「回り」について
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私立 慶應義塾大学 2014年 第1問$1$辺の長さが$1$である正六角形の頂点を時計の針の回り方と逆回りに$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{b}$とする．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{[$1$][$2$]}{[$3$]}$，$\displaystyle (2 \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}) \cdot (3 \overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b})=\frac{[$4$][$5$]}{[$6$]}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=2s \overrightarrow{a}+(3-3s) \overrightarrow{b}$で与えられる点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ACF}$の内部に存在するような実数$s$の値の範囲は
\[ \frac{[$7$]}{[$8$]}<s<\frac{[$9$]}{[$10$]} \]
である．
(3)正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の外接円を$\mathrm{S}$とする．$\mathrm{S}$の周上の任意の点$\mathrm{Q}$に対して，ベクトル$\overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$は
\[ [$11$][$12$] \overrightarrow{q} \cdot \overrightarrow{q}+[$13$][$14$] \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{q}+2 \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{q}=0 \]
をみたす．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{[$1$][$2$]}{[$3$]}$，$\displaystyle (2 \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}) \cdot (3 \overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b})=\frac{[$4$][$5$]}{[$6$]}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=2s \overrightarrow{a}+(3-3s) \overrightarrow{b}$で与えられる点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ACF}$の内部に存在するような実数$s$の値の範囲は
\[ \frac{[$7$]}{[$8$]}<s<\frac{[$9$]}{[$10$]} \]
である．
(3)正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の外接円を$\mathrm{S}$とする．$\mathrm{S}$の周上の任意の点$\mathrm{Q}$に対して，ベクトル$\overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$は
\[ [$11$][$12$] \overrightarrow{q} \cdot \overrightarrow{q}+[$13$][$14$] \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{q}+2 \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{q}=0 \]
をみたす．
国立 熊本大学 2012年 第2問実数$c$に対して，行列
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & -c \\
c & 1
\end{array} \biggr) \]
で表される1次変換を$T$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$T$は原点の回りの回転移動と原点中心の拡大(相似変換)との合成変換であることを示せ．
(2)$xy$平面上の同一直線上にない3点P，Q，Rが$T$によってそれぞれP$^\prime$，Q$^\prime$，R$^\prime$に移るとする．三角形P$^\prime$Q$^\prime$R$^\prime$の面積が三角形PQRの面積の2倍となる$c$の値を求めよ．
(3)$c=2$とする．楕円
\[ E:\frac{x^2}{4}+y^2=1 \]
上の点が$T$によって楕円$E^\prime$上の点に移るとする．$E$が$E^\prime$の内部にあることを示し，$E^\prime$の内部にあり$E$の外部にある部分の面積を求めよ．
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & -c \\
c & 1
\end{array} \biggr) \]
で表される1次変換を$T$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$T$は原点の回りの回転移動と原点中心の拡大(相似変換)との合成変換であることを示せ．
(2)$xy$平面上の同一直線上にない3点P，Q，Rが$T$によってそれぞれP$^\prime$，Q$^\prime$，R$^\prime$に移るとする．三角形P$^\prime$Q$^\prime$R$^\prime$の面積が三角形PQRの面積の2倍となる$c$の値を求めよ．
(3)$c=2$とする．楕円
\[ E:\frac{x^2}{4}+y^2=1 \]
上の点が$T$によって楕円$E^\prime$上の点に移るとする．$E$が$E^\prime$の内部にあることを示し，$E^\prime$の内部にあり$E$の外部にある部分の面積を求めよ．
国立 愛媛大学 2012年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$a,\ b$を実数で，$a \neq 0$とする．$\displaystyle c=\frac{2+3ai}{a-bi}$が純虚数のとき，$b$と$c$の値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{2\pi} |x \cos \displaystyle\frac{x|{3}} \, dx$を求めよ．
(3)直方体の各面にさいころのように$1$から$6$までの目が書かれている．この直方体を投げて，$1,\ 6$の目が出る確率はともに$p$であり，$2,\ 3,\ 4,\ 5$の目が出る確率はいずれも$q$である．この直方体を$1$回投げて，出た目の数を得点とする．このとき，得点の期待値は$p,\ q$の値によらずに一定であることを示せ．
(4)座標平面上の曲線
\[ x=2 \cos \theta+1,\quad y=3 \sin \theta \quad (0 \leqq \theta \leqq 2\pi) \]
で囲まれた図形を$x$軸の回りに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．
(1)$a,\ b$を実数で，$a \neq 0$とする．$\displaystyle c=\frac{2+3ai}{a-bi}$が純虚数のとき，$b$と$c$の値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{2\pi} |x \cos \displaystyle\frac{x|{3}} \, dx$を求めよ．
(3)直方体の各面にさいころのように$1$から$6$までの目が書かれている．この直方体を投げて，$1,\ 6$の目が出る確率はともに$p$であり，$2,\ 3,\ 4,\ 5$の目が出る確率はいずれも$q$である．この直方体を$1$回投げて，出た目の数を得点とする．このとき，得点の期待値は$p,\ q$の値によらずに一定であることを示せ．
(4)座標平面上の曲線
\[ x=2 \cos \theta+1,\quad y=3 \sin \theta \quad (0 \leqq \theta \leqq 2\pi) \]
で囲まれた図形を$x$軸の回りに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2011年 第1問座標平面上の点$(1,\ 0)$に物体$\mathrm{A}$がある．さいころを振り，$1$から$4$の目が出たら原点から距離$1$だけ遠ざけ，$5$または$6$の目が出たときには原点のまわりに$15$度時計方向と逆回りに回転させる．物体$\mathrm{A}$が$y$軸に達するまでこれを続ける．次の問いに答えよ．
(1)物体$\mathrm{A}$が点$(0,\ n) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に達する確率$P_n$を求めよ．
(2)$P_n$を最大にする$n$を求めよ．
(1)物体$\mathrm{A}$が点$(0,\ n) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に達する確率$P_n$を求めよ．
(2)$P_n$を最大にする$n$を求めよ．
公立 福岡女子大学 2011年 第4問座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心に一定の角$\theta$で回転移動する$1$次変換を$f$とし，一定の正の数$r$で各点$(x,\ y)$を点$(rx,\ ry)$に移す相似変換を$g$とする．また，$g$と$f$の合成変換$g \circ f$を表す行列を$K(r,\ \theta)$とする．原点$\mathrm{O}$と異なる座標平面上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$に対して，点$\mathrm{Q}(c,\ d)$を次で定める：
\[ \left( \begin{array}{c}
c \\
d
\end{array} \right)=K(r,\ \theta) \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right) \]
次の問に答えなさい．
(1)$K(r,\ \theta)$を求めなさい．$r$を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表しなさい．
(2)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば，$ad-bc>0$であることを示しなさい．
(3)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{2}(ad-bc)$に等しくなる．このことを用いて，図のように，点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$を時計の針が回る方向と反対回りに順番に配置した三角形$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の面積が
\[ \frac{1}{2} \sum_{i=1}^3 (x_i-x_{i+1})(y_i+y_{i+1}) \]
に等しいことを示しなさい．ただし，$x_4=x_1$，$y_4=y_1$とする．
（図は省略）
\[ \left( \begin{array}{c}
c \\
d
\end{array} \right)=K(r,\ \theta) \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right) \]
次の問に答えなさい．
(1)$K(r,\ \theta)$を求めなさい．$r$を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表しなさい．
(2)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば，$ad-bc>0$であることを示しなさい．
(3)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{2}(ad-bc)$に等しくなる．このことを用いて，図のように，点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$を時計の針が回る方向と反対回りに順番に配置した三角形$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の面積が
\[ \frac{1}{2} \sum_{i=1}^3 (x_i-x_{i+1})(y_i+y_{i+1}) \]
に等しいことを示しなさい．ただし，$x_4=x_1$，$y_4=y_1$とする．
（図は省略）