「同士」について
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私立 立教大学 2016年 第1問次の空欄$[ア]$～$[ケ]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{2}{3}$のとき，$\sin \theta \cos \theta=[ア]$，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=[イ]$である．
(2)高さが$1$の円錐を，頂点から$a$の距離で底面に平行な面で上下$2$つに切断する．体積が$2$等分されるのは，$a=[ウ]$のときである．
(3)$\displaystyle \sum_{k=5}^{20}(2k-7)$の値は$[エ]$である．
(4)多項式$(x-1)(x-2)(x-3)$を$x-4$で割った余りを$A$，$(x-2)(x-3)(x-4)$を$x-1$で割った余りを$B$，$(x-3)(x-4)(x-1)$を$x-2$で割った余りを$C$とすると，$A+B+C=[オ]$である．
(5)定積分$\displaystyle \int_{-2}^5 |x^2-9| \, dx$の値は$[カ]$である．
(6)$5$人の大人と$3$人の子どもが，円形のテーブルの周りに座る．子ども同士が隣り合わない座り方は全部で$[キ]$通りある．ただし，回転して一致するものは同じ座り方とみなす．
(7)半透明のガラス板がある．光がガラス板$1$枚を通ると，その強さが$8$割に減る．光の強さが当初の$1$割未満となるのは，ガラス板を$[ク]$枚以上重ねたときである．ただし，必要であれば$\log_{10}2=0.3010$を用いよ．
(8)$1$周$300 \, \mathrm{m}$の池の周りを，$\mathrm{A}$は徒歩で，$\mathrm{B}$は自転車で，同じ地点から同時にスタートし，同じ方向に回る．自転車が徒歩の$5$倍の速さで進むとき，$\mathrm{B}$が池を$1$周したあと，$\mathrm{A}$を初めて追い抜く地点は，スタート地点から進行方向に$[ケ] \, \mathrm{m}$進んだ地点である．
(1)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{2}{3}$のとき，$\sin \theta \cos \theta=[ア]$，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=[イ]$である．
(2)高さが$1$の円錐を，頂点から$a$の距離で底面に平行な面で上下$2$つに切断する．体積が$2$等分されるのは，$a=[ウ]$のときである．
(3)$\displaystyle \sum_{k=5}^{20}(2k-7)$の値は$[エ]$である．
(4)多項式$(x-1)(x-2)(x-3)$を$x-4$で割った余りを$A$，$(x-2)(x-3)(x-4)$を$x-1$で割った余りを$B$，$(x-3)(x-4)(x-1)$を$x-2$で割った余りを$C$とすると，$A+B+C=[オ]$である．
(5)定積分$\displaystyle \int_{-2}^5 |x^2-9| \, dx$の値は$[カ]$である．
(6)$5$人の大人と$3$人の子どもが，円形のテーブルの周りに座る．子ども同士が隣り合わない座り方は全部で$[キ]$通りある．ただし，回転して一致するものは同じ座り方とみなす．
(7)半透明のガラス板がある．光がガラス板$1$枚を通ると，その強さが$8$割に減る．光の強さが当初の$1$割未満となるのは，ガラス板を$[ク]$枚以上重ねたときである．ただし，必要であれば$\log_{10}2=0.3010$を用いよ．
(8)$1$周$300 \, \mathrm{m}$の池の周りを，$\mathrm{A}$は徒歩で，$\mathrm{B}$は自転車で，同じ地点から同時にスタートし，同じ方向に回る．自転車が徒歩の$5$倍の速さで進むとき，$\mathrm{B}$が池を$1$周したあと，$\mathrm{A}$を初めて追い抜く地点は，スタート地点から進行方向に$[ケ] \, \mathrm{m}$進んだ地点である．
私立 沖縄国際大学 2016年 第2問以下の各問いに答えなさい．
(1)「実数」は，「実数」と「実数」に$3$つの演算（加法・減法・乗法）を行った場合，再び「実数」になる．同じように，同じ数の分類同士で$3$つの演算を行った結果が，再びその分類になるものを以下のなかからすべて選びなさい．
有理数，自然数，整数
(2)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$についてその式を因数分解した式を答えなさい．
(i) $18x^2+9x-5$
(ii) $x^3+125$
(3)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$の不等式の解を答えなさい．
(i) $|x+2|<5$
(ii) $|x+3|<2x+1$
(4)次の命題の対偶となる命題を答えなさい．
「$n+1$が偶数ならば，$n$は奇数」
(1)「実数」は，「実数」と「実数」に$3$つの演算（加法・減法・乗法）を行った場合，再び「実数」になる．同じように，同じ数の分類同士で$3$つの演算を行った結果が，再びその分類になるものを以下のなかからすべて選びなさい．
有理数，自然数，整数
(2)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$についてその式を因数分解した式を答えなさい．
(i) $18x^2+9x-5$
(ii) $x^3+125$
(3)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$の不等式の解を答えなさい．
(i) $|x+2|<5$
(ii) $|x+3|<2x+1$
(4)次の命題の対偶となる命題を答えなさい．
「$n+1$が偶数ならば，$n$は奇数」
私立 西南学院大学 2015年 第1問男子$4$人，女子$4$人の合計$8$人のメンバーがいる．以下の問に答えよ．
(1)$8$人を同性$2$人から成る$4$つのグループに分け，さらにこのグループを，先頭から男子グループ，女子グループ，男子グループ，女子グループの順に並べる方法は全部で$[アイ]$通りある．
(2)くじ引きで，男女ペアから成る$4$つのグループを作る．このときメンバーの$1$人である自分が，ある特定の異性と同じグループになる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(3)くじ引きで，$2$人ずつ$4$つのグループを作る．このとき同性同士のグループが少なくとも$1$つできる確率は$\displaystyle \frac{[オカ]}{[キク]}$である．
(1)$8$人を同性$2$人から成る$4$つのグループに分け，さらにこのグループを，先頭から男子グループ，女子グループ，男子グループ，女子グループの順に並べる方法は全部で$[アイ]$通りある．
(2)くじ引きで，男女ペアから成る$4$つのグループを作る．このときメンバーの$1$人である自分が，ある特定の異性と同じグループになる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(3)くじ引きで，$2$人ずつ$4$つのグループを作る．このとき同性同士のグループが少なくとも$1$つできる確率は$\displaystyle \frac{[オカ]}{[キク]}$である．
公立 首都大学東京 2015年 第1問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$の$5$人をいくつかの組に分ける．ただし，組同士は区別せず，どの組も$1$人以上を含んでいるとする．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)$\mathrm{A}$が$3$人の組に含まれるような分け方は何通りあるか求めなさい．
(2)$\mathrm{A}$が$2$人の組に含まれるような分け方は何通りあるか求めなさい．
(3)$5$人を組に分ける方法は全部で何通りあるか求めなさい．
(1)$\mathrm{A}$が$3$人の組に含まれるような分け方は何通りあるか求めなさい．
(2)$\mathrm{A}$が$2$人の組に含まれるような分け方は何通りあるか求めなさい．
(3)$5$人を組に分ける方法は全部で何通りあるか求めなさい．
国立 埼玉大学 2014年 第3問南北に平行に走る$5$本の同じ長さの線分が等間隔で並んでいる．西から順に，各線分の南の端点は，$A_0$，$B_0$，$C_0$，$D_0$，$E_0$であり，北の端点は，$A$，$B$，$C$，$D$，$E$である．各線分を$4$等分する点を，南から順に，$1$番地，$2$番地，$3$番地と呼ぶ．隣り合う線分の同じ番地同士を結ぶ線分を橋と呼ぶ．人は南の端点のいずれかをスタート地点として北へ向かって歩き始め，橋に出会わなければそのまま北へ向かって歩き続け，橋に出会えば橋で結ばれた隣の線分に渡ってその線分を北へ向かって歩く．必要ならこれを繰り返し，人は最終的に北の端点のゴール地点に到着する．$D$に家があるとする．$5$つの各スタート地点から家に到着することができるそれぞれの確率を，以下の場合に，求めなさい．
(1)同様に確からしく，$1$番地に$1$本の橋を置く場合
(2)同様に確からしく，たがいに独立に，$1$番地に$1$本，$2$番地に$1$本，$3$番地に$1$本の橋を置く場合
(1)同様に確からしく，$1$番地に$1$本の橋を置く場合
(2)同様に確からしく，たがいに独立に，$1$番地に$1$本，$2$番地に$1$本，$3$番地に$1$本の橋を置く場合
公立 高崎経済大学 2014年 第2問あるクラスに男子$4$名（$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$），女子$5$名（$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$），計$9$名の生徒がいる．以下の各問に答えよ．
このクラスでは，下図のように先生$1$名を含めて$10$名で$1$つの丸いテーブルを囲んで座っている．このとき，以下の並び方について答えよ．
（図は省略）
(1)先生の右隣りに男子生徒が座る並び方は何通りあるか．
(2)先生の両隣りに男子生徒が座る並び方は何通りあるか．
(3)女子生徒同士が隣り合わないように座る並び方は何通りあるか．
いま，このクラスで$4$名の発表者を選ぶことになった．このとき，以下の発表者の選び方について答えよ．
(4)生徒全員からの発表者の選び方は何通りあるか．
(5)男子生徒から$2$名かつ女子生徒から$2$名の発表者の選び方は何通りあるか．
このクラスでは，下図のように先生$1$名を含めて$10$名で$1$つの丸いテーブルを囲んで座っている．このとき，以下の並び方について答えよ．
（図は省略）
(1)先生の右隣りに男子生徒が座る並び方は何通りあるか．
(2)先生の両隣りに男子生徒が座る並び方は何通りあるか．
(3)女子生徒同士が隣り合わないように座る並び方は何通りあるか．
いま，このクラスで$4$名の発表者を選ぶことになった．このとき，以下の発表者の選び方について答えよ．
(4)生徒全員からの発表者の選び方は何通りあるか．
(5)男子生徒から$2$名かつ女子生徒から$2$名の発表者の選び方は何通りあるか．
公立 名古屋市立大学 2013年 第2問文字$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，数字$1,\ 2,\ 3$と書かれたカードをそれぞれ$1$枚ずつ，合計$6$枚を箱に入れる．箱から無作為にカードを$2$枚引いて，図のような列$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$行$1,\ 2,\ 3$とする$3 \times 3$のマス目に以下のルールに従って，石を置くか取り除く試行を行う．
（図は省略）
\begin{itemize}
引いた$2$枚のカードが文字同士，数字同士の組み合わせである場合何もしない．
引いた$2$枚のカードが文字と数字の組み合わせだった場合，もし，その文字と数字に対応するマス目に石が置かれていない場合，石を置く．もしそのマス目に石が置かれている場合，石を取り除く．
カードは試行ごとに箱に戻すとする．
\end{itemize}
例えば，下図の状態のあとカードを引いて，カードが$\mathrm{B}$，$1$の組み合わせの場合，$\mathrm{B}$列$1$行のマス目に石を置く．カードの組み合わせが$\mathrm{A}$，$2$の場合は，$\mathrm{A}$列$2$行のマス目には石が置かれているのでそれを取り除く．
（図は省略）
ただし，第$1$回目の試行を開始する前には，マス目には石は置かれていない．次の問いに答えよ．
(1)第$1$回目の試行のあと，石がマス目に置かれている確率を求めよ．
(2)第$2$回目の試行のあと，石がマス目に置かれている確率を求めよ．
(3)第$3$回目の試行のあと，マス目に置かれている石の数の期待値を求めよ．
（図は省略）
\begin{itemize}
引いた$2$枚のカードが文字同士，数字同士の組み合わせである場合何もしない．
引いた$2$枚のカードが文字と数字の組み合わせだった場合，もし，その文字と数字に対応するマス目に石が置かれていない場合，石を置く．もしそのマス目に石が置かれている場合，石を取り除く．
カードは試行ごとに箱に戻すとする．
\end{itemize}
例えば，下図の状態のあとカードを引いて，カードが$\mathrm{B}$，$1$の組み合わせの場合，$\mathrm{B}$列$1$行のマス目に石を置く．カードの組み合わせが$\mathrm{A}$，$2$の場合は，$\mathrm{A}$列$2$行のマス目には石が置かれているのでそれを取り除く．
（図は省略）
ただし，第$1$回目の試行を開始する前には，マス目には石は置かれていない．次の問いに答えよ．
(1)第$1$回目の試行のあと，石がマス目に置かれている確率を求めよ．
(2)第$2$回目の試行のあと，石がマス目に置かれている確率を求めよ．
(3)第$3$回目の試行のあと，マス目に置かれている石の数の期待値を求めよ．
私立 北海道薬科大学 2011年 第4問$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2-6x+12,\quad C_2:y=x^2+6x+8 \]
の頂点同士を結ぶ直線を$\ell$とする．
(1)$C_1$の頂点の座標は$([ア],\ [イ])$であり，$C_2$の頂点の座標は$(-[ウ],\ -[エ])$である．
(2)$\ell$の方程式は$\displaystyle y=\frac{[オ]}{[カ]}x+[キ]$となる．
(3)$C_1$と$\ell$との交点の$x$座標は$[ク]$，$\displaystyle \frac{[ケコ]}{[サ]}$，$C_2$と$\ell$との交点の$x$座標は$-[シ]$，$\displaystyle -\frac{[ス]}{[セ]}$である．$C_1$と$\ell$とで囲まれた部分の面積と，$C_2$と$\ell$とで囲まれた部分の面積との和は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タチ]}$となる．
\[ C_1:y=x^2-6x+12,\quad C_2:y=x^2+6x+8 \]
の頂点同士を結ぶ直線を$\ell$とする．
(1)$C_1$の頂点の座標は$([ア],\ [イ])$であり，$C_2$の頂点の座標は$(-[ウ],\ -[エ])$である．
(2)$\ell$の方程式は$\displaystyle y=\frac{[オ]}{[カ]}x+[キ]$となる．
(3)$C_1$と$\ell$との交点の$x$座標は$[ク]$，$\displaystyle \frac{[ケコ]}{[サ]}$，$C_2$と$\ell$との交点の$x$座標は$-[シ]$，$\displaystyle -\frac{[ス]}{[セ]}$である．$C_1$と$\ell$とで囲まれた部分の面積と，$C_2$と$\ell$とで囲まれた部分の面積との和は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タチ]}$となる．
私立 早稲田大学 2010年 第1問次の[\phantom{ア]}にあてはまる数，数式または文字等を解答用紙の所定欄に記入せよ．
(1)極限
\[ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)} \]
の値は$[ア]$である．
(2)ある囲碁大会で，$5$つの地区から男女が各$1$人ずつ選抜されて，男性$5$人と女性$5$人のそれぞれが異性を相手とする対戦を$1$回行う．その対戦組み合わせを無作為な方法で決めるとき，同じ地区同士の対戦が含まれない組み合わせが起こる確率は$[イ]$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{BQ}$と直線$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表すと$[ウ]$である．
(4)関数
\[ y= \frac{x}{\sqrt{x^2+1}+1} \]
の逆関数を表す式は$y= [エ]$で，その定義域は$[オ]$である．
(1)極限
\[ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)} \]
の値は$[ア]$である．
(2)ある囲碁大会で，$5$つの地区から男女が各$1$人ずつ選抜されて，男性$5$人と女性$5$人のそれぞれが異性を相手とする対戦を$1$回行う．その対戦組み合わせを無作為な方法で決めるとき，同じ地区同士の対戦が含まれない組み合わせが起こる確率は$[イ]$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{BQ}$と直線$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表すと$[ウ]$である．
(4)関数
\[ y= \frac{x}{\sqrt{x^2+1}+1} \]
の逆関数を表す式は$y= [エ]$で，その定義域は$[オ]$である．