三角形$\mathrm{ABC}$において，$3$つの角の大きさの比$A:B:C$が$2:3:7$であるとする．また，頂点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$におろした垂線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{D}$としたとき$\mathrm{BD}=\sqrt{10}$である．

(1)$\mathrm{BC}=2 \sqrt{[サ][シ]}$，$\mathrm{AD}=\sqrt{[ス][セ]}$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$5+5 \sqrt{[ソ][タ]}$である．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$が内接する円の面積は$[チ][ツ] \pi$である．ただし，$\pi$は円周率を表す．
(4)$\displaystyle \cos C=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{[テ][ト]}}{4}$である．

一辺の長さが$1$の正二十面体の$1$つの面を$\triangle \mathrm{ABC}$とする．さらに外接球の中心を$\mathrm{O}$とする．すなわち，この正二十面体の$12$個の頂点は中心を$\mathrm{O}$とする$1$つの球の上にある．次の問いに答えなさい．

(1)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{O}$を通る平面でこの正二十面体を切ったとき，切り口として得られる六角形の面積を求めなさい．
(2)$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{OD}$の長さを求めなさい．

$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(\sqrt{2},\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ y,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ \sqrt{5})$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$において，$y>0$，$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{3}$とする．このとき$y$の値を求めると$y=[　]$である．また，原点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を成分で表すと$[　]$である．

平面上に，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{2}$，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$であるような三角形$\mathrm{OAB}$がある．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．三角形$\mathrm{ABP}$が正三角形になるように，直線$\mathrm{AB}$に関して点$\mathrm{O}$の反対側に点$\mathrm{P}$をとる．このとき，

(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\frac{[$13$]}{[$14$]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[$15$]}{[$16$]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．
(2)点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線を下ろし，辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とすると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[$17$]}{[$18$][$19$]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[$20$]}{[$21$][$22$]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
である．
(3)$\displaystyle \mathrm{MP}=\frac{\sqrt{[$23$][$24$]}}{[$25$]}$で，$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$とが平行であることに注意すると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{MP}}=\frac{[$26$] \sqrt{[$27$]}}{[$28$]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\sqrt{[$29$]}}{[$30$]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
である．

次の問に答えよ．

(1)$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$において，点$\mathrm{B}$から対辺に下ろした垂線の方程式は$x-3y+2=0$であり，点$\mathrm{C}$から対辺に下ろした垂線の方程式は$4x+2y-5=0$である．このとき，$3$直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}$の方程式を求めよ．
(2)$a$を定数とする．関数$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^3-\frac{15}{4}x^2+8x+5$のグラフと直線$y=2x+a$が共有点を$3$個もち，それらの$x$座標がすべて正の数となるような$a$の値の範囲を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする空間に点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$，点$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 3)$，点$\mathrm{P}(4,\ 0,\ -1)$がある．線分$\mathrm{AB}$を直径とする円のうち，直線$\mathrm{OA}$と$2$点で交わるものを円$S$とし，点$\mathrm{A}$以外の交点を$\mathrm{C}$とする．

(1)点$\mathrm{C}$の座標は$([チ],\ [ツ],\ [テ])$である．
(2)円$S$を含む平面と，点$\mathrm{P}$からこの平面におろした垂線との交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ト]}{[ナ]},\ [ニ],\ -\frac{3}{2} \right)$である．

下図のように，点$\mathrm{O}$を中心とし，半径が$1$で中心角が$\displaystyle \frac{2}{3} \pi$の扇形$\mathrm{OAB}$がある．$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$を満たす角として，弧$\mathrm{AB}$上に，$\angle \mathrm{AOP}=\theta$，$\angle \mathrm{BOQ}=\theta$を満たす点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をとる．また，点$\mathrm{P}$から線分$\mathrm{OA}$に垂線を下ろし，線分$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{Q}$から線分$\mathrm{OB}$に垂線を下ろし，線分$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{S}$とする．このとき，以下の問に答えよ．
（図は省略）

(1)三角形$\mathrm{OPR}$の面積を$\theta$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$の範囲を動くとき，五角形$\mathrm{ORPQS}$の面積の最大値を求めよ．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)$1$次不等式$\displaystyle \frac{7+4x}{3} \geqq \frac{x+1}{2}-x$の解は$[$1$]$である．
(2)$\displaystyle \frac{1}{2+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$の分母を有理化すると$[$2$]$となる．
(3)$A,\ B,\ C$を定数とする．$\displaystyle \frac{x^2+2x+17}{x^3-x^2-5x-3}=\frac{A}{(x+1)^2}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-3}$が$x$についての恒等式であるとき，$A=[$3$]$，$B=[$4$]$，$C=[$5$]$である．
(4)実数$a$に対して，$a$以下の整数で最大のものを$[a]$で表す．このとき，$[\log_2 7]=[$6$]$，$\displaystyle [\log_3 \frac{1}{25}]=[$7$]$である．
(5)大小$2$個のさいころを同時に投げる．このとき，目の和が$9$以下になる確率は$[$8$]$であり，目の積が$9$以下になる確率は$[$9$]$である．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$とし，頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろすとする．このとき，線分$\mathrm{AH}$の長さは$[$10$]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[$11$]$である．

次の各問に答えよ．

(1)$(1$-$1)$ 連立不等式$600<2^{x+2}-2^x<900$を満たす自然数$x$を求めよ．
$(1$-$2)$ 連立不等式$21<\log_2 x^6<22$を満たす自然数$x$を求めよ．
(2)$(2$-$1)$ $0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$\sqrt{3} \sin x-\cos x=a$が相異なる$2$つの解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．
$(2$-$2)$ $2$次方程式$\sqrt{3}x^2+2x-\sqrt{3}=0$の$2$つの解を$\tan \alpha$，$\tan \beta$とするとき，$\alpha+\beta$の値を求めよ．ただし，$0<\alpha+\beta<\pi$とする．
(3)三角形$\mathrm{OAB}$において$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OB}=2$，$\angle \mathrm{AOB}={120}^\circ$とし，点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OH}$と線分$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{C}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問に答えよ．
$(3$-$1)$ $\mathrm{AH}:\mathrm{HB}$を求めよ．
$(3$-$2)$ $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

平面上で鋭角三角形$\triangle \mathrm{ABC}$の外側に，$\mathrm{AB}$および$\mathrm{AC}$を$1$辺とする正方形$\mathrm{ABFG}$，$\mathrm{ACDE}$をつくる．ただし，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AG}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AE}}|$とする．線分$\mathrm{EG}$の中点を$\mathrm{M}$，点$\mathrm{C}$から$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$，直線$\mathrm{AM}$と$\mathrm{CH}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$とおき，$|\overrightarrow{a}|=1$，$|\overrightarrow{b}|=t$，$\angle \mathrm{CAB}=\theta$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$t,\ \theta$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{HC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t,\ \theta$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{AM}$と直線$\mathrm{BC}$が直交することを示せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t,\ \theta$を用いて表せ．
(5)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t,\ \theta$を用いて表せ．
(6)$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を求めよ．