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筑波大学 国立 筑波大学 2016年 第3問
四面体$\mathrm{OABC}$において,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく.このとき等式
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=1 \]
が成り立つとする.$t$は実数の定数で,$0<t<1$を満たすとする.線分$\mathrm{OA}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$とし,線分$\mathrm{BC}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする.また,線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とする.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$と$t$を用いて表せ.
(2)線分$\mathrm{OM}$と線分$\mathrm{BM}$の長さが等しいとき,線分$\mathrm{OB}$の長さを求めよ.
(3)$4$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が点$\mathrm{M}$を中心とする同一球面上にあるとする.このとき,$\triangle \mathrm{OAB}$と$\triangle \mathrm{OCB}$は合同であることを示せ.
九州工業大学 国立 九州工業大学 2016年 第1問
四面体$\mathrm{OABC}$の面はすべて合同であり,$\mathrm{OA}=5$,$\mathrm{OB}=8$,$\mathrm{AB}=7$である.$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$として,次に答えよ.

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$および$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ.
(2)$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の定める平面を$\alpha$とし,$\alpha$上の点$\mathrm{H}$を直線$\mathrm{CH}$と$\alpha$が垂直になるように選ぶ.$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(3)$(2)$の点$\mathrm{H}$に対して,線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ.
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V_1$を求めよ.また,辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{D}$とし,さらに辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{E}$を$\mathrm{AE}+\mathrm{ED}$が最小となるようにとる.このとき,四面体$\mathrm{OAED}$の体積$V_2$を求めよ.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2016年 第5問
四面体$\mathrm{OABC}$の$4$つの面はすべて合同であり,$\mathrm{OA}=\sqrt{10}$,$\mathrm{OB}=2$,$\mathrm{OC}=3$であるとする.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[ニ]$であり,三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ヌ]$である.

いま,$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とし,点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす.$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=[ネ]$と表される.また,四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$[ノ]$である.
次に,線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$,点$\mathrm{P}$から線分$\mathrm{AC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とすると,$\mathrm{PQ}$の長さは$[ハ]$である.また,$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$を通り平面$\alpha$に垂直な平面による四面体$\mathrm{OABC}$の切り口の面積は$[ヒ]$である.

(図は省略)
東京都市大学 私立 東京都市大学 2015年 第3問
$1$辺の長さが$1$である正$6$角形$\mathrm{ABCDEF}$がある.このとき,次の問に答えよ.

(1)点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$から選んだ$3$点を頂点とする$3$角形はいくつあるか.また,合同な$3$角形は同じと考えると何種類になるか.
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{ACD}$の面積をそれぞれ求めよ.
(3)$\triangle \mathrm{ACE}$と$\triangle \mathrm{BDF}$の共通部分の面積を求めよ.
岡山理科大学 私立 岡山理科大学 2015年 第3問
\begin{mawarikomi}{35mm}{

(図は省略)
}
正方形の紙の片面を右図のように$5$つの区画に分ける.中央の区画は正方形であり,そのまわりの$4$つの区画はそれぞれ互いに合同である.それぞれの区画を赤緑青黄黒の$5$色のうち$1$色で塗るとき,次の問いに答えよ.ただし,隣り合う区画は異なる色で塗るものとし,回転して一致するものは同じ塗り方とする.

(1)中央の区画を赤色で塗るとする.そのまわりの$4$つの区画を緑青黄黒の$4$色をすべて用いて塗り分ける方法は何通りあるか.
(2)赤緑青黄黒の$5$色をすべて用いて塗り分ける方法は何通りあるか.
(3)赤緑青黄の$4$色のうちいくつかを用いて塗り分ける方法は何通りあるか.

\end{mawarikomi}
兵庫県立大学 公立 兵庫県立大学 2014年 第5問
三辺の長さ$x,\ y,\ z$がすべて自然数であり,$x+y+z=100$,$1 \leqq x \leqq y \leqq z$を満たす三角形について考える.ただし,合同な三角形は同一視して考える.次の問に答えなさい.

(1)最大辺の長さ$z$の取り得る値の範囲を求めなさい.
(2)与えられた条件を満たす三角形のうち,最大辺の長さが$45$の三角形は何個あるか.
(3)与えられた条件を満たす三角形は全部で何個あるか.
大阪市立大学 公立 大阪市立大学 2014年 第3問
図のような三角柱$\mathrm{ABC}$-$\mathrm{DEF}$が中心$\mathrm{O}$,半径$1$の球に内接している.すなわち,三角柱の頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$はすべて,中心$\mathrm{O}$,半径$1$の球面上にある.また,三角形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{DEF}$は合同な正三角形で,四角形$\mathrm{ADEB}$,四角形$\mathrm{BEFC}$,四角形$\mathrm{CFDA}$は合同な長方形であるとする.$\angle \mathrm{AOD}=2 \alpha$,$\angle \mathrm{AOB}=2 \beta$とおく.ただし,$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$,$\displaystyle 0<\beta<\frac{\pi}{3}$とする.次の問いに答えよ.
(図は省略)

(1)$\displaystyle \frac{\sin \beta}{\cos \alpha}$の値を求めよ.
(2)三角柱$\mathrm{ABC}$-$\mathrm{DEF}$の体積$V$を$\alpha$を用いて表せ.
(3)$V$の最大値を求めよ.
名古屋市立大学 公立 名古屋市立大学 2014年 第2問
次の問いに答えよ.

(1)方程式$\log_3 (x-1)+\log_9 (x+9)-1=0$を解け.
(2)$1$辺の長さが$1$の正方形の紙から右図のように高さが$x$の合同な$4$枚の二等辺三角形を切りとって除き,四角錐の展開図を作る.その展開図を折り曲げて作られる四角錐の体積$V$が最大となる$x$と,その時の体積$V$の最大値を求めよ.
(図は省略)
京都大学 国立 京都大学 2012年 第4問
次の命題(p),(q)のそれぞれについて,正しいかどうか答えよ.正しければ証明し,正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ.

\mon[(p)] 正$n$角形の頂点から$3$点を選んで内角の$1$つが$60^\circ$である三角形を作ることができるならば,$n$は$3$の倍数である.
\mon[(q)] $\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}^\prime$において,$\mathrm{AB}=\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$,$\mathrm{BC}=\mathrm{B}^\prime \mathrm{C}^\prime$,$\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{A}^\prime$ならば,これら$2$つの三角形は合同である.
山口大学 国立 山口大学 2012年 第4問
半径1の円周上に等間隔に並んだ8個の点がある.これらの中から相異なる3個の点を同時に選び,それらを結んで三角形をつくる.このとき,次の問いに答えなさい.

(1)何種類の異なる三角形がつくられるかを答えなさい.ただし,合同な三角形は同じものとみなすことにする.
(2)面積が最大の三角形がつくられる確率と,その三角形の面積を求めなさい.
(3)つくられる三角形の面積の期待値を求めなさい.
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