$2$つの関数
\[ f(x)=\frac{2}{2x+3},\quad g(x)=\frac{2x+1}{-x+2} \]
がある．

(1)関数$g(x)$の逆関数$g^{-1}(x)$を求めよ．
(2)合成関数$g^{-1}(f(g(x)))$を求めよ．
(3)実数$c$が無理数であるとき，$f(c)$は無理数であることを証明せよ．
(4)次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ a_1=g(\sqrt{2}),\quad a_{n+1}=f(a_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)$(4)$で定められた数列$\{a_n\}$の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)初項$\log_{10}5$，公差$\log_{10}3$の等差数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．さらに，$a_n<4$をみたす最大の自然数$n$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{2x-3}{x-2}$に対し，合成関数$f(f(f(x)))$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$の値を求めよ．

次の関数を考える．

$f_1(x)=x$，$f_2(x)=x+1$，$f_3(x)=x-1$，$f_4(x)=x^2-1 (x \leqq 0)$，
$\displaystyle f_5(x)=\frac{1}{1-x}$，$\displaystyle f_6(x)=\frac{x}{1-x}$，$\displaystyle f_7(x)=\frac{x}{x+1}$，$\displaystyle f_8(x)=\sqrt{x+1}$，
$f_9(x)=-\sqrt{x+1}$

(1)${f_4}^{-1}(x)=f_{[ア]}(x)$であり，${f_6}^{-1}(x)=f_{[イ]}(x)$である．
(2)$(f_2 \circ f_3)(x)=f_{[ウ]}(x)$，$(f_3 \circ f_5)(x)=f_{[エ]}(x)$であり，
$(f_2 \circ f_{[エ]})(x)=f_{[オ]}(x)$である．
(3)合成関数$y=(f_6 \circ f_9)(x)$の定義域は$x \geqq [カキ]$であり，値域は$[クケ]<y \leqq [コ]$である．

$m$を実数とする．座標平面上で直線$y=x$に関する対称移動を表す$1$次変換を$f$とし，直線$y=mx$に関する対称移動を表す$1$次変換を$g$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$1$次変換$g$を表す行列$A$を求めよ．
(2)合成関数$g \circ f$を表す行列$B$を求めよ．
(3)$B^3=\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}
\right)$となる$m$をすべて求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle I_1=\int_0^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2+1}$とする．$x=\tan \theta$とおくことにより，$\displaystyle I_1=\frac{\pi}{3}$を示せ．
(2)(1)の$I_1$を部分積分して，$I_1$と$\displaystyle I_2=\int_0^{\sqrt{3}}\frac{dx}{(x^2+1)^2}$の関係式を導き，$I_2$の値を求めよ．
(3)$t=x+\sqrt{x^2+1}$とおくことにより，不定積分$\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$を求めよ．
(4)合成関数の微分法を用いて，関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})$の導関数を求めよ．
(5)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac{1}{\sqrt{n^2+1^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2^2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}} \right\}$を求めよ．

$2$つの関数
\[ x=g(\theta)=\frac{9}{4}\sin 2\theta, \quad y=h(x)=\log x \]
に対して，関数$g(\theta)$と関数$h(x)$の合成関数
\[ f(\theta) = h(g(\theta)) \]
を考える．ただし，対数は自然対数とする．

(1)$\displaystyle f\left( \frac{\pi}{3} \right) = -[ア]\log 2 + \frac{[イ]}{[ウ]}\log 3$である．

(2)実数$\theta_1$が$\displaystyle \sin \theta_1+\cos \theta_1 = \frac{\sqrt{82}}{8}$を満たすとき，
\[ f(\theta_1) = - [エ] \log 2 + [オ]\log 3 \]
である．
(3)$f(\theta)$の$\displaystyle\theta=\frac{\pi}{8},\ \theta=\frac{\pi}{12}$における微分係数はそれぞれ
\[ f^{\; \prime} \left( \frac{\pi}{8} \right) = [カ], \quad f^{\; \prime} \left(\frac{\pi}{12}\right) = [キ]\sqrt{[ク]} \]
となる．

$2$つの関数
\begin{eqnarray}
& & f(x)=\frac{\sin x}{1+\cos x} \quad (\text{定義域は}-\pi<x<\pi) \nonumber \\
& & g(x)=\int_0^x \frac{2}{1+t^2} \, dt \quad (\text{定義域は実数全体}) \nonumber
\end{eqnarray}
と，これらの合成関数$h(x)=g(f(x))$を考える．次の各問に答えよ．

(1)$f(x),\ g(x),\ h(x)$のそれぞれの導関数を求めよ．
(2)$h(x)$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2+\sqrt{3}}} \frac{2}{1+t^2} \, dt$の値を求めよ．

$A,\ A^\prime$をそれぞれ座標平面上の点$(\alpha \cos \theta,\ \alpha \sin \theta)$，$(-\alpha \cos \theta,\ -\alpha \sin \theta)$とし，$f$を行列
\[ \biggl( \begin{array}{cc}
r \cos \theta & -r \sin \theta \\
r \sin \theta & r \cos \theta
\end{array} \biggr) \]
の表す1次変換とする．$\displaystyle \alpha= \left( \frac{45}{4} \right)^{\frac{1}{6}},\ r=\left( \frac{10}{3} \right)^{\frac{1}{6}},\ \theta=\frac{\pi}{6}$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)2点A，A$^{\prime}$の逆変換$f^{-1}$による像を焦点とし，焦点からの距離の差が2に等しい双曲線$C_1$の方程式を求めなさい．
(2)2点A，A$^\prime$の合成関数$f \circ f$による像を焦点とし，直線$x+2y=0$を漸近線にもつ双曲線$C_2$の方程式を求めなさい．
(3)双曲線$C_1$と$C_2$により囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めなさい．

整数の値をとる整数$n$の関数$f(x),\ g(x)$を
\[ f(n)= \frac{1}{2}n(n+1),\quad g(n)=(-1)^n \]
で定め，その合成関数を$h(n)=g(f(n))$とする．さらに，1つのさいころを4回振って，出た目の数を順に$j,\ k,\ l,\ m$として$a=h(j),\ b=h(k),\ c=h(l),\ d=h(m)$とおき，関数
\[ P(x) = ax^3-3bx^2+3cx-d \]
を考える．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$n=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$に対して，$h(n)$の値を求めなさい．
(2)$P(x)$がある点で極値をとる関数になる確率を求めなさい．
(3)$P(x)$が点$(1,\ P(1))$を変曲点に持つ関数になる確率を求めなさい．
(4)$P(x)$が$P(1)=P^{\, \prime}(1)=P^{\, \prime\prime}(1)=0$を満たす関数になる確率を求めなさい．