表せ．
（図は省略）
(1)次の不等式の表す領域を図示せよ．ただし，作図は，定規やコンパスは使わず，全てフリーハンドで行い，該当領域には斜線を入れよ．
\[ (x-y-1)(x+y+1)>0 \]
(2)下の図の$2$つの直線と$1$つの円で囲まれた斜線部分の領域（境界線は含まない）を$1$つの不等式で表せ．
（図は省略）
私立 上智大学 2014年 第2問座標平面において，放物線$C:y=-x^2+3x$と直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x$で囲まれた領域を$S$とする．ただし，$S$は境界線を含むものとする．
(1)$C$と$\ell$の共有点は，原点$\mathrm{O}$と点$\displaystyle \left( \frac{[セ]}{[ソ]},\ \frac{[タ]}{[チ]} \right)$である．
(2)点$\mathrm{P}(-1,\ 3)$を通り傾きが$a$の直線$m$が，領域$S$と共有点をもつとする．このとき，$a$の範囲は
\[ [ツ] \leqq a \leqq [テ]+[ト] \sqrt{[ナ]} \]
である．
(3)$a=[テ]+[ト] \sqrt{[ナ]}$のとき，直線$m$と領域$S$の共有点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[ニ]+\sqrt{[ヌ]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$[ネ]+[ノ] \sqrt{[ハ]}$である．
(5)線分$\mathrm{OP}$，線分$\mathrm{PQ}$および放物線$C$で囲まれた図形の面積は
\[ \frac{[ヒ]}{[フ]}+\frac{[ヘ]}{[ホ]} \sqrt{[マ]} \]
である．
(1)$C$と$\ell$の共有点は，原点$\mathrm{O}$と点$\displaystyle \left( \frac{[セ]}{[ソ]},\ \frac{[タ]}{[チ]} \right)$である．
(2)点$\mathrm{P}(-1,\ 3)$を通り傾きが$a$の直線$m$が，領域$S$と共有点をもつとする．このとき，$a$の範囲は
\[ [ツ] \leqq a \leqq [テ]+[ト] \sqrt{[ナ]} \]
である．
(3)$a=[テ]+[ト] \sqrt{[ナ]}$のとき，直線$m$と領域$S$の共有点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[ニ]+\sqrt{[ヌ]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$[ネ]+[ノ] \sqrt{[ハ]}$である．
(5)線分$\mathrm{OP}$，線分$\mathrm{PQ}$および放物線$C$で囲まれた図形の面積は
\[ \frac{[ヒ]}{[フ]}+\frac{[ヘ]}{[ホ]} \sqrt{[マ]} \]
である．
私立 広島国際学院大学 2012年 第5問下図のように，円と$2$つの直線によって指定される領域がある．
（図は省略）
(1)斜線の領域を表す不等式を求めなさい．ただし，境界線を含むものとする．
(2)斜線の領域の面積$S$を求めなさい．
（図は省略）
(1)斜線の領域を表す不等式を求めなさい．ただし，境界線を含むものとする．
(2)斜線の領域の面積$S$を求めなさい．
私立 早稲田大学 2011年 第7問座標平面上の点$(x,y)$の両座標とも整数のとき，その点を格子点という．本問では，「領域内」とはその領域の内部および境界線を含むものとする．
(1)不等式$|x|+2 |y| \leqq 4$の表す領域を$D$とする．領域$D$内に格子点は$[ノ]$個ある．
(2)$n$を自然数として，不等式$|x|+2 |y| \leqq 2n$の表す領域を$F$とする．領域$F$内の格子点の総数は
$\left( [ハ]n^2+[ヒ]n+[フ] \right)$個である．
(1)不等式$|x|+2 |y| \leqq 4$の表す領域を$D$とする．領域$D$内に格子点は$[ノ]$個ある．
(2)$n$を自然数として，不等式$|x|+2 |y| \leqq 2n$の表す領域を$F$とする．領域$F$内の格子点の総数は
$\left( [ハ]n^2+[ヒ]n+[フ] \right)$個である．
私立 獨協大学 2011年 第1問次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．
(1)式$(x-2y+3z)^2$を展開したとき，$y^2$の係数は$[$1$]$であり，$yz$の係数は$[$2$]$である．
(2)下の図の斜線部分は$3$つの不等式$[$3$]$，$[$4$]$，$[$5$]$で表される．ただし，境界線は含まないものとする．
（図は省略）
(3)$2$つの複素数$2+\sqrt{3}i$，$2-\sqrt{3}i$を解とする$2$次方程式の$1$つは
\[ x^2-[$6$]x+[$7$]=0 \]
である．
(4)$108$を素因数分解すると，$2$の$[$8$]$乗と$3$の$[$9$]$乗の積として表すことができる．したがって，$108$の正の約数は全部で$[$10$]$個である．
(5)当たりくじ$3$本を含む$10$本のくじがある．引いたくじはもとに戻さないものとして，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人がこの順に$1$本ずつくじを引く．このとき$3$人のうちで$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$の$2$人だけが当たる確率は$[$11$]$であり，$3$人のうちで$\mathrm{B}$か$\mathrm{C}$のどちらか$1$人だけが当たる確率は$[$12$]$である．
(6)$a_{n+1}-a_n=1$，$a_1=0$と定められた数列の一般項は$[$13$]$である．また，$a_{n+1}-a_n=n$，$a_1=0$と定められた数列の一般項は$[$14$]$である．
(7)式$\sqrt{7+2 \sqrt{10}}+\sqrt{13-4 \sqrt{10}}$を簡単にすると$[$15$]$，式$\sqrt{8+2 \sqrt{15}}+\sqrt{5+2 \sqrt{6}}$を簡単にすると$[$16$]$である．
(8)$2$次関数
\[ y=ax^2+2ax+b \quad (a<0) \]
の定義域を$|x| \leqq 2$，値域を$|y| \leqq 9$とする．このとき，$a=[$17$]$で，$b=[$18$]$である．
(1)式$(x-2y+3z)^2$を展開したとき，$y^2$の係数は$[$1$]$であり，$yz$の係数は$[$2$]$である．
(2)下の図の斜線部分は$3$つの不等式$[$3$]$，$[$4$]$，$[$5$]$で表される．ただし，境界線は含まないものとする．
（図は省略）
(3)$2$つの複素数$2+\sqrt{3}i$，$2-\sqrt{3}i$を解とする$2$次方程式の$1$つは
\[ x^2-[$6$]x+[$7$]=0 \]
である．
(4)$108$を素因数分解すると，$2$の$[$8$]$乗と$3$の$[$9$]$乗の積として表すことができる．したがって，$108$の正の約数は全部で$[$10$]$個である．
(5)当たりくじ$3$本を含む$10$本のくじがある．引いたくじはもとに戻さないものとして，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人がこの順に$1$本ずつくじを引く．このとき$3$人のうちで$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$の$2$人だけが当たる確率は$[$11$]$であり，$3$人のうちで$\mathrm{B}$か$\mathrm{C}$のどちらか$1$人だけが当たる確率は$[$12$]$である．
(6)$a_{n+1}-a_n=1$，$a_1=0$と定められた数列の一般項は$[$13$]$である．また，$a_{n+1}-a_n=n$，$a_1=0$と定められた数列の一般項は$[$14$]$である．
(7)式$\sqrt{7+2 \sqrt{10}}+\sqrt{13-4 \sqrt{10}}$を簡単にすると$[$15$]$，式$\sqrt{8+2 \sqrt{15}}+\sqrt{5+2 \sqrt{6}}$を簡単にすると$[$16$]$である．
(8)$2$次関数
\[ y=ax^2+2ax+b \quad (a<0) \]
の定義域を$|x| \leqq 2$，値域を$|y| \leqq 9$とする．このとき，$a=[$17$]$で，$b=[$18$]$である．