「垂直」について
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国立 長崎大学 2014年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{CA}=6$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とする．$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\angle \mathrm{B}$の$2$等分線は点$\mathrm{I}$で交わる．$\angle \mathrm{B}$の$2$等分線と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}:\mathrm{DC}$と$\mathrm{BI}:\mathrm{ID}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AI}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{A}=\theta$とする．$\cos \theta$と内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．
(4)実数$x,\ y$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=x \overrightarrow{b}+y \overrightarrow{c}$と表される点$\mathrm{P}$を考える．点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$の垂直$2$等分線上にあるとき，$x$と$y$が満たす関係式を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする．辺$\mathrm{AB}$の垂直$2$等分線と辺$\mathrm{AC}$の垂直$2$等分線は点$\mathrm{O}$で交わる．$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とする．$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\angle \mathrm{B}$の$2$等分線は点$\mathrm{I}$で交わる．$\angle \mathrm{B}$の$2$等分線と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}:\mathrm{DC}$と$\mathrm{BI}:\mathrm{ID}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AI}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{A}=\theta$とする．$\cos \theta$と内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．
(4)実数$x,\ y$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=x \overrightarrow{b}+y \overrightarrow{c}$と表される点$\mathrm{P}$を考える．点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$の垂直$2$等分線上にあるとき，$x$と$y$が満たす関係式を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする．辺$\mathrm{AB}$の垂直$2$等分線と辺$\mathrm{AC}$の垂直$2$等分線は点$\mathrm{O}$で交わる．$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
国立 京都教育大学 2014年 第5問幅$30 \, \mathrm{cm}$の長方形の金属板を，図$1$の点線で折り曲げて雨どいを作る．図$2$は折り曲げた金属板のどの面にも垂直な平面による断面である．また，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{CP}$は水平面に垂直，$\mathrm{AC}$は水平で，$\mathrm{AB}$の長さは$10 \, \mathrm{cm}$であるとする．$\mathrm{CP}$の長さを$x \, \mathrm{cm} (0<x<10)$，雨どいの上記平面による断面積（水が流れることのできる部分の断面積）を$S \, \mathrm{cm}^2$とするとき，次の問に答えよ．ただし，金属板の厚みは無視する．
(1)$S$を$x$で表せ．
(2)$S^2$を考えて，$S$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
（図は省略）
(1)$S$を$x$で表せ．
(2)$S^2$を考えて，$S$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
（図は省略）
私立 自治医科大学 2014年 第18問$3$つの空間ベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ -2)$，$\overrightarrow{b}=(3,\ 4,\ 0)$，$\overrightarrow{c}=(x,\ y,\ z)$について考える．$\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に垂直であり，$|\overrightarrow{c}|=2 \sqrt{5}$となる．$|z|$の値を求めよ．
私立 愛知工業大学 2014年 第3問$a>0$とする．$xy$平面において，放物線$y=x^2+1$の$x \geqq 0$の部分を$C$とし，曲線$C$上の点$\mathrm{A}(a,\ a^2+1)$における接線を$\ell$，$\mathrm{A}$を通り$\ell$に垂直な直線を$m$とする．
(1)直線$\ell$の方程式と直線$m$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$，直線$\ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，曲線$C$，直線$m$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．$3S_1=S_2$となるとき，$a$の値を求めよ．
(1)直線$\ell$の方程式と直線$m$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$，直線$\ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，曲線$C$，直線$m$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．$3S_1=S_2$となるとき，$a$の値を求めよ．
私立 南山大学 2014年 第2問$a>0$，$b>0$，$c>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ c)$をとり，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．
(1)$\mathrm{G}$の座標を$a,\ b,\ c$で表せ．
(2)$\mathrm{G}$を通り，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と垂直な平面を$\alpha$とし，$\alpha$と$x$軸，$y$軸，$z$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を$a,\ b,\ c$で表せ．
(3)$(2)$の$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$について，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$のなす角を$\theta$とする．$\cos \theta$を$a,\ b,\ c$で表せ．
(1)$\mathrm{G}$の座標を$a,\ b,\ c$で表せ．
(2)$\mathrm{G}$を通り，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と垂直な平面を$\alpha$とし，$\alpha$と$x$軸，$y$軸，$z$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を$a,\ b,\ c$で表せ．
(3)$(2)$の$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$について，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$のなす角を$\theta$とする．$\cos \theta$を$a,\ b,\ c$で表せ．
私立 獨協大学 2014年 第1問次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．
(1)$2$次関数$y=x^2-6x+7$のグラフは$y=x^2+2x+2$のグラフを，$x$軸方向に$[$1$]$，$y$軸方向に$[$2$]$だけ平行移動したものである．
(2)次の式の分母を有理化せよ．
\[ (ⅰ) \frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=[$3$] \qquad (ⅱ) \frac{5 \sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=[$4$] \]
(3)$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 2)$，$\mathrm{B}(5,\ 2)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{C}([$5$],\ [$6$])$を通り，線分$\mathrm{AB}$に垂直な直線の方程式は$[$7$]$と表される．
(4)数列$\{a_n\}$が$2,\ 3,\ 7,\ 14,\ 24,\ \cdots$のように与えられている．その階差数列を$\{b_n\}$とする．このとき，$b_1=[$8$]$，$b_2=[$9$]$であり，数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=[$10$]$と表される．よって，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[$11$]$となる．
(5)$x+y=20$，$x>0$，$y>0$であるとき，$\log_{\frac{1}{10}}x+\log_{\frac{1}{10}}y$の最小値は$[$12$]$である．
(6)各辺の長さが$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CA}=k$である$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は，$k=[$13$]$のとき最大値$[$14$]$をとる．
(7)$2$つのベクトル$\overrightarrow{x}=(a,\ b)$，$\overrightarrow{y}=(1,\ c)$について，$\overrightarrow{x} \perp \overrightarrow{y}$，$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}|=2$，$abc=-1$を満たす実数$a,\ b,\ c$の組合せは$[$15$]$通り存在する．また，このうち$a+b+c$の最小値は$[$16$]$となる．
(8)$2$人の男性$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$と$2$人の女性$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$がいる．この$4$人は無作為に異性を$1$人ずつ選ぶ．このとき，男性が選んだ女性がその男性を選べば，その男女をペアとする．たとえば，男性$\mathrm{A}$が女性$\mathrm{a}$を選び，女性$\mathrm{a}$も男性$\mathrm{A}$を選べば，その男女はペアとなる．このとき，ペアが全くできない確率は$[$17$]$，ペアがちょうど$1$組だけできる確率は$[$18$]$，ペアが$2$組できる確率は$[$19$]$である．
(1)$2$次関数$y=x^2-6x+7$のグラフは$y=x^2+2x+2$のグラフを，$x$軸方向に$[$1$]$，$y$軸方向に$[$2$]$だけ平行移動したものである．
(2)次の式の分母を有理化せよ．
\[ (ⅰ) \frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=[$3$] \qquad (ⅱ) \frac{5 \sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=[$4$] \]
(3)$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 2)$，$\mathrm{B}(5,\ 2)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{C}([$5$],\ [$6$])$を通り，線分$\mathrm{AB}$に垂直な直線の方程式は$[$7$]$と表される．
(4)数列$\{a_n\}$が$2,\ 3,\ 7,\ 14,\ 24,\ \cdots$のように与えられている．その階差数列を$\{b_n\}$とする．このとき，$b_1=[$8$]$，$b_2=[$9$]$であり，数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=[$10$]$と表される．よって，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[$11$]$となる．
(5)$x+y=20$，$x>0$，$y>0$であるとき，$\log_{\frac{1}{10}}x+\log_{\frac{1}{10}}y$の最小値は$[$12$]$である．
(6)各辺の長さが$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CA}=k$である$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は，$k=[$13$]$のとき最大値$[$14$]$をとる．
(7)$2$つのベクトル$\overrightarrow{x}=(a,\ b)$，$\overrightarrow{y}=(1,\ c)$について，$\overrightarrow{x} \perp \overrightarrow{y}$，$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}|=2$，$abc=-1$を満たす実数$a,\ b,\ c$の組合せは$[$15$]$通り存在する．また，このうち$a+b+c$の最小値は$[$16$]$となる．
(8)$2$人の男性$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$と$2$人の女性$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$がいる．この$4$人は無作為に異性を$1$人ずつ選ぶ．このとき，男性が選んだ女性がその男性を選べば，その男女をペアとする．たとえば，男性$\mathrm{A}$が女性$\mathrm{a}$を選び，女性$\mathrm{a}$も男性$\mathrm{A}$を選べば，その男女はペアとなる．このとき，ペアが全くできない確率は$[$17$]$，ペアがちょうど$1$組だけできる確率は$[$18$]$，ペアが$2$組できる確率は$[$19$]$である．
私立 千葉工業大学 2014年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle x<\frac{\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$をみたす最大の整数$x$は$[アイ]$である．
(2)等式$\displaystyle \frac{x+5}{x^2+x-2}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+2}$が$x$についての恒等式であるとき，$a=[ウ]$，$b=[エオ]$である．
(3)点$(-4,\ a)$と直線$3x+4y-1=0$との距離が$1$であるとき，$a=[カ]$または$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$である．
(4)$\displaystyle \left( x-\frac{2}{3} \right)^9$の展開式において，$x^8$の係数は$[ケコ]$であり，$x^7$の係数は$[サシ]$である．
(5)$\overrightarrow{a}=(3,\ t+1,\ 1)$と$\displaystyle \overrightarrow{b}=\left( 2,\ -3,\ \frac{3}{2}t \right)$が垂直であるとき，$t=[ス]$である．
(6)$\displaystyle (5^{\frac{1}{3}}-5^{-\frac{1}{3}})(5^{\frac{2}{3}}+1+5^{-\frac{2}{3}})=\frac{[セソ]}{[タ]}$である．
(7)$\log_{10}2=p$とおくと，$\log_{10}5=[チ]-p$であり，$\displaystyle \log_4 500=\frac{[ツ]-p}{[テ]p}$である．
(8)$\displaystyle \int_{-1}^2 (-x^2+3 |x|) \, dx=\frac{[ト]}{[ナ]}$である．
(1)$\displaystyle x<\frac{\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$をみたす最大の整数$x$は$[アイ]$である．
(2)等式$\displaystyle \frac{x+5}{x^2+x-2}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+2}$が$x$についての恒等式であるとき，$a=[ウ]$，$b=[エオ]$である．
(3)点$(-4,\ a)$と直線$3x+4y-1=0$との距離が$1$であるとき，$a=[カ]$または$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$である．
(4)$\displaystyle \left( x-\frac{2}{3} \right)^9$の展開式において，$x^8$の係数は$[ケコ]$であり，$x^7$の係数は$[サシ]$である．
(5)$\overrightarrow{a}=(3,\ t+1,\ 1)$と$\displaystyle \overrightarrow{b}=\left( 2,\ -3,\ \frac{3}{2}t \right)$が垂直であるとき，$t=[ス]$である．
(6)$\displaystyle (5^{\frac{1}{3}}-5^{-\frac{1}{3}})(5^{\frac{2}{3}}+1+5^{-\frac{2}{3}})=\frac{[セソ]}{[タ]}$である．
(7)$\log_{10}2=p$とおくと，$\log_{10}5=[チ]-p$であり，$\displaystyle \log_4 500=\frac{[ツ]-p}{[テ]p}$である．
(8)$\displaystyle \int_{-1}^2 (-x^2+3 |x|) \, dx=\frac{[ト]}{[ナ]}$である．
私立 大阪薬科大学 2014年 第2問次の問いに答えなさい．
$t$を実数とする．座標平面上の$2$次関数$y=f(x)$のグラフ$C$は，軸が$y$軸，頂点が原点$\mathrm{O}$の放物線であり，点$(-2,\ 1)$を通る．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における接線を$\ell$とし，点$\mathrm{Q}(-1,\ 0)$を通り，$\ell$と垂直な直線を$m$とする．
(1)$f(1)$の値は$[$\mathrm{E]$}$である．
(2)$\ell$の方程式を$t$を用いて表すと，$y=[$\mathrm{F]$}$である．
(3)$t$が$-1 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$を$1:2$に外分する点$\mathrm{G}$の軌跡を求め，またそれを図示しなさい．
(4)$m$が$C$の接線となるとき，$t=[$\mathrm{G]$}$である．このとき，$C$と$\ell$および$m$で囲まれる部分の面積は$[$\mathrm{H]$}$である．
$t$を実数とする．座標平面上の$2$次関数$y=f(x)$のグラフ$C$は，軸が$y$軸，頂点が原点$\mathrm{O}$の放物線であり，点$(-2,\ 1)$を通る．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における接線を$\ell$とし，点$\mathrm{Q}(-1,\ 0)$を通り，$\ell$と垂直な直線を$m$とする．
(1)$f(1)$の値は$[$\mathrm{E]$}$である．
(2)$\ell$の方程式を$t$を用いて表すと，$y=[$\mathrm{F]$}$である．
(3)$t$が$-1 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$を$1:2$に外分する点$\mathrm{G}$の軌跡を求め，またそれを図示しなさい．
(4)$m$が$C$の接線となるとき，$t=[$\mathrm{G]$}$である．このとき，$C$と$\ell$および$m$で囲まれる部分の面積は$[$\mathrm{H]$}$である．
私立 早稲田大学 2014年 第2問$x$-$y$平面の双曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$上の相異なる$3$点を，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とし，その$x$座標を，それぞれ，$a,\ b,\ c$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)空欄にあてはまる数式を求め，答のみ解答欄に記入せよ．
直線$\mathrm{AB}$に垂直な直線の傾きは$[ア]$である．$\triangle \mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{H}$の$x,\ y$座標を$a,\ b,\ c$を用いて表すと，$x=[イ]$，$y=[ウ]$である．よって，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が双曲線上を動くとき，$\mathrm{H}$の軌跡は$x,\ y$の関係式$[エ]$で表され，$\mathrm{H}$はこの関係式で表される図形上のすべての点を動く．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{P}(x,\ y)$とする．
(i) $\mathrm{P}$の座標$x,\ y$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(ii) $a,\ b,\ c$が，$a+b=0$，$c=1$を満たすとき，$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡を求め，その軌跡を解答欄の$x$-$y$平面に図示せよ．
(1)空欄にあてはまる数式を求め，答のみ解答欄に記入せよ．
直線$\mathrm{AB}$に垂直な直線の傾きは$[ア]$である．$\triangle \mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{H}$の$x,\ y$座標を$a,\ b,\ c$を用いて表すと，$x=[イ]$，$y=[ウ]$である．よって，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が双曲線上を動くとき，$\mathrm{H}$の軌跡は$x,\ y$の関係式$[エ]$で表され，$\mathrm{H}$はこの関係式で表される図形上のすべての点を動く．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{P}(x,\ y)$とする．
(i) $\mathrm{P}$の座標$x,\ y$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(ii) $a,\ b,\ c$が，$a+b=0$，$c=1$を満たすとき，$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡を求め，その軌跡を解答欄の$x$-$y$平面に図示せよ．
私立 神奈川大学 2014年 第1問次の空欄$(\mathrm{a})$～$(\mathrm{g})$を適当に補え．
(1)$2$次方程式$x^2-2x+2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}$の値は$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でない$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は，なす角が${60}^\circ$で，$|\overrightarrow{a}|=2 |\overrightarrow{b}|$である．$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$2 \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$が垂直であるとき，$t$の値は$[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)$a^x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \frac{a^{3x}-a^{-3x}}{a^x-a^{-x}}$の値は$[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)円$x^2+y^2-2x-4y-4=0$上の点$\mathrm{A}$と，円$x^2+y^2-12x-14y+81=0$上の点$\mathrm{B}$について，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の距離の最小値は$[$(\mathrm{d])$}$である．
(5)$6$枚のコインを同時に投げるとき，ちょうど$3$枚のコインが表になる確率は$[$(\mathrm{e])$}$である．
(6)定数$a,\ b$に対して，$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{x^2-b}{x-a}=6$が成り立つとする．このとき，$a=[($\mathrm{f])$}$，$b=[$(\mathrm{g])$}$である．
(1)$2$次方程式$x^2-2x+2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}$の値は$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でない$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は，なす角が${60}^\circ$で，$|\overrightarrow{a}|=2 |\overrightarrow{b}|$である．$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$2 \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$が垂直であるとき，$t$の値は$[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)$a^x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \frac{a^{3x}-a^{-3x}}{a^x-a^{-x}}$の値は$[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)円$x^2+y^2-2x-4y-4=0$上の点$\mathrm{A}$と，円$x^2+y^2-12x-14y+81=0$上の点$\mathrm{B}$について，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の距離の最小値は$[$(\mathrm{d])$}$である．
(5)$6$枚のコインを同時に投げるとき，ちょうど$3$枚のコインが表になる確率は$[$(\mathrm{e])$}$である．
(6)定数$a,\ b$に対して，$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{x^2-b}{x-a}=6$が成り立つとする．このとき，$a=[($\mathrm{f])$}$，$b=[$(\mathrm{g])$}$である．