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国立 九州工業大学 2016年 第1問四面体$\mathrm{OABC}$の面はすべて合同であり，$\mathrm{OA}=5$，$\mathrm{OB}=8$，$\mathrm{AB}=7$である．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$として，次に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$および$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の定める平面を$\alpha$とし，$\alpha$上の点$\mathrm{H}$を直線$\mathrm{CH}$と$\alpha$が垂直になるように選ぶ．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$(2)$の点$\mathrm{H}$に対して，線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V_1$を求めよ．また，辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{D}$とし，さらに辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{E}$を$\mathrm{AE}+\mathrm{ED}$が最小となるようにとる．このとき，四面体$\mathrm{OAED}$の体積$V_2$を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$および$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の定める平面を$\alpha$とし，$\alpha$上の点$\mathrm{H}$を直線$\mathrm{CH}$と$\alpha$が垂直になるように選ぶ．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$(2)$の点$\mathrm{H}$に対して，線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V_1$を求めよ．また，辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{D}$とし，さらに辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{E}$を$\mathrm{AE}+\mathrm{ED}$が最小となるようにとる．このとき，四面体$\mathrm{OAED}$の体積$V_2$を求めよ．
国立 山口大学 2016年 第4問点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$と点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$に対して，点$\mathrm{B}(b_1,\ b_2,\ 0)$と点$\mathrm{C}(c_1,\ c_2,\ c_3)$は
\[ \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COA}=\frac{3\pi}{5},\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB|}}=|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}=1 \]
を満たしているとする．$b_2>0$，$c_3>0$，また，$\displaystyle p=2 \cos \frac{\pi}{5}$とするとき，以下の問いに答えなさい．ただし，次の等式$①$を証明なしに用いてもよい．
\[ 4 \cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{\pi}{5}=1 \cdots\cdots ① \]
(1)等式$p^2=p+1$が成り立つことを示しなさい．
(2)$\displaystyle b_1=\frac{1-p}{2}$であることを示しなさい．
(3)点$\mathrm{E}(0,\ 0,\ 1)$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を実数$k,\ l,\ m$を用いて
\[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+l \overrightarrow{\mathrm{OB}}+m \overrightarrow{\mathrm{OE}} \]
と表すとき，$\displaystyle m^2=\frac{2+p}{5}$であることを示しなさい．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を$V$とする．$\displaystyle V=\frac{p}{12}$であることを示しなさい．
\[ \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COA}=\frac{3\pi}{5},\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB|}}=|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}=1 \]
を満たしているとする．$b_2>0$，$c_3>0$，また，$\displaystyle p=2 \cos \frac{\pi}{5}$とするとき，以下の問いに答えなさい．ただし，次の等式$①$を証明なしに用いてもよい．
\[ 4 \cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{\pi}{5}=1 \cdots\cdots ① \]
(1)等式$p^2=p+1$が成り立つことを示しなさい．
(2)$\displaystyle b_1=\frac{1-p}{2}$であることを示しなさい．
(3)点$\mathrm{E}(0,\ 0,\ 1)$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を実数$k,\ l,\ m$を用いて
\[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+l \overrightarrow{\mathrm{OB}}+m \overrightarrow{\mathrm{OE}} \]
と表すとき，$\displaystyle m^2=\frac{2+p}{5}$であることを示しなさい．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を$V$とする．$\displaystyle V=\frac{p}{12}$であることを示しなさい．
国立 山梨大学 2016年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおき，$|\overrightarrow{a|}=2$，$|\overrightarrow{b|}=\sqrt{3}$，$|\overrightarrow{c|}=1$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=2$，$\displaystyle \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\frac{4}{3}$，$\displaystyle \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=\frac{4}{3}$を満たすとする．点$\mathrm{C}$から平面$\mathrm{OAB}$に垂線を下ろし，平面$\mathrm{OAB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
(3)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AM}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．このとき，直線$\mathrm{CH}$と直線$\mathrm{ON}$が交わることを示せ．また，その$2$直線の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{CP}:\mathrm{PH}$を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
(3)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AM}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．このとき，直線$\mathrm{CH}$と直線$\mathrm{ON}$が交わることを示せ．また，その$2$直線の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{CP}:\mathrm{PH}$を求めよ．
国立 岩手大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$次関数$y=x^2-2ax+a+2$の最小値が負であるような定数$a$の範囲を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$チームと$\mathrm{B}$チームがサッカーの試合を$7$回行う．どの試合でも，$\mathrm{A}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\mathrm{B}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$，引き分けとなる確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$であるとして，$\mathrm{A}$チームの試合結果が$3$勝$2$敗$2$引き分けとなる確率を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$において，
$\mathrm{BC}=30$，$\mathrm{CA}=26$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{5}{13}$，
$\mathrm{OA}=18$，$\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OAC}={90}^\circ$
であるとき，辺$\mathrm{AB}$の長さおよび四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(1)$2$次関数$y=x^2-2ax+a+2$の最小値が負であるような定数$a$の範囲を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$チームと$\mathrm{B}$チームがサッカーの試合を$7$回行う．どの試合でも，$\mathrm{A}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\mathrm{B}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$，引き分けとなる確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$であるとして，$\mathrm{A}$チームの試合結果が$3$勝$2$敗$2$引き分けとなる確率を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$において，
$\mathrm{BC}=30$，$\mathrm{CA}=26$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{5}{13}$，
$\mathrm{OA}=18$，$\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OAC}={90}^\circ$
であるとき，辺$\mathrm{AB}$の長さおよび四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
国立 岩手大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$次関数$y=x^2-2ax+a+2$の最小値が負であるような定数$a$の範囲を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$チームと$\mathrm{B}$チームがサッカーの試合を$7$回行う．どの試合でも，$\mathrm{A}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\mathrm{B}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$，引き分けとなる確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$であるとして，$\mathrm{A}$チームの試合結果が$3$勝$2$敗$2$引き分けとなる確率を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$において，
$\mathrm{BC}=30$，$\mathrm{CA}=26$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{5}{13}$，
$\mathrm{OA}=18$，$\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OAC}={90}^\circ$
であるとき，辺$\mathrm{AB}$の長さおよび四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(1)$2$次関数$y=x^2-2ax+a+2$の最小値が負であるような定数$a$の範囲を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$チームと$\mathrm{B}$チームがサッカーの試合を$7$回行う．どの試合でも，$\mathrm{A}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\mathrm{B}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$，引き分けとなる確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$であるとして，$\mathrm{A}$チームの試合結果が$3$勝$2$敗$2$引き分けとなる確率を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$において，
$\mathrm{BC}=30$，$\mathrm{CA}=26$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{5}{13}$，
$\mathrm{OA}=18$，$\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OAC}={90}^\circ$
であるとき，辺$\mathrm{AB}$の長さおよび四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
国立 電気通信大学 2016年 第3問座標空間に$3$点$\mathrm{A}(-1,\ -1,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ -1,\ -2)$をとる．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，原点$\mathrm{O}$を中心として$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面を$S$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CM}}$をそれぞれ成分で表せ．
(2)$\angle \mathrm{AMC}$の大きさ$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(4)原点$\mathrm{O}$から三角形$\mathrm{ABC}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．
(5)点$\mathrm{P}$が球面$S$上を動くとき，四面体$\mathrm{ABCP}$の体積の最大値を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CM}}$をそれぞれ成分で表せ．
(2)$\angle \mathrm{AMC}$の大きさ$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(4)原点$\mathrm{O}$から三角形$\mathrm{ABC}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．
(5)点$\mathrm{P}$が球面$S$上を動くとき，四面体$\mathrm{ABCP}$の体積の最大値を求めよ．
国立 福井大学 2016年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$のどの$2$辺も互いに直交し，長さがすべて$1$である．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面上に点$\mathrm{D}$を
\[ \mathrm{OD}=1,\quad 0^\circ<\angle \mathrm{BOD}<{90}^\circ,\quad 0^\circ<\angle \mathrm{COD}<{90}^\circ \]
となるようにとり，$\angle \mathrm{BOD}=\theta$，$\cos \theta=x$とおく．線分$\mathrm{AB}$を$(x+2):x$に外分する点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{AC}$を$x:(1-x)$に内分する点を$\mathrm{F}$，三角形$\mathrm{DEF}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を，$x,\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を，$x,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{G}$が$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面上にあるような$x$の値を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$の内積の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．
\[ \mathrm{OD}=1,\quad 0^\circ<\angle \mathrm{BOD}<{90}^\circ,\quad 0^\circ<\angle \mathrm{COD}<{90}^\circ \]
となるようにとり，$\angle \mathrm{BOD}=\theta$，$\cos \theta=x$とおく．線分$\mathrm{AB}$を$(x+2):x$に外分する点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{AC}$を$x:(1-x)$に内分する点を$\mathrm{F}$，三角形$\mathrm{DEF}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を，$x,\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を，$x,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{G}$が$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面上にあるような$x$の値を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$の内積の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．
私立 同志社大学 2016年 第3問座標空間内の$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 5)$，$\mathrm{B}(5,\ 6,\ 0)$を通る直線を$\ell$とする．点$\mathrm{P}(4,\ 8,\ 13)$および直線$\ell$上の$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を頂点とする$\triangle \mathrm{PQR}$が正三角形であるとする．次の問いに答えよ．
(1)直線$\ell$に，点$\mathrm{P}$から垂線を下ろし，直線$\ell$との交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)正三角形$\triangle \mathrm{PQR}$の一辺の長さを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{PQRS}$が正四面体になるようなすべての点$\mathrm{S}$の座標を求めよ．
(1)直線$\ell$に，点$\mathrm{P}$から垂線を下ろし，直線$\ell$との交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)正三角形$\triangle \mathrm{PQR}$の一辺の長さを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{PQRS}$が正四面体になるようなすべての点$\mathrm{S}$の座標を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2016年 第5問四面体$\mathrm{OABC}$の$4$つの面はすべて合同であり，$\mathrm{OA}=\sqrt{10}$，$\mathrm{OB}=2$，$\mathrm{OC}=3$であるとする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[ニ]$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ヌ]$である．
いま，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=[ネ]$と表される．また，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$[ノ]$である．
次に，線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$，点$\mathrm{P}$から線分$\mathrm{AC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とすると，$\mathrm{PQ}$の長さは$[ハ]$である．また，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通り平面$\alpha$に垂直な平面による四面体$\mathrm{OABC}$の切り口の面積は$[ヒ]$である．
（図は省略）
いま，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=[ネ]$と表される．また，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$[ノ]$である．
次に，線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$，点$\mathrm{P}$から線分$\mathrm{AC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とすると，$\mathrm{PQ}$の長さは$[ハ]$である．また，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通り平面$\alpha$に垂直な平面による四面体$\mathrm{OABC}$の切り口の面積は$[ヒ]$である．
（図は省略）
私立 日本女子大学 2016年 第3問四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面が辺$\mathrm{AC}$と交わる点を$\mathrm{S}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$5$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{QP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$を，それぞれ$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$の式で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{QS}}=k \overrightarrow{\mathrm{QP}}+l \overrightarrow{\mathrm{QR}}$を満たす定数$k$と$l$の値，および$\mathrm{AS}:\mathrm{SC}$を求めよ．
(1)$5$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{QP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$を，それぞれ$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$の式で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{QS}}=k \overrightarrow{\mathrm{QP}}+l \overrightarrow{\mathrm{QR}}$を満たす定数$k$と$l$の値，および$\mathrm{AS}:\mathrm{SC}$を求めよ．