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同志社大学 私立 同志社大学 2016年 第1問
次の$[ ]$に適する数または式を記入せよ.

(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする.関数$f(\theta)=\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta$は最小値$[ア]$を$\theta=[イ]$でとる.関数$\displaystyle g(\theta)=\sqrt{3} f(\theta)-2 \cos \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right)$は最小値$[ウ]$を$\theta=[エ]$でとる.
(2)箱から玉を$1$個取り出し,この玉に$1$個の玉を新たに加えた合計$2$個の玉を箱に戻す試行を繰り返す.新たに加える玉の色は白あるいは黒のみとする.最初に,$2$個の白玉と$3$個の黒玉が入っている箱を考える.新たに加える玉の色は取り出した玉と同色とすると,$3$回目の試行において白玉を取り出す確率は$[オ]$,$n$回目の試行において白玉を取り出す確率$P_n$は$[カ]$,極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$は$[キ]$である.次に,$3$個の白玉と$4$個の黒玉が入っている箱を考える.新たに加える玉の色は取り出した玉と異なる色とすると,$3$回目の試行において白玉を取り出す確率は$[ク]$である.$n$回目の試行において白玉を取り出す確率を$Q_n$とすると,$Q_n$は漸化式$\displaystyle Q_n=[ケ]Q_{n-1}+\frac{1}{6+n} (n \geqq 2)$を満たし,極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}Q_n$は$[コ]$である.
北海道大学 国立 北海道大学 2015年 第4問
初めに赤玉$2$個と白玉$2$個が入った袋がある.その袋に対して以下の試行を繰り返す.

(i) まず同時に$2$個の玉を取り出す.
(ii) その$2$個の玉が同色であればそのまま袋に戻し,色違いであれば赤玉$2$個を袋に入れる.
(iii) 最後に白玉$1$個を袋に追加してかき混ぜ,$1$回の試行を終える.
$n$回目の試行が終わった時点での袋の中の赤玉の個数を$X_n$とする.

(1)$X_1=3$となる確率を求めよ.
(2)$X_2=3$となる確率を求めよ.
(3)$X_2=3$であったとき,$X_1=3$である条件付き確率を求めよ.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2015年 第5問
袋に赤玉が$2$個と白玉が$1$個入っている.袋から玉を$1$個取り出し玉の色を見て袋に戻す.このとき取り出した玉と同色の玉をもう$1$つ袋に加える.この操作を繰り返して行う.

(1)$n$回目の操作を終えたとき,それまでに赤玉を取り出した回数が$k$回($0 \leqq k \leqq n$)であったとする.このとき,$n+1$回目の操作で赤玉を取り出す確率を$p_n(k)$とおくと,$p_n(k)=[ナ]$となる.
(2)$n$回目の操作を終えるまでに赤玉を取り出す回数が$k$回($0 \leqq k \leqq n$)である確率を$q_n(k)$とおく.たとえば,$\displaystyle q_1(1)=\frac{2}{3}$,$q_4(2)=[ニ]$となる.$n$回の操作中$j$回目($1 \leqq j \leqq n$)だけ赤玉を取り出し,その他の操作では白玉を取り出す確率は$[ヌ]$であり,$q_n(1)=n \times [ヌ]$となる.$q_n(k)$を$n$と$k$を用いて表すと,$q_n(k)=[ネ]$となる.
(3)$n$回目の操作を終えるまでに赤玉を取り出す回数が$k$回($0 \leqq k \leqq n$)であり,$n+1$回目の操作で赤玉を取り出す確率は,$(1)$と$(2)$で定めた$p_n(k)$と$q_n(k)$を用いて$q_n(k)p_n(k)$となる.このことから,$n+1$回目に赤玉を取り出す確率を計算すると$[ノ]$となる.
(4)$f(x)=e^{-x^2}$とする.$S_n$を$(1)$と$(2)$で定めた$p_n(k)$と$q_n(k)$を用いて
\[ S_n=\sum_{k=0}^n f(p_n(k))q_n(k) \]
とおくと,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=[ハ]$となる.
昭和大学 私立 昭和大学 2015年 第1問
次の各問に答えよ.

(1)$x$の関数$f(x),\ g(x)$をそれぞれ$f(x)=-x^2+2x+2$,$g(x)=x^2+2x+a$とする.ただし,$a$は定数とする.
$(1$-$1)$ $g(x)<f(x)$を満たす実数$x$が区間$-2 \leqq x \leqq 2$に存在するような,定数$a$の値の範囲を求めよ.
$(1$-$2)$ $g(x_1)<f(x_2)$を満たす実数$x_1$および$x_2$が区間$-2 \leqq x \leqq 2$に存在するような,定数$a$の値の範囲を求めよ.
(2)白球$4$個と黒球$n$個が入った袋から同時に$2$個の球を取り出すとき,$2$個の球が同色である確率を$p_n$とする.ただし,球はすべて同じ確率で取り出されるものとする.
$(2$-$1)$ $n=3$のとき,$p_n$の値を求めよ.
$(2$-$2)$ $n \geqq 2$とする.このとき,$\displaystyle p_n \geqq \frac{1}{2}$となる整数$n$の最小値を求めよ.
(3)$0 \leqq x<2\pi$のとき,不等式$\sin x+\sqrt{3} \cos x \geqq \sqrt{2}$を解け.
(4)$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする.$6^{100}$の桁数を求めよ.
自治医科大学 私立 自治医科大学 2013年 第18問
箱の中に赤いカード$6$枚,白いカード$5$枚,黒いカード$4$枚が入っている.この箱の中から$4$枚のカードを同時に取り出すとき,$2$枚だけが同色で,残りの$2$枚はそれぞれ異なる色となる確率を$p$とする.$\displaystyle \frac{91p}{6}$の値を求めよ.
北海道文教大学 私立 北海道文教大学 2011年 第3問
白球$5$個,黒球$6$個,赤球$7$個が入っている袋から$4$個を同時に取り出すとき,すべてが同色である確率を求めなさい.
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「同色」とは・・・

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