棚に包装された製品が$n$個（$n \geqq 4$）並んでいるが，そのうち$2$個が不良品だということがわかっている．$n$個の製品はすでに包装されているため，外見からはどれが不良品かどうかを区別することはできない．今，どの$2$個が不良品かを見つけるために，$n$個の製品のうち$1$個を取り出し，包装を解き，中身をチェックする．中身が不良品だった場合は，別に置いてあったすでに包装された良品と交換し，もとにあった場所に戻す．中身が不良品でなかった場合は，製品を包装し直した上でもとにあった場所に戻す．$1$個目の製品のチェックが終わったら，棚の別の製品も同様にチェックし，この作業を$2$個の不良品が見つかるまで繰り返し，$2$個目の不良品を交換した時点で終了する．包装された良品と交換する費用は製品$1$個につき$1000$円，製品を包装し直す費用は製品$1$個につき$100$円である．

(1)$n=4$のとき，この作業全体の費用が$2200$円になる確率は$[セ]$である．
(2)$n=4$のとき，この作業全体の費用の期待値は$\displaystyle \left( 2000+[ソ] \right)$円である．
(3)この作業全体の費用の期待値を$n$の関数で表すと$\displaystyle \left( 2000+[タ] \right)$円である．

以下の各問に答えなさい．

(1)次の関数のグラフを$x$軸方向に$\displaystyle -\frac{1}{3}$，$y$軸方向に$\displaystyle -\frac{1}{3}$だけ平行移動したグラフの方程式を求めよ．
\[ y=-3x^2+2x-1 \]
(2)関数$f(x)=x^2-12x+c$が$2 \leqq x \leqq 9$において最大値が$12$になるように，定数$c$の値を求めよ．
(3)縦横$13$本の線を持つ碁盤（$13$路盤）がある．各線によって構成される枠の大きさはすべて等しく，$1$辺が$1 \, \mathrm{cm}$である．ここで，$4$つの角を左上から反時計回りに$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とした場合，辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$上にそれぞれ$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$の場所に碁石を配置した．ただし，$\mathrm{AE}=x$，$\mathrm{BF}=2x$，$\mathrm{CG}=x+6 (0<x<6)$であるようにする．このとき，三角形$\mathrm{EFG}$の面積が最小になる場合の$x$の値と，その面積を求めよ．
（図は省略）

\begin{mawarikomi}{45mm}{
（図は省略）
}
図に示すように，ある円の周上に$4$つの円板$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が置かれ，円の中心には円板$\mathrm{K}$が置かれている．当初$\mathrm{A}$には$\bullet$で示される小石が置かれている．この状態から，順次サイコロを振り以下の手順で小石を移動し小石の位置取りを繰り返す．

(i) 現在$\mathrm{K}$に小石がある場合は，出た目の数にかかわらず，新たな位置取りはそのまま$\mathrm{K}$とする．
(ii) 出た目の数が$1$または$2$の場合，小石を現在の場所から$\mathrm{K}$に移動する．
(iii) 出た目の数が$3$の場合，小石を現在の場所から反時計回り，すなわち，$\mathrm{A} \to \mathrm{B} \to \mathrm{C} \to \mathrm{D} \to \mathrm{A}$の向きで，隣接する円板に移動する．
\mon[$\tokeishi$] 出た目の数が$4$以上の場合，小石を現在の場所から時計回り，すなわち，$\mathrm{A} \to \mathrm{D} \to \mathrm{C} \to \mathrm{B} \to \mathrm{A}$の向きで，隣接する円板に移動する．

\end{mawarikomi}
次の問に答えなさい．

(1)$n$回目の位置取り後，小石が$\mathrm{K}$にある確率を$k_n$と表す．$k_n$を求めなさい．
(2)偶数回位置取りを行った場合，小石は$\mathrm{K}$になければ$\mathrm{A}$または$\mathrm{C}$にあることを示しなさい．
(3)$n$回目の位置取り後，小石が$\mathrm{A}$にある確率を$a_n$と表す．$a_2$を求めなさい．また，$a_{2n+2}$を$a_{2n}$および$k_{2n}$を用いて表しなさい．
(4)$a_n$を求めなさい．

$1$から$10$までの番号が$1$つずつ重複せずに書かれた$10$枚のカードがあり，左から小さい番号の順に横$1$列に並べてある．この中から，無作為に$2$枚のカードを選び，その場所を入れかえる操作を考える．$n$を正の整数として，この操作を$n$回行ったとき，左端にあるカードに書かれている番号が$1$である確率を$p_n$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)$p_1$を求めなさい．
(2)$n$回目の操作のあと，$1$が書かれたカードが左端になく，$(n+1)$回目の操作のあとに$1$が書かれたカードが左端にある確率を$q_n$とするとき，$q_n$を$p_n$を用いて表しなさい．
(3)$p_{n+1}$と$p_n$の間に成り立つ関係式を求めなさい．
(4)$p_n$を$n$を用いて表しなさい．

次の空欄ア～シに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)方程式$x^3-4x^2+ax+b=0$の$1$つの解が$1-2i$であるとき，実数解は$[ア]$であり，$a=[イ]$，$b=[ウ]$である．ただし，定数$a,\ b$は実数とし，$i$は虚数単位とする．
(2)サイコロを続けて$2$回振り，最初に出た目が$a$，次に出た目が$b$ならば座標平面上に直線$\ell:y=ax-b$を描く．この試行において，直線$\ell$が放物線$y=x^2$と相異なる$2$点で交わる確率は$[エ]$である．
(3)不等式$x^2+y^2+6x+4y-12 \leqq 0$の表す領域の面積は$[オ]$である．
(4)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}-1},\ y=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$であるとき，$x^3+y^3-2xy^2=[カ]$である．
(5)$0 \leqq \theta < 2\pi$のとき，$\sqrt{3}\cos \theta-\sin \theta=r \sin (\theta +\alpha)$の形に変形すると，$r=[キ]$，$\alpha=[ク]$である．ただし，$0 \leqq \alpha < 2\pi$とする．
(6)実数からなる数列$\{a_n\}$が$a_{n+1}^3=2a_n^2,\ a_1=4$を満たすとき，$\log_2a_n=[ケ]$である．
(7)図のように東西$6$本，南北$6$本の道路で区画された場所がある．南西の端の地点$\mathrm{A}$から北東の端の地点$\mathrm{B}$へ行く最短ルートは$[コ]$通りある．
（図は省略）
(8)$3$次関数$f(x)=x^3-3a^2x+b (a>0)$が極大値$13$と極小値$-19$を持つならば$a=[サ]$，$b=[シ]$である．

数直線上の点$\mathrm{P}$を，サイコロを投げ，偶数の目が出たら正の方向に出た目の数だけ動かし，奇数の目が出たら負の方向に出た目の数だけ動かす．$\mathrm{P}$を最初原点$0$に置き，サイコロを$2$回投げたとき，$\mathrm{P}$の位置する場所について，次の問いに答えよ．ただし，サイコロは$1$から$6$までのどの目も同じ確率で出るものとする．

(1)$\mathrm{P}$が位置する可能性がある点（存在する確率が正の点）をすべて書け．
(2)$\mathrm{P}$が位置する可能性が最も高い点を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$の座標の期待値を求めよ．