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東北大学 国立 東北大学 2016年 第4問
鋭角三角形$\triangle \mathrm{ABC}$において,頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$から各対辺に垂線$\mathrm{AD}$,$\mathrm{BE}$,$\mathrm{CF}$を下ろす.これらの垂線は垂心$\mathrm{H}$で交わる.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)四角形$\mathrm{BCEF}$と$\mathrm{AFHE}$が円に内接することを示せ.
(2)$\angle \mathrm{ADE}=\angle \mathrm{ADF}$であることを示せ.
東北大学 国立 東北大学 2016年 第1問
鋭角三角形$\triangle \mathrm{ABC}$において,頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$から各対辺に垂線$\mathrm{AD}$,$\mathrm{BE}$,$\mathrm{CF}$を下ろす.これらの垂線は垂心$\mathrm{H}$で交わる.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)四角形$\mathrm{BCEF}$と$\mathrm{AFHE}$が円に内接することを示せ.
(2)$\angle \mathrm{ADE}=\angle \mathrm{ADF}$であることを示せ.
滋賀医科大学 国立 滋賀医科大学 2016年 第1問
$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=14$,$\mathrm{BC}=15$,$\mathrm{CA}=13$とし,$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$とする.

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$について$\overrightarrow{\mathrm{CG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ.
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の垂心$\mathrm{H}$について$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ.
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求め,外心$\mathrm{O}$について$\overrightarrow{\mathrm{CO}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ.
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径を求め,外心$\mathrm{I}$について$\overrightarrow{\mathrm{CI}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ.
広島市立大学 公立 広島市立大学 2016年 第4問
三角形$\mathrm{ABC}$において,$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおき,三角形$\mathrm{ABC}$の内部に点$\mathrm{P}$を$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{1}{4} \overrightarrow{b}+\frac{1}{2} \overrightarrow{c}$を満たすようにとる.また,直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$,直線$\mathrm{BP}$と直線$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{E}$,直線$\mathrm{CP}$と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{F}$とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2)線分の長さの比$\mathrm{AF}:\mathrm{FB}$,$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}$をそれぞれ求めよ.
(3)次の問いに答えよ.

(i) 点$\mathrm{P}$が三角形$\mathrm{ABC}$の垂心であるとする.すなわち,$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CF}}$かつ$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BE}}$が成り立っている.このとき,$|\overrightarrow{b|}:|\overrightarrow{c|}$および$\cos \angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ.
(ii) 点$\mathrm{P}$が三角形$\mathrm{ABC}$の外心になることがあるかどうかを調べよ.
東北大学 国立 東北大学 2015年 第5問
$t>0$を実数とする.座標平面において,$3$点$\mathrm{A}(-2,\ 0)$,$\mathrm{B}(2,\ 0)$,$\mathrm{P}(t,\ \sqrt{3}t)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABP}$を考える.

(1)三角形$\mathrm{ABP}$が鋭角三角形となるような$t$の範囲を求めよ.
(2)三角形$\mathrm{ABP}$の垂心の座標を求めよ.
(3)辺$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BP}$,$\mathrm{PA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とおく.$t$が$(1)$で求めた範囲を動くとき,三角形$\mathrm{ABP}$を線分$\mathrm{MQ}$,$\mathrm{QR}$,$\mathrm{RM}$で折り曲げてできる四面体の体積の最大値と,そのときの$t$の値を求めよ.
東北大学 国立 東北大学 2015年 第2問
$t>0$を実数とする.座標平面において,$3$点$\mathrm{A}(-2,\ 0)$,$\mathrm{B}(2,\ 0)$,$\mathrm{P}(t,\ \sqrt{3}t)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABP}$を考える.

(1)三角形$\mathrm{ABP}$が鋭角三角形となるような$t$の範囲を求めよ.
(2)三角形$\mathrm{ABP}$の垂心の座標を求めよ.
(3)辺$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BP}$,$\mathrm{PA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とおく.$t$が$(1)$で求めた範囲を動くとき,三角形$\mathrm{ABP}$を線分$\mathrm{MQ}$,$\mathrm{QR}$,$\mathrm{RM}$で折り曲げてできる四面体の体積の最大値と,そのときの$t$の値を求めよ.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2014年 第2問
$x$-$y$平面の双曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$上の相異なる$3$点を,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$とし,その$x$座標を,それぞれ,$a,\ b,\ c$とする.このとき,次の各問に答えよ.

(1)空欄にあてはまる数式を求め,答のみ解答欄に記入せよ.

直線$\mathrm{AB}$に垂直な直線の傾きは$[ア]$である.$\triangle \mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とするとき,$\mathrm{H}$の$x,\ y$座標を$a,\ b,\ c$を用いて表すと,$x=[イ]$,$y=[ウ]$である.よって,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が双曲線上を動くとき,$\mathrm{H}$の軌跡は$x,\ y$の関係式$[エ]$で表され,$\mathrm{H}$はこの関係式で表される図形上のすべての点を動く.

(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{P}(x,\ y)$とする.

(i) $\mathrm{P}$の座標$x,\ y$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ.
(ii) $a,\ b,\ c$が,$a+b=0$,$c=1$を満たすとき,$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡を求め,その軌跡を解答欄の$x$-$y$平面に図示せよ.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2014年 第5問
角$A$が鈍角の三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{AC}=3$であり,三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$2 \sqrt{2}$である.このとき,三角形$\mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{AH}}=\frac{[ナ] \overrightarrow{\mathrm{AB}}+[ニ] \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{[ヌ]} \]
である.
杏林大学 私立 杏林大学 2014年 第3問
$[ケ]$,$[ヌ]$,$[ネ]$の解答は解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ.

$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$がそれぞれ$x$軸,$y$軸,$z$軸上にあり,原点$\mathrm{O}$を頂点に持つ$3$つの三角形$\mathrm{OAB}$,$\mathrm{OBC}$,$\mathrm{OCA}$の面積の比が$1:\sqrt{3}:\sqrt{5}$となっている.三角形$\mathrm{ABC}$を含む平面を$\alpha$とする.

(1)平面$\alpha$上にある点$\mathrm{P}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と表わすと,$s+t+u=[ア]$が成り立つ.
(2)$4$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を通る球面の中心を$\mathrm{D}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{[イ]}{[ウ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[エ]}{[オ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[カ]}{[キ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
と表わされる.
直線$\mathrm{OD}$と平面$\alpha$の交点$\mathrm{G}$は,線分$\mathrm{OD}$を$[ク]:1$に内分する.点$\mathrm{G}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ケ]$である.
(3)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[コ]}{[サ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[シ]}{[ス]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[セ]}{[ソ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}}, \]
点$\mathrm{D}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{E}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{[タ]}{[チ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ツ]}{[テ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ト]}{[ナ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
が成り立つ.
点$\mathrm{G}$は線分$\mathrm{EH}$を$1:[ニ]$に内分する.
点$\mathrm{H}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ヌ]$であり,点$\mathrm{E}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ネ]$である.

$[ケ]$,$[ヌ]$,$[ネ]$の解答群
\mon[$①$] 重心
\mon[$②$] 内心
\mon[$③$] 外心
\mon[$④$] 垂心
\mon[$⑤$] 三辺の中点を通る円の中心
\mon[$⑥$] 頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$における外角の二等分線の交点
\mon[$④chi$] 頂点$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$における外角の二等分線の交点
\mon[$\maruhachi$] 頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{C}$における外角の二等分線の交点
鹿児島大学 国立 鹿児島大学 2013年 第3問
次の各問いに答えよ.

(1)三角形$\mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とする.次の等式が成り立つことを示せ.
\[ \overrightarrow{\mathrm{HA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HB}}=\overrightarrow{\mathrm{HB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HC}}=\overrightarrow{\mathrm{HC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HA}} \]
ただし,三角形の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした$3$本の垂線は$1$点で交わる.この点を三角形の垂心という.
(2)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ.

(i) 自然数$n$に対して自然数$a_n$を次のように定義する.
\[ a_n=(2n-1) \cdot (2n-3) \cdot \cdots \cdot 3 \cdot 1 \]
このとき,すべての自然数$k$に対して$(2k)!=2^k k! a_k$が成り立つ.このことを証明せよ.
(ii) すべての自然数$n$に対して,$2^n!$は$2^{(2^n-1)}$で割り切れる.このことを数学的帰納法で証明せよ.
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「垂心」とは・・・

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