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産業医科大学 私立 産業医科大学 2013年 第1問
空欄にあてはまる適切な数,式,記号などを記入しなさい.

(1)$100$円,$50$円,$10$円の硬貨がそれぞれたくさんあるとする.ある品物を買うのに$2300$円かかるとき,このお金による支払い方の総数は$[ ]$である.
(2)整式$P(x)$を$x^2-4x+3$で割ったときの余りは$x+1$であり,$x^2-3x+2$で割ったときの余りは$3x-1$である.$P(x)$を$x^3-6x^2+11x-6$で割ったときの余りは$[ ]$である.
(3)数列の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{2n} (k+n)^2}{\sum_{k=1}^{2n} k^2}$の値は$[ ]$である.
(4)$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$で表される座標平面上の曲線を$C$とする.曲線$C$上の$x$座標が$s (0<s<1)$である点における接線を$\ell$とする.接線$\ell$と曲線$C$および$x$軸,$y$軸とで囲まれた部分を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積の最小値は$[ ]$である.また,そのときの$s$の値は$[ ]$である.
(5)原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ 1)$を結ぶ線分上に点$\mathrm{P}$がある.$\theta=\angle \mathrm{AOP}$とし,線分$\mathrm{OP}$の長さを$r$とするとき,$r$は$\theta$の関数として$r=f(\theta)$と表せる.このとき定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta) \, d\theta$の値は$[ ]$であり,$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta)^2 \cos \theta \, d\theta$の値は$[ ]$である.
(6)$\mathrm{A}$が$1$枚のカードを,$\mathrm{B}$が$4$枚のカードを持っている.表が出る確率と裏が出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の偏りのないコインを投げて,表が出れば$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$からカードを$1$枚もらう.裏が出れば$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$にカードを$1$枚わたす.ただし,手もとにカードがなければわたさなくてよい.この試行を$4$回くり返した後,$\mathrm{A}$の手もとに残るカードの枚数の期待値は$[ ]$である.
釧路公立大学 公立 釧路公立大学 2013年 第1問
以下の各問に答えよ.

(1)ある大学の売店では年会費を$5,000$円払えば会員となり,品物を$5 \, \%$引きで買うことができる.$1$個$380$円の品物を買うとき,何個以上買うと,会員になった方が,会員にならないよりも合計金額が安くなるか答えよ.
(2)$2$次関数$y=3x^2+6nx+12n$がある.

(i) この$2$次関数の最小値$m$を,$n$の関数で表せ.
(ii) $n$の値を変化させて,$(1)$における最小値$m$が最も大きくなるときの$n$の値と,そのときの$m$の値を求めよ.

(3)底面の半径が$6$,高さが$8$の円錐に内接する球$\mathrm{Q}$の表面積と体積を求めよ.ただし,円周率は$\pi$とする.
浜松医科大学 国立 浜松医科大学 2012年 第2問
$24$時間診療業務を休みなく行う病院において,$40$日間で$1$万個使用される医療材料$\mathrm{A}$について考える.$\mathrm{A}$の使用頻度は常に一定であり,$1$日の時間帯や曜日による変動は全くないものとする.さて,病院における在庫管理では,「品切れ」が起きないこと,「コスト」をできるだけ低くすること,この$2$つが肝要である.医療材料$\mathrm{A}$の保管費は,その保管期間に比例し,$1$個につき$10$日間で$1$円である.また,納入業者に$\mathrm{A}$を注文すれば,注文量の多少に関わらず,品物が届いた時点で$200$円の事務費がかかる.なお,担当者は$\mathrm{A}$の在庫量$y$の時間的推移を把握しており,品切れになる直前という最適のタイミングで,注文した量が届くものとする.われわれは,保管費と事務費の和$S$を最小にするような注文の仕方を求める.以下の問いに答えよ.

(1)$\mathrm{A}$の在庫は最初$1$万個あったとする.そして注文する量は毎回一定として,$x$で表す.このとき,時間$t$による在庫量$y$の変化を表すグラフを,横軸を時間の$t$軸とする座標平面上に図示せよ.(図示する際には,適当な$x$の値を自ら設定すること.)
以下,$1$回目の注文によって品物の届く時点以降の$y$の変化について考察する.
(2)周期的な$y$の変動に留意して,平均在庫量を求めよ.
(3)長期にわたる保管費,事務費の総額をそれぞれ見積もり,保管費と事務費の和$S$の「$1$日当たりの平均コスト」を求めよ.さらに,この$1$日当たりの平均コストを最小にするような$x$の値を求めよ.
安田女子大学 私立 安田女子大学 2012年 第3問
品物の分配に関する次の問いに答えよ.

(1)異なる$3$個の品物を$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$ $2$人が少なくとも$1$個の品物をもらうように分ける方法は何通りあるか求めよ.ただし,品物は$1$つも残らないように分けるものとする.
(2)異なる$7$個の品物を$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$ $3$人に,$\mathrm{A}$に$3$個,$\mathrm{B}$に$2$個,$\mathrm{C}$に$2$個分ける方法は何通りあるか求めよ.
(3)異なる$7$個の品物を$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$ $3$人が少なくとも$1$個の品物をもらうように分ける方法は何通りあるか求めよ.ただし,品物は$1$つも残らないように分けるものとする.
安田女子大学 私立 安田女子大学 2012年 第3問
品物の分配に関する次の問いに答えよ.

(1)異なる$3$個の品物を$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$ $2$人が少なくとも$1$個の品物をもらうように分ける方法は何通りあるか求めよ.ただし,品物は$1$つも残らないように分けるものとする.
(2)異なる$7$個の品物を$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$ $3$人に,$\mathrm{A}$に$3$個,$\mathrm{B}$に$2$個,$\mathrm{C}$に$2$個分ける方法は何通りあるか求めよ.
(3)異なる$7$個の品物を$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$ $3$人が少なくとも$1$個の品物をもらうように分ける方法は何通りあるか求めよ.ただし,品物は$1$つも残らないように分けるものとする.
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