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金沢工業大学 私立 金沢工業大学 2016年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$2$次方程式$x^2+3x+1=0$の$1$つの解$x$について,
\[ x+\frac{1}{x}=[アイ],\quad x^2+\frac{1}{x^2}=[ウ],\quad x^4+\frac{1}{x^4}=[エオ] \]
である.
(2)不等式$|x-3|<a$を満たす整数$x$がちょうど$5$個であるような定数$a$の範囲は$[カ]<a \leqq [キ]$である.
(3)$a,\ b$を整数とする.$a$を$13$で割ると$10$余り,$b$を$13$で割ると$7$余るとき,$a+b$,$ab$を$13$で割ると余りはそれぞれ$[ク]$,$[ケ]$である.また,$a^2b+ab^2-a-b$を$13$で割ると余りは$[コ]$である.
(4)男性$3$人と女性$3$人の$6$人を$2$人ずつ$3$組に分ける方法は$[サシ]$通りあり,そのうち各組が男女のペアになる分け方は$[ス]$通りある.
(5)$\displaystyle \tan \theta=\frac{2}{\sqrt{5}} \left( \pi<\theta <\frac{3}{2} \pi \right)$のとき,
\[ \frac{\cos \theta}{1+\cos \theta}+\frac{\sin \theta}{1+\sin \theta}=-\frac{[アイ]+[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]} \]
である.
(6)関数$y=f(x)$のグラフを$x$軸方向に$-2$だけ,$y$軸方向に$5$だけ平行移動したグラフは,関数$y=3^x$のグラフと直線$y=x$に関して対称である.このとき,もとの関数は$y=\log_{\mkakko{カ}}(x-[キ])-[ク]$である.
(7)実数$x,\ y$が$2$つの不等式$x^2+y \leqq 4$,$y \geqq 0$を満たすとき,$6x+3y$は$x=[ケ]$,$y=[コ]$のとき最大値$[サシ]$をとり,$x=[スセ]$,$y=[ソ]$のとき最小値$[タチツ]$をとる.
(8)正四面体の面にそれぞれ$1$から$4$の数字のついたさいころを$5$回投げるとき,$4$回以上数字$1$のついた面が下になる確率は$\displaystyle \frac{[テ]}{[トナ]}$である.
京都教育大学 国立 京都教育大学 2012年 第2問
次の各組の数の大小を比較せよ.

(1)$\log_2 1000,\ 10$
(2)$\log_2 100,\ 6.5$
(3)$\log_{0.5} 10,\ 3 \log_{0.5} 2$
福岡教育大学 国立 福岡教育大学 2010年 第3問
赤,青,黄$3$組のカードがある.各組は$10$枚ずつで,それぞれ$1$から$10$までの番号がひとつずつ書かれている.次の問いに答えよ.

(1)$30$枚のカードの中からカード$4$枚を取り出すとき,$2$枚だけが同じ番号で残りの$2$枚は相異なる番号である確率を求めよ.
(2)$30$枚のカードの中からカード$k$枚($4 \leqq k \leqq 10$)を取り出すとき,$2$枚だけが同じ番号で残りの$(k-2)$枚はすべて異なる番号が書かれている確率を$p(k)$とする.

(i) $\displaystyle \frac{p(k+1)}{p(k)} \ (4 \leqq k \leqq 9)$を求めよ.
(ii) $p(k) \ (4 \leqq k \leqq 10)$が最大となる$k$を求めよ.
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