半径2の円板が$x$軸上を正の方向に滑らずに回転するとき，円板上の点Pの描く曲線$C$を考える．円板の中心の最初の位置を$(0,\ 2)$，点Pの最初の位置を$(0,\ 1)$とする．

(1)円板がその中心のまわりに回転した角を$\theta$とするとき，Pの座標は
\[ (2\theta-\sin \theta,\ 2-\cos \theta) \]
で与えられることを示せ．
(2)点P$(2\theta-\sin \theta,\ 2-\cos \theta) \ (0<\theta<2\pi)$における曲線$C$の法線と$x$軸との交点をQとする．線分PQの長さが最大となるような点Pを求めよ．ここで，Pにおいて接線に直交する直線を法線という．
(3)曲線$C$と$x$軸，2直線$x=0,\ x=4\pi$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

区間$1 \leqq x \leqq 4$で定められた関数$\displaystyle f(x)=\sqrt{4x-x^2},\ g(x)=\sqrt{x \log \frac{4}{x}}$について，次の問いに答えよ．ただし対数は自然対数とする．

(1)曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=1$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ．
(2)区間$1 \leqq x \leqq 4$において$\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2 \geqq 0$が成り立つことを示せ．
(3)2つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$と直線$x=1$で囲まれた部分を$D$とおく．$D$を$x$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積$W$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$を実数で，$a \neq 0$とする．$\displaystyle c=\frac{2+3ai}{a-bi}$が純虚数のとき，$b$と$c$の値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{2\pi} |x \cos \displaystyle\frac{x|{3}} \, dx$を求めよ．
(3)直方体の各面にさいころのように$1$から$6$までの目が書かれている．この直方体を投げて，$1,\ 6$の目が出る確率はともに$p$であり，$2,\ 3,\ 4,\ 5$の目が出る確率はいずれも$q$である．この直方体を$1$回投げて，出た目の数を得点とする．このとき，得点の期待値は$p,\ q$の値によらずに一定であることを示せ．
(4)座標平面上の曲線
\[ x=2 \cos \theta+1,\quad y=3 \sin \theta \quad (0 \leqq \theta \leqq 2\pi) \]
で囲まれた図形を$x$軸の回りに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．

$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$をとる．$\displaystyle\frac{\pi}{4} \leqq \angle\mathrm{APB} \leqq \pi$をみたす平面上の点$\mathrm{P}$の全体と点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$からなる図形を$F$とする．つぎの問に答えよ．

(1)$F$を図示せよ．
(2)$F$を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積を求めよ．

$n$を$3$以上の整数とする．$xyz$空間の平面$z=0$上に，$1$辺の長さが$4$の正$n$角形$P$があり，$P$の外接円の中心を$\mathrm{G}$とおく．半径$1$の球$B$の中心が$P$の辺に沿って$1$周するとき，$B$が通過してできる立体を$K_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$P$の隣り合う$2$つの頂点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$をとる．$\mathrm{G}$から辺$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$に下ろした垂線と$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{GQ}>1$となることを示せ．
(2)次の各問に答えよ．

(i) $K_n$を平面$z=t (-1 \leqq t \leqq 1)$で切ったときの断面積$S(t)$を$t$と$n$を用いて表せ．
(ii) $K_n$の体積$V(n)$を$n$を用いて表せ．

(3)$\mathrm{G}$を通り，平面$z=0$に垂直な直線を$\ell$とする．$K_n$を$\ell$のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$W(n)$を$n$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{V(n)}{W(n)}$を求めよ．

関数$\displaystyle y=\frac{1}{x}$のグラフの$x>0$の部分を曲線$C$とする．実数$t$は$0<t<1$をみたすものとし，$C$上に点P$\displaystyle \left(t,\ \frac{1}{t} \right)$をとる．このとき，次の問(1)～(5)に答えよ．

(1)曲線$C$上の点$\mathrm{A}(1,\ 1)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り直線$\ell$と平行な直線を$m$とし，直線$m$と曲線$C$の共有点で点$\mathrm{P}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とし，$2$つの線分$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$および曲線$C$で囲まれた部分の面積を$S$とする．面積$S$を$t$で表せ．
(4)点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線，点$\mathrm{Q}$を通り$y$軸に平行な直線，曲線$C$，および$x$軸で囲まれた部分が，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V$とする．体積$V$を$t$で表せ．
(5)$\displaystyle \lim_{t \to 1-0} \frac{S}{V}$を求めよ．

自然数$n$に対して，$3$次曲線$C_n:y=x(x-n)(x-n-1)$を考え，原点$\mathrm{O}$を通る$C_n$の接線で，接点が原点以外のものを$\ell_n$とする．また，$C_n$の原点における接線と$C_n$で囲まれる部分の面積を$S_n$とし，$\ell_n$と$C_n$で囲まれる部分の面積を$T_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\ell_n$の方程式を求めよ．
(2)$S_n,\ T_n$を求め，さらに，$\displaystyle \frac{T_n}{S_n}$を求めよ．
(3)$\ell_1$と平行な$C_1$の接線で，$\ell_1$と異なるものを$\ell^\prime$とする．$\ell^\prime$の方程式を求めよ．
(4)$\ell^\prime$は$(3)$におけるとおりとする．次の$4$直線で囲まれる部分を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．
\begin{itemize}
$\ell_1$
$\ell^\prime$
$\ell_1$が$C_1$と接する点を通り，$y$軸に平行な直線
$\ell^\prime$が$C_1$と接する点を通り，$y$軸に平行な直線
\end{itemize}

曲線$C:y=\sqrt{x}$上の点$\mathrm{P}(a,\ \sqrt{a})$における接線を$\ell$とする．曲線$C$，直線$x=a$，および$x$軸で囲まれた図形の面積が$18$であるとき，次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とし，$a>0$である．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)接線$\ell$，曲線$C$，および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

$k>0$として，座標平面上の曲線$C:y=e^{kx}$を考える．曲線$C$上の点$\mathrm{P}$を，$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell_1$が原点$\mathrm{O}$を通るようにとる．また，点$\mathrm{P}$を通リ$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とし，図のように，曲線$C$，直線$\ell_2$，$x$軸，$y$軸の$4$つで囲まれた図形を$A$とする．ただし，$e$は自然対数の底である．
（図は省略）

(1)点$\mathrm{P}$の座標と，直線$\ell_2$と$x$軸との交点の座標を求めよ．
(2)図形$A$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
(3)$k$が$k>0$を動くとき，$(2)$で求めた$V$の最小値と，それを与える$k$の値を求めよ．

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

(1)$\displaystyle 0 \leqq \alpha<\beta \leqq \frac{\pi}{2}$かつ$R>0$とする．極座標$(r,\ \theta)$に関する条件
\[ 0 \leqq r \leqq R,\quad \alpha \leqq \theta \leqq \beta \]
により定まる図形を$x$軸のまわりに回転させて得られる立体の体積を$T$とする．$T$を$\alpha,\ \beta,\ R$を用いた式で表すと
\[ T=[あ] \]
である．
(2)極方程式$r=f(\theta) (0 \leqq \theta \leqq \alpha)$で表される曲線$C$と，$\theta=\alpha$で表される直線$\ell$および$x$軸の正の部分で囲まれた図形を$S$とする．ただし$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とし，関数$f(\theta)$は連続かつ$f(\theta)>0$をみたし，$0 \leqq \theta \leqq \alpha$において増加または減少または定数とする．
$S$を$x$軸のまわりに回転させて得られる立体の体積を$V(\alpha)$とすると
\[ \frac{d}{d\alpha}V(\alpha)=[い] \]
であり，したがって
\[ V(\alpha)=[う] \]
である．また$S$を直線$\ell$のまわりに回転させて得られる立体の体積を$W(\alpha)$とすると
\[ W(\alpha)=[え] \]
である．
(3)$(2)$において$f(\theta)=\sqrt[3]{\cos \theta}$とするとき$\displaystyle V \left( \frac{\pi}{4} \right)$，$\displaystyle W \left( \frac{\pi}{4} \right)$の値を求めると
\[ V \left( \frac{\pi}{4} \right)=[お],\quad W \left( \frac{\pi}{4} \right)=[か] \]
である．