関数$\displaystyle y=\frac{1-x^2}{1+x^2}$のグラフと$x$軸によって囲まれた部分を$A$とする．このとき，以下の空欄をうめよ．

(1)等式$\displaystyle \frac{1-x^2}{1+x^2}=a+\frac{b}{1+x^2}$が，$x$についての恒等式となるように定数$a,\ b$を定めると，$a=[イ]$，$b=[ロ]$である．
(2)$A$の面積は$[ハ]$である．
(3)$A$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積は$[ニ]$である．

座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上に，中心角$\theta$の弧$\mathrm{AB}$をとる．ただし，点$\mathrm{A}$の座標を$(1,\ 0)$，$\displaystyle 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)扇形$\mathrm{OAB}$を$x$軸の周りに$1$回転させた回転体の体積$V_1(\theta)$を求めよ．
(2)扇形$\mathrm{OAB}$を$y$軸の周りに$1$回転させた回転体の体積$V_2(\theta)$を求めよ．
(3)体積の差$V(\theta)=V_2(\theta)-V_1(\theta)$を$\theta$の関数として，そのグラフをかけ．

座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上に，中心角$\theta$の弧$\mathrm{AB}$をとる．ただし，点$\mathrm{A}$の座標を$(1,\ 0)$，$\displaystyle 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)扇形$\mathrm{OAB}$を$x$軸の周りに$1$回転させた回転体の体積$V_1(\theta)$を求めよ．
(2)扇形$\mathrm{OAB}$を$y$軸の周りに$1$回転させた回転体の体積$V_2(\theta)$を求めよ．
(3)体積の差$V(\theta)=V_2(\theta)-V_1(\theta)$を$\theta$の関数として，そのグラフをかけ．

曲線$y=e^{-x^2}$と直線$\displaystyle y=\frac{1}{e}$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

$2$つの関数を$\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}x+\sqrt{1-x^2} (-1 \leqq x \leqq 1)$，$\displaystyle g(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}x$とする．$xy$平面上に，曲線$C:y=f(x)$，直線$\ell:y=g(x)$がある．$C$と$\ell$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)$-1 \leqq x \leqq 1$のとき，不等式$|f(x)|>|g(x)|$を解け．
(3)$V$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{\sqrt{x}} (1 \leqq x \leqq 8)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の最大値，最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$，$x$軸，および直線$x=e$とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

関数$f(x)=x+2 \cos x$を$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲で考える．

(1)関数$y=f(x)$の極値と変曲点を求め，グラフの概形を描け．
(2)関数$y=f(x)$の二つの変曲点を通る直線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$と直線$\ell$とで囲まれる図形を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

$a$を正の実数とし，$p$を正の有理数とする．座標平面上の$2$つの曲線$y=ax^p (x>0)$と$y=\log x (x>0)$を考える．この$2$つの曲線の共有点が$1$点のみであるとし，その共有点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えよ．必要であれば，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^p}{\log x}=\infty$を証明なしに用いてよい．

(1)$a$および点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$p$を用いて表せ．
(2)この$2$つの曲線と$x$軸で囲まれる図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$p$を用いて表せ．
(3)$(2)$で得られる立体の体積が$2 \pi$になるときの$p$の値を求めよ．

座標平面上の点$\mathrm{P}(1,\ 1)$を中心とし，原点$\mathrm{O}$を通る円を$C_1$とする．$k$を正の定数として，曲線$\displaystyle y=\frac{k}{x} (x>0)$を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$は$2$点で交わるとし，その交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とするとき，直線$\mathrm{PQ}$は$x$軸に平行であるとする．点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$q$とし，点$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$とする．次の問いに答えよ．

(1)$k,\ q,\ r$の値を求めよ．
(2)曲線$C_2$と線分$\mathrm{OQ}$，$\mathrm{OR}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(3)$x=1+\sqrt{2} \sin \theta$とおくことにより，定積分$\displaystyle \int_r^q \sqrt{2-(x-1)^2} \, dx$の値を求めよ．
(4)円$C_1$の原点$\mathrm{O}$を含まない弧$\mathrm{QR}$と曲線$C_2$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

$2$つの関数$\displaystyle y=\sin \left( x+\frac{\pi}{8} \right)$と$y=\sin 2x$のグラフの$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分で囲まれる領域を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．