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広島大学 国立 広島大学 2016年 第5問
数列
\[ x_n=2^n \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
を考える.この数列は$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64,\ 128,\ 256,\ \cdots$であるが,各項の下$1$桁をみると,$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 6,\ 2,\ 4,\ 8,\ 6,\ \cdots$となっており,$2$から循環が始まり循環の周期は$4$である.次の問いに答えよ.

(1)数列$\{x_n\}$の各項の下$2$桁は,あるところから循環する.循環が始まるところと,循環の周期を求めよ.ここで,$1$桁の数に対しては$0$を補って下$2$桁とみなすことにする.たとえば,$2$の下$2$桁は$02$とする.
(2)$4$の倍数で,$25$で割って$1$余る$2$桁の自然数$A$を求めよ.
(3)$8$の倍数で,$125$で割って$1$余る$3$桁の自然数$B$を求めよ.
(4)数列$\{x_n\}$の各項の下$3$桁は,あるところから循環する.循環が始まるところと,循環の周期を求めよ.ここで,$2^m$を$125$で割って$1$余るような最小の自然数$m$が$100$であることを用いてもよい.
浜松医科大学 国立 浜松医科大学 2012年 第2問
$24$時間診療業務を休みなく行う病院において,$40$日間で$1$万個使用される医療材料$\mathrm{A}$について考える.$\mathrm{A}$の使用頻度は常に一定であり,$1$日の時間帯や曜日による変動は全くないものとする.さて,病院における在庫管理では,「品切れ」が起きないこと,「コスト」をできるだけ低くすること,この$2$つが肝要である.医療材料$\mathrm{A}$の保管費は,その保管期間に比例し,$1$個につき$10$日間で$1$円である.また,納入業者に$\mathrm{A}$を注文すれば,注文量の多少に関わらず,品物が届いた時点で$200$円の事務費がかかる.なお,担当者は$\mathrm{A}$の在庫量$y$の時間的推移を把握しており,品切れになる直前という最適のタイミングで,注文した量が届くものとする.われわれは,保管費と事務費の和$S$を最小にするような注文の仕方を求める.以下の問いに答えよ.

(1)$\mathrm{A}$の在庫は最初$1$万個あったとする.そして注文する量は毎回一定として,$x$で表す.このとき,時間$t$による在庫量$y$の変化を表すグラフを,横軸を時間の$t$軸とする座標平面上に図示せよ.(図示する際には,適当な$x$の値を自ら設定すること.)
以下,$1$回目の注文によって品物の届く時点以降の$y$の変化について考察する.
(2)周期的な$y$の変動に留意して,平均在庫量を求めよ.
(3)長期にわたる保管費,事務費の総額をそれぞれ見積もり,保管費と事務費の和$S$の「$1$日当たりの平均コスト」を求めよ.さらに,この$1$日当たりの平均コストを最小にするような$x$の値を求めよ.
山梨大学 国立 山梨大学 2012年 第1問
次の問題文の枠内にあてはまる数あるいは数式を答えよ.

(1)関数$f(x)$が$p$を周期とする周期関数であるとは,すべての$x$で等式$[ ]$が成立することである.関数$\displaystyle g(x)=\sin^2 \left( 5x+\frac{\pi}{3} \right)$の正の最小の周期は$[ ]$である.
(2)実数$x$が$-\pi<x \leqq \pi$のとき,無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \sin^k x$が収束する条件は,$x$の値が$[ ]$以外のときであり,収束するときの無限級数の和は$[ ]$である.
(3)$\displaystyle \int_{-10}^0 \frac{1}{(x+11)(x+12)} \, dx=[ ]$であり,$\displaystyle \int_{-10}^0 \log (x+11) \, dx=[ ]$である.
(4)楕円$9x^2+4y^2+36x-40y+100=0$の$2$つの焦点のうち,$y$座標が大きい方の座標は$[ ]$である.この楕円の長軸の長さは$[ ]$である.
(5)関数$f(x)$を$f(x)=2x^2+1$とし,区間$[0,\ 1]$を$n$等分した小区間を,$\displaystyle \left[ \frac{0}{n},\ \frac{1}{n} \right]$,$\displaystyle \left[ \frac{1}{n},\ \frac{2}{n} \right]$,$\cdots$,$\displaystyle \left[ \frac{n-1}{n},\ \frac{n}{n} \right]$とする.各小区間を底辺とする$n$個の長方形の面積の総和をとる.$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において,長方形の高さとして左端での関数$f(x)$の値を用いたとき,この小区間での長方形の面積は$[ ]$となり,それらの長方形の面積の総和を$s_n$とする.また,$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において,長方形の高さとして右端での関数$f(x)$の値を用いたときの長方形の面積の総和を$S_n$とする.このとき,$S_n-s_n$は$[ ]$となる.
明治大学 私立 明治大学 2012年 第1問
次の各設問の$[1]$から$[9]$までの空欄にあてはまる数値を入れよ.

(1)関数$\displaystyle y=3 \sin \left( 2x- \frac{2}{3} \pi \right)$のグラフは$y=3 \sin 2x$のグラフを$x$軸方向に$[1]$だけ平行移動したものであり,その正で最小の周期は$[2]$である.
(2)座標平面上の$\triangle \mathrm{ABC}$において,線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{P}$の座標が$(1,\ 5)$,線分$\mathrm{AC}$を$4:1$に外分する点$\mathrm{Q}$の座標が$(3,\ -3)$,$\triangle \mathrm{ABC}$の重心の座標が$(0,\ 2)$であるとき,点$\mathrm{A}$の座標は$([3],\ [4])$である.
(3)関数$\displaystyle y=\left( \log_3 \frac{x}{9} \right)^3 + 6\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{3x} (1 \leqq x \leqq 27)$の最小値は$[5]$,最大値は$[6]$である.また,最大値$[6]$をとるときの$x$は$[7]$である.
(4)水を満たしたある容器の底に穴を開けてから$x$分後における容器内の水深を$y$メートルとすると,$y$は次式で表される.ただし,$0 \leqq x \leqq 90$とする.
\[ y = 0.9 \times 10^{-4}x^2 - 1.8\times 10^{-2} x +1 \]
$x_1$分から$x_2$分の間に,容器から出た水の量を$\int_{x_1}^{x_2} y\, dx$とする.最初の$1$分間($x_1=0,\ x_2=1$)に出た水の量に対する$5$分から$6$分の間($x_1=5,\ x_2=6$)に出た水の量の割合は約$[8] \%$である.容器内の水深$y$が,$x=0$のときの半分になるのは約$[9]$分後である.
鹿児島大学 国立 鹿児島大学 2011年 第4問
$f(x)$は数直線上の連続関数で,次の条件$(ⅰ)$と$(ⅱ)$をみたすものとする.

$(ⅰ)$ $f(x)$は周期1の周期関数,すなわち,すべての$x$で$f(x+1)=f(x)$が成り立つ.
$(ⅱ)$ $\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=0$

次の各問いに答えよ.

(1)条件$(ⅰ)$と$(ⅱ)$をみたす恒等的に$0$でない連続関数$f(x)$の例を$1$つ挙げよ.
(2)$\displaystyle F(x)=\int_0^x f(y) \, dy$とおくと,$F(x)$も周期$1$の周期関数であることを示せ.
(3)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して,$\displaystyle \frac{d}{dx}F(nx)$を$f$を用いて表せ.
(4)数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\int_0^1 xf(nx) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める.$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0$を示せ.
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