$m$を実数とする．方程式
\[ mx^2-my^2+(1-m^2)xy+5(1+m^2)y-25m=0 \cdots\cdots (*) \]
を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$xy$平面において，方程式$(*)$が表す図形は$2$直線であることを示せ．
(2)$(1)$で求めた$2$直線は$m$の値にかかわらず，それぞれ定点を通る．これらの定点を求めよ．
(3)$m$が$-1 \leqq m \leqq 3$の範囲を動くとき，$(1)$で求めた$2$直線の交点の軌跡を図示せよ．

曲線$\displaystyle C_1:y=\tan x \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$と曲線$\displaystyle C_2:y=2 \sin x \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$を考える．曲線$C_1$と曲線$C_2$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．

$f(x)=\log x (x>0)$とし，曲線$C_1:y=f(x)$上の点$(t,\ f(t))$における接線を$\ell$とする．直線$\ell$と曲線$C_2:y={(x-\sqrt{2})}^2$で囲まれた図形の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$S$を$t$を用いて表せ．
(2)$S$を最小にする$t$の値を求めよ．ただし，そのときの$S$の値は求めなくてよい．

$f(x)=\log x (x>0)$とし，曲線$C_1:y=f(x)$上の点$(t,\ f(t))$における接線を$\ell$とする．直線$\ell$と曲線$C_2:y={(x-\sqrt{2})}^2$で囲まれた図形の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$S$を$t$を用いて表せ．
(2)$S$を最小にする$t$の値を求めよ．ただし，そのときの$S$の値は求めなくてよい．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(0,\ 3)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$，$\mathrm{C}(4,\ 4)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$があり，線分$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$がある．ただし，$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AB}$の端点にないものとする．直線$\mathrm{OP}$によって三角形$\mathrm{ABC}$を$2$つの図形に分けたとき，点$\mathrm{A}$を含む図形の面積を$S$とする．線分$\mathrm{AP}$の長さを$t$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$t$の値の範囲を求め，点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{OP}$が線分$\mathrm{AC}$と共有点をもつような$t$の値の範囲を求め，その共有点の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$S$を$t$を用いて表せ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に放物線$C:y=x^2$と点$\mathrm{P}(a,\ b)$（ただし，$a>0$かつ$b<a^2$）がある．$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線$\ell$が，$C$および$x$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{QM}}$となるように点$\mathrm{M}$を，また$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=\overrightarrow{\mathrm{ON}}$となるように点$\mathrm{N}$をとる．直線$\mathrm{MN}$が$C$と交わる点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．

(1)直線$\mathrm{AP}$および直線$\mathrm{BP}$は，それぞれ$C$の接線であることを示せ．
(2)$C$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれる図形の面積は，$\ell$により二等分されることを示せ．

座標平面上に曲線$C:y=x^4-2x^2+2x$がある．直線$\ell$は$C$に異なる$2$点で接している．このとき以下の問に答えよ．ただし${(x^4)}^\prime=4x^3$および$\displaystyle \int x^4 \, dx=\frac{x^5}{5}+D$（$D$は積分定数）となることを用いてよい．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれる図形の面積を求めよ．
(3)実数$a$に対して，点$(0,\ a)$を通る$C$の接線の本数を求めよ．

方程式$x^2+y^2+2kx-4ky+10k-20=0$の表す図形$C$を考える．ただし，$k$は実数とする．次の問いに答えよ．

(1)図形$C$は円であることを示せ．
(2)図形$C$は$k$がどのような値であっても定点を通る．その定点の座標を求めよ．
(3)図形$C$で囲まれる部分の面積の最小値を求めよ．
(4)図形$C$と直線$y=x-2$の共有点の個数を求めよ．

放物線$y=x^2-2x+1$と直線$y=4$とで囲まれた図形を$D$とするとき，下の問いに答えなさい．

(1)$D$の面積$S$を求めなさい．
(2)$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めなさい．

$a,\ b$を定数とし，関数$f(x)$を
\[ f(x)=x^3+ax+b \]
と定める．また，$f(-2)=-1$，$f^\prime(-2)=9$とする．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}(-2,\ -1)$における接線を$\ell$とする．また，点$\mathrm{A}$を通らない$\ell$に平行な$y=f(x)$の接線を$m$とする．このとき，$\ell$および$m$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$m$と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．