「垂線」について
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国立 長崎大学 2016年 第2問空間において，$3$点$\mathrm{A}(5,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(4,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 5)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$がある．以下の問いに答えよ．
(1)線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線を下し，平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\ell \overrightarrow{\mathrm{AB}}+m \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおくとき，実数$\ell,\ m$の値を求めよ．
(4) 直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{M}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=k \overrightarrow{\mathrm{AM}}$とおくとき，実数$k$の値と三角形$\mathrm{HBC}$の面積$T$を求めよ．
(5)原点$\mathrm{O}$を頂点，四角形$\mathrm{ABHC}$を底面とする四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABHC}$の体積$V$を求めよ．
(1)線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線を下し，平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\ell \overrightarrow{\mathrm{AB}}+m \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおくとき，実数$\ell,\ m$の値を求めよ．
(4) 直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{M}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=k \overrightarrow{\mathrm{AM}}$とおくとき，実数$k$の値と三角形$\mathrm{HBC}$の面積$T$を求めよ．
(5)原点$\mathrm{O}$を頂点，四角形$\mathrm{ABHC}$を底面とする四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABHC}$の体積$V$を求めよ．
国立 宇都宮大学 2016年 第5問座標平面上の曲線$\displaystyle C:y=\sin \pi x \left( 0<x<\frac{1}{2} \right)$の上に点$\mathrm{P}(a,\ \sin \pi a)$をとる．点$\mathrm{P}$における$C$の接線と法線をそれぞれ$\ell$，$m$とする．$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}(0,\ q)$，$m$と$x$軸の交点を$\mathrm{R}(r,\ 0)$とし，点$\mathrm{P}$から$y$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求め，$q$を$a$を用いて表せ．
(2)法線$m$の方程式を求め，$r$を$a$を用いて表せ．
(3)曲線$C$，直線$m$，および$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(4)$\triangle \mathrm{PQH}$の面積を$T(a)$とする．極限値$\displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{S(a)}{T(a)}$を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求め，$q$を$a$を用いて表せ．
(2)法線$m$の方程式を求め，$r$を$a$を用いて表せ．
(3)曲線$C$，直線$m$，および$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(4)$\triangle \mathrm{PQH}$の面積を$T(a)$とする．極限値$\displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{S(a)}{T(a)}$を求めよ．
国立 宇都宮大学 2016年 第5問座標平面上の曲線$\displaystyle C:y=\sin \pi x \left( 0<x<\frac{1}{2} \right)$の上に点$\mathrm{P}(a,\ \sin \pi a)$をとる．点$\mathrm{P}$における$C$の接線と法線をそれぞれ$\ell$，$m$とする．$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}(0,\ q)$，$m$と$x$軸の交点を$\mathrm{R}(r,\ 0)$とし，点$\mathrm{P}$から$y$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求め，$q$を$a$を用いて表せ．
(2)法線$m$の方程式を求め，$r$を$a$を用いて表せ．
(3)曲線$C$，直線$m$，および$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(4)$\triangle \mathrm{PQH}$の面積を$T(a)$とする．極限値$\displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{S(a)}{T(a)}$を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求め，$q$を$a$を用いて表せ．
(2)法線$m$の方程式を求め，$r$を$a$を用いて表せ．
(3)曲線$C$，直線$m$，および$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(4)$\triangle \mathrm{PQH}$の面積を$T(a)$とする．極限値$\displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{S(a)}{T(a)}$を求めよ．
国立 山梨大学 2016年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおき，$|\overrightarrow{a|}=2$，$|\overrightarrow{b|}=\sqrt{3}$，$|\overrightarrow{c|}=1$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=2$，$\displaystyle \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\frac{4}{3}$，$\displaystyle \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=\frac{4}{3}$を満たすとする．点$\mathrm{C}$から平面$\mathrm{OAB}$に垂線を下ろし，平面$\mathrm{OAB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
(3)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AM}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．このとき，直線$\mathrm{CH}$と直線$\mathrm{ON}$が交わることを示せ．また，その$2$直線の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{CP}:\mathrm{PH}$を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
(3)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AM}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．このとき，直線$\mathrm{CH}$と直線$\mathrm{ON}$が交わることを示せ．また，その$2$直線の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{CP}:\mathrm{PH}$を求めよ．
国立 山形大学 2016年 第4問$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=2$，$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$とする$\triangle \mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{E}$をとり，$\mathrm{E}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{EF}$を下ろし，$\mathrm{EF}=\mathrm{AF}=x (0<x \leqq 2)$とする．また，線分$\mathrm{AF}$の$\mathrm{F}$を越える延長上に$\mathrm{AG}=2 \mathrm{AF}$となる点$\mathrm{G}$をとる．$\mathrm{EF}$，$\mathrm{FG}$を$2$辺とする正方形$\mathrm{EFGH}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の共通部分の面積を$S(x)$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$S(x)$を求めよ．
(2)$xy$平面において，連立不等式$0 \leqq y \leqq S(x)$，$\displaystyle x \geqq \frac{1}{2}$の表す領域$D$を考える．点$(1,\ 1)$を通り，$D$の面積を二等分する直線を$\ell$とする．
(i) $D$の面積を求めよ．
(ii) 直線$\ell$の方程式を求めよ．
(1)$S(x)$を求めよ．
(2)$xy$平面において，連立不等式$0 \leqq y \leqq S(x)$，$\displaystyle x \geqq \frac{1}{2}$の表す領域$D$を考える．点$(1,\ 1)$を通り，$D$の面積を二等分する直線を$\ell$とする．
(i) $D$の面積を求めよ．
(ii) 直線$\ell$の方程式を求めよ．
国立 電気通信大学 2016年 第3問座標空間に$3$点$\mathrm{A}(-1,\ -1,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ -1,\ -2)$をとる．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，原点$\mathrm{O}$を中心として$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面を$S$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CM}}$をそれぞれ成分で表せ．
(2)$\angle \mathrm{AMC}$の大きさ$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(4)原点$\mathrm{O}$から三角形$\mathrm{ABC}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．
(5)点$\mathrm{P}$が球面$S$上を動くとき，四面体$\mathrm{ABCP}$の体積の最大値を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CM}}$をそれぞれ成分で表せ．
(2)$\angle \mathrm{AMC}$の大きさ$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(4)原点$\mathrm{O}$から三角形$\mathrm{ABC}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．
(5)点$\mathrm{P}$が球面$S$上を動くとき，四面体$\mathrm{ABCP}$の体積の最大値を求めよ．
私立 同志社大学 2016年 第3問座標空間内の$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 5)$，$\mathrm{B}(5,\ 6,\ 0)$を通る直線を$\ell$とする．点$\mathrm{P}(4,\ 8,\ 13)$および直線$\ell$上の$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を頂点とする$\triangle \mathrm{PQR}$が正三角形であるとする．次の問いに答えよ．
(1)直線$\ell$に，点$\mathrm{P}$から垂線を下ろし，直線$\ell$との交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)正三角形$\triangle \mathrm{PQR}$の一辺の長さを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{PQRS}$が正四面体になるようなすべての点$\mathrm{S}$の座標を求めよ．
(1)直線$\ell$に，点$\mathrm{P}$から垂線を下ろし，直線$\ell$との交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)正三角形$\triangle \mathrm{PQR}$の一辺の長さを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{PQRS}$が正四面体になるようなすべての点$\mathrm{S}$の座標を求めよ．
私立 早稲田大学 2016年 第5問$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{P}(p,\ q,\ r)$を通る直線を$\ell$とする．ただし$p^2+q^2+r^2=1$とする．直線$\ell$に$4$点
\[ \mathrm{A}(1,\ 1,\ -1),\quad \mathrm{B}(1,\ -1,\ 1),\quad \mathrm{C}(-1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{D}(-1,\ -1,\ -1) \]
から，それぞれ垂線$\mathrm{AA}^\prime$，$\mathrm{BB}^\prime$，$\mathrm{CC}^\prime$，$\mathrm{DD}^\prime$を下ろすとき
\[ (\mathrm{OA}^\prime)^2=(p+[ヌ]q+[ネ]r)^2 \]
であり
\[ (\mathrm{OA}^\prime)^2+(\mathrm{OB}^\prime)^2+(\mathrm{OC}^\prime)^2+(\mathrm{OD}^\prime)^2=[ノ] \]
である．
\[ \mathrm{A}(1,\ 1,\ -1),\quad \mathrm{B}(1,\ -1,\ 1),\quad \mathrm{C}(-1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{D}(-1,\ -1,\ -1) \]
から，それぞれ垂線$\mathrm{AA}^\prime$，$\mathrm{BB}^\prime$，$\mathrm{CC}^\prime$，$\mathrm{DD}^\prime$を下ろすとき
\[ (\mathrm{OA}^\prime)^2=(p+[ヌ]q+[ネ]r)^2 \]
であり
\[ (\mathrm{OA}^\prime)^2+(\mathrm{OB}^\prime)^2+(\mathrm{OC}^\prime)^2+(\mathrm{OD}^\prime)^2=[ノ] \]
である．
私立 慶應義塾大学 2016年 第5問四面体$\mathrm{OABC}$の$4$つの面はすべて合同であり，$\mathrm{OA}=\sqrt{10}$，$\mathrm{OB}=2$，$\mathrm{OC}=3$であるとする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[ニ]$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ヌ]$である．
いま，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=[ネ]$と表される．また，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$[ノ]$である．
次に，線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$，点$\mathrm{P}$から線分$\mathrm{AC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とすると，$\mathrm{PQ}$の長さは$[ハ]$である．また，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通り平面$\alpha$に垂直な平面による四面体$\mathrm{OABC}$の切り口の面積は$[ヒ]$である．
（図は省略）
いま，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=[ネ]$と表される．また，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$[ノ]$である．
次に，線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$，点$\mathrm{P}$から線分$\mathrm{AC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とすると，$\mathrm{PQ}$の長さは$[ハ]$である．また，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通り平面$\alpha$に垂直な平面による四面体$\mathrm{OABC}$の切り口の面積は$[ヒ]$である．
（図は省略）
私立 早稲田大学 2016年 第2問座標空間において，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ 2)$を直径の両端とする球面を$\mathrm{S}$とする．また$xy$平面上に放物線$\mathrm{C}:y=x^2-2$を描き，$\mathrm{C}$上に点$\mathrm{R}$をとる．線分$\mathrm{PR}$と球面$\mathrm{S}$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{Q}$から$xy$平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{R}$までの距離を$r$とするとき，線分$\mathrm{QR}$の長さを$r$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{QH}$の長さを$h$，点$\mathrm{R}$の座標を$(x,\ y,\ 0)$とするとき，$h \geqq 1$である場合に$x$がとる値の範囲を求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$が放物線$\mathrm{C}$上のすべての点を動くとき，$h$を最小にする$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
（図は省略）
(1)原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{R}$までの距離を$r$とするとき，線分$\mathrm{QR}$の長さを$r$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{QH}$の長さを$h$，点$\mathrm{R}$の座標を$(x,\ y,\ 0)$とするとき，$h \geqq 1$である場合に$x$がとる値の範囲を求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$が放物線$\mathrm{C}$上のすべての点を動くとき，$h$を最小にする$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
（図は省略）