「四角形」について
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国立 東京海洋大学 2016年 第3問座標平面上に放物線$C:y=x^2$がある．点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$（ただし，$t>0$）における$C$の接線を$\ell$とし，$\ell$が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とする．$\mathrm{M}$を通り$\ell$と直交する直線が，$y$軸，直線$x=t$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．
(1)$\angle \mathrm{QPR}$は$\ell$により二等分されることを示せ．
(2)$\triangle \mathrm{PQR}$が正三角形になるような$t$の値を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{PQNR}$の面積を$S_1$とし，線分$\mathrm{PQ}$，$y$軸および$C$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$(2)$のとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ．
(1)$\angle \mathrm{QPR}$は$\ell$により二等分されることを示せ．
(2)$\triangle \mathrm{PQR}$が正三角形になるような$t$の値を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{PQNR}$の面積を$S_1$とし，線分$\mathrm{PQ}$，$y$軸および$C$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$(2)$のとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ．
国立 広島大学 2016年 第2問四角形$\mathrm{ABCD}$において，
\[ \angle \mathrm{DAB}=\angle \mathrm{DBC}={90}^\circ,\quad \angle \mathrm{BCD}={60}^\circ,\quad \mathrm{AB}=\mathrm{AD},\quad \mathrm{BC}=1 \]
とする．次の問いに答えよ．
(1)対角線$\mathrm{BD}$の長さの$2$乗$\mathrm{BD}^2$を求めよ．
(2)対角線$\mathrm{AC}$の長さの$2$乗$\mathrm{AC}^2$を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{BAC}=\alpha$，$\angle \mathrm{ACD}=\beta$とおくとき，$\cos^2 \alpha,\ \cos^2 \beta$を求めよ．
\[ \angle \mathrm{DAB}=\angle \mathrm{DBC}={90}^\circ,\quad \angle \mathrm{BCD}={60}^\circ,\quad \mathrm{AB}=\mathrm{AD},\quad \mathrm{BC}=1 \]
とする．次の問いに答えよ．
(1)対角線$\mathrm{BD}$の長さの$2$乗$\mathrm{BD}^2$を求めよ．
(2)対角線$\mathrm{AC}$の長さの$2$乗$\mathrm{AC}^2$を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{BAC}=\alpha$，$\angle \mathrm{ACD}=\beta$とおくとき，$\cos^2 \alpha,\ \cos^2 \beta$を求めよ．
国立 東北大学 2016年 第4問鋭角三角形$\triangle \mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$から各対辺に垂線$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BE}$，$\mathrm{CF}$を下ろす．これらの垂線は垂心$\mathrm{H}$で交わる．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)四角形$\mathrm{BCEF}$と$\mathrm{AFHE}$が円に内接することを示せ．
(2)$\angle \mathrm{ADE}=\angle \mathrm{ADF}$であることを示せ．
(1)四角形$\mathrm{BCEF}$と$\mathrm{AFHE}$が円に内接することを示せ．
(2)$\angle \mathrm{ADE}=\angle \mathrm{ADF}$であることを示せ．
国立 東北大学 2016年 第1問鋭角三角形$\triangle \mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$から各対辺に垂線$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BE}$，$\mathrm{CF}$を下ろす．これらの垂線は垂心$\mathrm{H}$で交わる．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)四角形$\mathrm{BCEF}$と$\mathrm{AFHE}$が円に内接することを示せ．
(2)$\angle \mathrm{ADE}=\angle \mathrm{ADF}$であることを示せ．
(1)四角形$\mathrm{BCEF}$と$\mathrm{AFHE}$が円に内接することを示せ．
(2)$\angle \mathrm{ADE}=\angle \mathrm{ADF}$であることを示せ．
国立 千葉大学 2016年 第4問$a$は$0<a<2$を満たす定数とする．$0 \leqq t \leqq 1$を満たす実数$t$に対して，座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(t,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ t^2)$，$\mathrm{C}(2-t,\ 2)$，$\mathrm{D}(0,\ 2-at)$を考える．このとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S(t)$が最小となるような$t$の値を求めよ．
国立 千葉大学 2016年 第5問$a$は$0<a<2$を満たす定数とする．$0 \leqq t \leqq 1$を満たす実数$t$に対して，座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(t,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ t^2)$，$\mathrm{C}(2-t,\ 2)$，$\mathrm{D}(0,\ 2-at)$を考える．このとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S(t)$が最小となるような$t$の値を求めよ．
国立 小樽商科大学 2016年 第4問曲線$\displaystyle y=-x^2+\frac{3}{2}$上の点$\mathrm{P}(x,\ y) (y \geqq 0)$から原点$\mathrm{O}$が中心で半径が$1$である円に$2$本の接線を引き，それらの接点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．四角形$\mathrm{PAOB}$の面積の最大値$M$，最小値$m$とそれらを与える点$\mathrm{P}$の座標をそれぞれ求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第3問$4$つの複素数$z_1,\ z_2,\ z_3,\ z_4$は互いに異なり，その絶対値はすべて$1$であるとする．
(1)$z_1,\ z_2,\ z_3$を頂点とする複素数平面上の三角形が正三角形のとき，$z_1+z_2+z_3=0$となることを示せ．
(2)$z_1+z_2+z_3=0$が成り立つとき，$z_1,\ z_2,\ z_3$を頂点とする複素数平面上の三角形は正三角形であることを示せ．
(3)$z_1+z_2+z_3+z_4=0$が成り立つとき，$z_1,\ z_2,\ z_3,\ z_4$を頂点とする複素数平面上の四角形は長方形であることを示せ．
(1)$z_1,\ z_2,\ z_3$を頂点とする複素数平面上の三角形が正三角形のとき，$z_1+z_2+z_3=0$となることを示せ．
(2)$z_1+z_2+z_3=0$が成り立つとき，$z_1,\ z_2,\ z_3$を頂点とする複素数平面上の三角形は正三角形であることを示せ．
(3)$z_1+z_2+z_3+z_4=0$が成り立つとき，$z_1,\ z_2,\ z_3,\ z_4$を頂点とする複素数平面上の四角形は長方形であることを示せ．
国立 千葉大学 2016年 第3問座標平面上にすべての内角が${180}^\circ$未満の四角形$\mathrm{ABCD}$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．$k$は$0 \leqq k \leqq 1$を満たす定数とする．$0$以上の実数$s,\ t,\ u$が$k+s+t+u=1$を満たしながら変わるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする．
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ．
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ．
(3)対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える．このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする．
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ．
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ．
(3)対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える．このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ．
国立 千葉大学 2016年 第4問座標平面上にすべての内角が${180}^\circ$未満の四角形$\mathrm{ABCD}$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．$k$は$0 \leqq k \leqq 1$を満たす定数とする．$0$以上の実数$s,\ t,\ u$が$k+s+t+u=1$を満たしながら変わるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする．
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ．
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ．
(3)対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える．このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする．
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ．
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ．
(3)対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える．このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ．