平面上の$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\angle \mathrm{OAB}$の二等分線と線分$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{P}$，$\angle \mathrm{OBA}$の二等分線と線分$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{Q}$とおく．直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BQ}$との交点を$\mathrm{R}$とおく．$\mathrm{OA}=x$，$\mathrm{OB}=y$，$\mathrm{AB}=1$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と平行で向きが同じである単位ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{u}$，$\overrightarrow{v}$とおく．このとき次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$x,\ y,\ \overrightarrow{v}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$x,\ y,\ \overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{OR}$と直線$\mathrm{AB}$が垂直であるとき，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{PQ}$が平行となることを示せ．
(4)$2 \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=-1$であり，$x,\ y$が変化するとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$の大きさが最大となるときの$x,\ y$の値と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$の大きさをそれぞれ求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(2,\ 4)$，$\mathrm{B}(6,\ 0)$をとる．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell_1$，線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，点$\mathrm{M}$を通り直線$\ell_1$に垂直な直線を$\ell_2$とする．

(1)点$\mathrm{M}$の座標は$([コ],\ [サ])$である．
(2)直線$\ell_1$の方程式は$y=-x+[シ]$であり，直線$\ell_2$の方程式は$y=x-[ス]$である．
(3)線分$\mathrm{OB}$の垂直二等分線と直線$\ell_2$との交点の座標は$([セ],\ [ソ])$である．
(4)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円の方程式は$x^2+y^2-[タ]x-[チ]y=0$である．

曲線$C:y=ax^2-6ax (x \leqq 3)$上の点$\mathrm{A}$の$x$座標は$2$である．以下の問いに答えよ．ただし，$a$は負の定数とする．

(1)$C$の点$\mathrm{A}$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$で$\ell$と垂直に交わる直線$m$の方程式を求めよ．
(3)$C$と$\ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積$S_1(a)$を求めよ．
(4)$C$と$m$および$x$軸で囲まれた部分の面積$S_2(a)$を求めよ．

以下の$[　]$にあてはまる式または数値を記入せよ．

(1)不等式$|2x-4|>x$を満たす$x$の値の範囲は$[　]$である．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$2 \sin^2 \theta \geqq 3 \cos \theta+3$を満たす$\theta$の値の範囲は$[　]$である．
(3)以下の数列$\{a_n\}$の階差数列は等差数列になっている．この数列$\{a_n\}$の第$21$項の値は$[　]$である．
\[ 3,\ 4,\ 11,\ 24,\ 43,\ \cdots \]
(4)$2$つのベクトル$\displaystyle \overrightarrow{a}=\left( x,\ \frac{1}{2} \right),\ \overrightarrow{b}=\left( 2,\ \frac{7}{2} \right)$について，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$とが垂直であるとき，実数$x$の値は$[　]$である．
(5)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{x^2+2x}+x \right)$の値は$[　]$である．

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．また設問$(3)$に答えなさい．

時間$t$とともに座標平面上を動く点$\mathrm{P}(t)$は次の条件$(ⅰ)$をみたすとする．

(i) $\mathrm{P}(t)$は原点をとおらず，その偏角$\theta(t)$および原点からの距離$r(t)$は$t$について微分可能，かつ$r(0)=1$であり，さらに$\theta^\prime(t)=1$が成り立つ．



(1)動点$\mathrm{P}(t)$の座標を$(x(t),\ y(t))$とし，時刻$t$における$\mathrm{P}(t)$の速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{v}(t)=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$とベクトル$\overrightarrow{b}(t)=(\cos \theta (t),\ \sin \theta (t))$のなす角を$\alpha (t)$とする．このとき$\cos \alpha (t)$を$r(t)$を用いて表すと$\cos \alpha (t)=[あ]$である．
(2)動点$\mathrm{P}(t)$がさらに次の条件$(ⅱ)$をみたすとする．

(ii) すべての$t$に対して$\displaystyle \alpha (t)=\frac{\pi}{4}$である．

このとき$r(t)=[い]$である．
(3)条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$をみたす$2$つの動点$\mathrm{P}_1(t)$，$\mathrm{P}_2(t)$の間に次の条件$(ⅲ)$が成り立つとする．ただし動点$\mathrm{P}_1(t)$，$\mathrm{P}_2(t)$それぞれの偏角を$\theta_1(t)$，$\theta_2(t)$，原点からの距離を$r_1(t)$，$r_2(t)$とし，速度ベクトルを$\overrightarrow{v_1}(t)$，$\overrightarrow{v_2}(t)$とする．

(iii) すべての$t$に対してベクトル$\overrightarrow{v_1}(t)$とベクトル$\overrightarrow{v_2}(t)$は垂直である．

このとき時刻$s$から$u$の間に動点$\mathrm{P}_2(t)$がその軌道に沿って動く道のりを$l(s,\ u)$とすると
\[ l(s,\ u)=|\overrightarrow{\mathrm{P|_1(u) \mathrm{P}_2(u)}}-|\overrightarrow{\mathrm{P|_1(s) \mathrm{P}_2(s)}} \]
が成り立つことを示しなさい．ただし$s<u$とする．

次の各問の$[　]$に当てはまる数を入れよ．

(1)$100$以下の自然数で，$2$と$5$を共に素因数にもち，それ以外の素数を素因数にもたない数の個数は，$[　]$個である．
同様に$100$以下の自然数で，$2$と$3$を共に素因数にもち，それ以外の素数を素因数にもたない数の個数は，$[　]$である．
(2)曲線$C:y=x^3-3x+16$を第$1$象限で考える．曲線$C$の接線で，点$(0,\ 0)$を通るものを$\ell$とするとき，$\ell$の傾きは，$[　]$であり，$C$，$\ell$と$y$軸で囲まれた領域の面積は，$[　]$である．
(3)$1$辺の長さが$y$の正方形を$\mathrm{ABCD}$とし，$2$つの対角線の交点を$\mathrm{O}$とする．$\mathrm{O}$から垂直に高さが$x$の点$\mathrm{E}$をとり，四角錐$\mathrm{E}$-$\mathrm{ABCD}$を考える．$\mathrm{AE}$の長さが$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき，体積が最大となるのは，
\[ x=[　],\quad y=[　] \]
のときである．

座標平面上に楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$と放物線$y^2=x-t$があり，$t>0$とする．この楕円と放物線の共有点が$2$個であるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$t$の条件を求めよ．
(2)$2$個の共有点の$x$座標を$t$を用いて表せ．
(3)$2$個の共有点における放物線の接線が垂直に交わるように$t$の値を定めよ．

\begin{mawarikomi}{50mm}{
（図は省略）
}
$xy$平面上の曲線$y=x^2 (-3 \leqq x \leqq 3)$を$y$軸のまわりに回転させて容器をつくり，この容器を水でいっぱいに満たした．$xy$平面に垂直に図のように$z$軸をとった後，高さ$y=1$にある容器上の$1$点が$xz$平面に接するまで容器を静かに傾けた．ただし，傾ける際に容器は常に$xz$平面に接するものとする．表面張力および容器の厚みを考えないとして，以下の問いに答えよ．

(1)容器を傾ける前の容器内の水の量を求めよ．
(2)容器を傾けた後の容器に残っている水の量を求めよ．

\end{mawarikomi}

$s$を実数とする．$1<t<5$とする．$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間内に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{P} \left( s,\ t,\ \frac{4}{t} \right)$がある．以下の問いに答えよ．

(1)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$は一直線上にないことを示せ．
(2)$\angle \mathrm{OPA}$は鋭角であることを示せ．
(3)$\triangle \mathrm{OAP}$の面積の最小値を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{OAP}$の面積が最小となるとき，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$の定める平面に垂直な単位ベクトルをすべて求めよ．

$4$面体$\mathrm{OABC}$は，
\[ \begin{array}{lll}
\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=9, & \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=3, & \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=14, \phantom{\frac{1}{[　]}} \\
\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1, & \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=3, & \overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=5 \phantom{\frac{[　]}{[　]}}
\end{array} \]
を満たすものとする．また，直線$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{D}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直になるようにとり，実数$m$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=m \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-m) \overrightarrow{\mathrm{OB}}$となるように定める．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$m$の値を求めよ．
(2)$m<s<1$を満たす実数$s$に対し，辺$\mathrm{AB}$を$(1-s):s$に内分する点$\mathrm{P}$をとる．さらに，直線$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{Q}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が垂直になるようにとり，実数$t$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=t \overrightarrow{a}+(1-t) \overrightarrow{c}$となるように定める．$t$を$s$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$t$に対し，$0<t<1$が成り立つことを示せ．