$xy$平面上の直線$y=ax$を$L$とし，曲線$y=xe^x$を$C$とする．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$L$と$C$が異なる$2$点で交わるとき，定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$x<0$の範囲で$L$と$C$が交わるとき，$L$と$C$で囲まれた図形の面積を$a$で表せ．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)$\displaystyle \int_0^1 {\left( x \sqrt{1-x^2} \right)}^3 \, dx=\frac{[ア]}{[イウ]}$である．
(2)座標平面における曲線$\displaystyle C:y=\frac{4}{3}x+\frac{2}{3} \sqrt{x} (x>0)$上に点$\mathrm{P}$をとり，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$とを結ぶ線分$\mathrm{OP}$を考える．線分$\mathrm{OP}$と曲線$C$により囲まれた図形の面積を$A$とし，線分$\mathrm{OP}$を一辺とする正方形の面積を$S$とする．点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき，面積比$\displaystyle \frac{A}{S}$のとり得る最大値を$M$とすれば$\displaystyle M=\frac{[エ]}{[オカ]}$である．

座標平面における曲線$\displaystyle C_1:y=\tan x \left( -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2} \right)$と曲線$\displaystyle C_2:y=\frac{12}{7} \cos x$の交点の$x$座標を$x_0$とするとき，
\[ \sin x_0=\frac{[ア]}{[イ]} \]
であり，曲線$C_1,\ C_2$と$y$軸とで囲まれた図形の面積を$S$とすれば
\[ S=\frac{[ウ]}{[エ]}+\frac{1}{2} \log \frac{[オ]}{[カキ]} \]
である．ただし，対数は自然対数とする．

点$\mathrm{A}(3,\ 4)$，$\mathrm{B}(8,\ 6)$と，$x$軸上を動く点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$が最小となるとき，以下の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$を通る直線$\ell$の方程式は，$y=[アイ]x+[ウエ]$である．
(2)点$\mathrm{P}$を頂点として，点$\mathrm{A}$を通る放物線$C$の方程式は，$y=[オ]x^2-[カキ]x+[クケ]$である．
(3)$\ell$と$C$で囲まれる図形の面積は，$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．

$3$次関数$f(x)$は$x=-1$と$x=-5$で極値をとり，$f(0)=14$，$f(1)=64$とする．

(1)$f(x)=[ア]x^3+[イウ]x^2+[エオ]x+[カキ]$であり，
$f^\prime(x)=[ク]x^2+[ケコ]x+[サシ]$である．
(2)$f(x)$の極大値は$[スセ]$であり，極小値は$[ソ]$である．
(3)方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数は$[タ]$個である．
(4)$f^\prime(x)=g(x)$とおく．曲線$y=g(x)$と$x$軸とで囲まれる図形$A$の面積は$[チツ]$である．図形$A$が直線$x=a$によって$2$つに分割され，左側と右側の部分の面積の比が$5:27$であるならば，$a$の値は$[テト]$である．

放物線$y=x^2-x$と$x$軸で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[ハ]}{[ヒ]}$である．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{6} \int_0^3 x^2f(t) \, dt-\frac{1}{12} \int_{-3}^0 xf(t) \, dt-2$に対して，$2$つの曲線$C_1:y=x^2+1$，$C_2:y=f(x)$を考える．

(1)$f(x)=px^2+qx-2$とすると，$p=[ナ][ニ]$，$q=[ヌ]$である．
(2)点$(a,\ f(a))$（ただし，$a>1$とする）における曲線$C_2$の接線$\ell$と曲線$C_1$との異なる$2$つの交点を結ぶ線分の中点が$(-1,\ b)$のとき，$b=[ネ]$であり，$\ell$の方程式は$y=[ノ][ハ]x+[ヒ]$である．
(3)$(2)$で求めた接線$\ell$と曲線$C_2$および$y$軸で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}$である．

関数$f(x)=3x^2+5$のグラフ上の点$(-2,\ f(-2))$における接線を$\ell_1$とし，直線$x=k$（ただし，$k \neq -2$）を$\ell_2$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)接線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)関数$f(x)$のグラフと接線$\ell_1$，直線$\ell_2$で囲まれた図形の面積が$\displaystyle \frac{125}{8}$となるとき，定数$k$の値を求めよ．

放物線$y=-x^2+4$上に$x$座標が正である点$\mathrm{P}$をとる．点$\mathrm{P}$におけるこの放物線の接線と点$\mathrm{P}$で直交する直線を$\ell$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)この放物線上の点$\displaystyle \left( -\frac{3}{2},\ \frac{7}{4} \right)$を通るような直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)この放物線と$x$軸で囲まれた図形は，$(1)$で求めた直線で$3$つの部分に分けられる．点$(0,\ 4)$，$(0,\ 3)$，$(0,\ 2)$を含む部分の面積をそれぞれ$S_1$，$S_2$，$S_3$とするとき，$S_1:S_2:S_3$を求めよ．

$k$を正の定数とする．放物線$y=-x^2-2x+3 \cdots\cdots①$と直線$y=k \cdots\cdots②$について，次の各問に答えよ．

(1)放物線$①$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)放物線$①$と直線$②$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わっているとき，原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を結んでできる$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の最大値を求めよ．