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鳴門教育大学 国立 鳴門教育大学 2016年 第4問
次の問いに答えなさい.

(1)$10$進数$999$以下の自然数で,$3$進法で表したとき各位の数字が$0$または$1$であるものの個数を求めなさい.
(2)自然数$n$を$3$進法で表したとき各位の数字が$0$または$1$であるとします.このとき,$n$を$9$進法で表せば,各位の数字が$0,\ 1,\ 3,\ 4$のいずれかになることを示しなさい.
(3)$10$進数$999$以下の自然数で,$3$進法で表したとき各位の数字が$0$または$1$であり,かつ,$9$進法で表したとき各位の数字が$1$または$3$であるものの個数を求めなさい.
広島女学院大学 私立 広島女学院大学 2016年 第5問
$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を使ってできる各位の数字がすべて異なる$5$桁の整数の集合を$U$とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)集合$U$の要素の個数は$[$9$]$である.
(2)$U$の中で最も小さい整数は$[$10$]$であり,最も大きい整数は$[$11$]$である.
(3)$U$の要素で,小さい方から数えて$30$番目の整数は$[$12$]$である.
(4)$34201$は小さい方から数えて$[$13$]$番目の整数である.
大同大学 私立 大同大学 2014年 第1問
次の$[ア]$から$[ネ]$までの$[ ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ.

(1)$36+2 \sqrt{155}={(\sqrt{[ア][イ]}+\sqrt{[ウ]})}^2$であり,
\[ \frac{1}{\sqrt{36+2 \sqrt{155}}}+\frac{1}{\sqrt{36-2 \sqrt{155}}}=\frac{\sqrt{[エ][オ]}}{[カ][キ]} \]
である.
(2)放物線$y=4x^2-4kx+5k^2+19k-4$が$x$軸の負の部分および正の部分と交わるような$k$の範囲は$\displaystyle -[ク]<k<\frac{[ケ]}{[コ]}$である.この範囲で$k$が動くとき,放物線$y=4x^2-4kx+5k^2+19k-4$が切り取る$x$軸上の線分の長さの最大値は$\displaystyle \frac{[サ] \sqrt{[シ][ス]}}{[セ]}$である.
(3)$3$桁の整数で$3$の倍数は,全部で$[ソ][タ][チ]$個ある.$3$桁の整数で各位の数の和が$k$であるものの個数を$n(k)$とする(たとえば,$3$桁の整数で各位の数の和が$2$であるものは$101$,$110$,$200$の$3$個であるから,$n(2)=3$である).このとき,$n(3)=[ツ]$,$n(27)=[テ]$,$n(24)=[ト][ナ]$であり,$n(6)+n(9)+n(12)+n(15)+n(18)+n(21)=[ニ][ヌ][ネ]$である.
東京理科大学 私立 東京理科大学 2014年 第4問
$r$は$2$以上$9$以下の自然数とする.$n$を$r$以上の自然数として,次の条件を満たす$n$桁の自然数を考える.

(i) 各位の数は$1$から$r$までの数$1,\ 2,\ \cdots,\ r$のどれかである.
(ii) $1,\ 2,\ \cdots,\ r$のどの一つも必ずどこかの位に現れる.

このような自然数全体の集合を考え,この集合の要素の個数を$_r \mathrm{S}_n$とおく.また,この集合のすべての要素の和を$f_r(n)$とおく.

(1)$r=2$とする.

(i) $_2 \mathrm{S}_2=[ア]$,$_2 \mathrm{S}_3=[イ]$である.

一般に,$_2 \mathrm{S}_n={[ウ]}^n-[エ]$である.

(ii) $f_2(2)=[オ][カ]$,$f_2(3)=[キ][ク][ケ]$である.

一般に,$\displaystyle f_2(n)=\frac{[コ]}{[サ]}({[シ][ス]}^n-1) \cdot {_2 \mathrm{S}_n}$が成り立つ.

(2)$r=3$とする.

(i) $_3 \mathrm{S}_n={[セ]}^n-[ソ] \cdot {[ウ]}^n+[タ]$である.

(ii) $f_3(n)=\frac{[チ]}{[ツ]}({[シ][ス]}^n-1) \cdot {}_3 \mathrm{S}_n$が成り立つ.

(3)$r=4$とする.

(i) $_4 \mathrm{S}_n={[テ]}^n-[ト] \cdot {[セ]}^n+[ナ] \cdot {[ウ]}^n-[ニ]$である.

(ii) $f_4(n)=\frac{[ヌ]}{[ネ][ノ]}({[シ][ス]}^n-1) \cdot {}_4 \mathrm{S}_n$が成り立つ.
京都教育大学 国立 京都教育大学 2013年 第5問
百の位が$a$,十の位が$b$,一の位が$c$である$1$以上$999$以下の整数がある.ただし,この整数が$99$以下のときは百の位が$0$であるとみなし,さらに$9$以下のときは十の位も$0$であるとみなす.この整数が各位の数の和の$3$乗に等しいとき次の問に答えよ.

(1)$(a+b+c)^3-(a+b+c)$は$9$の倍数であることを証明せよ.
(2)多項式$(x+y+z)^3-(x+y+z)$を因数分解せよ.
(3)このような整数をすべて求めよ.
愛知工業大学 私立 愛知工業大学 2010年 第4問
次の$[ ]$を適当に補え.

(1)$x^2-2y^2+xy+5x+y+6$を因数分解すると$[ ]$となる.
(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
x^2-2x-3<0 \\
x^2+3x+1>0
\end{array} \right.$をみたす$x$の範囲は$[ ]$である.
(3)$x$の$2$次方程式$x^2-2ax-a^2+1=0$が実数解をもたないような実数$a$の範囲は$[ ]$である.
(4)初速$v \; \mathrm{m} \, / \, \text{秒}$で地上から真上に投げたボールの$x$秒後の高さ$y \; \mathrm{m}$は,$y=vx-5x^2$で表されるものとする.地上から真上に投げたボールが$3$秒後に最高点に達したとすると,ボールの初速は$[ ] \; \mathrm{m} \, / \, \text{秒}$であり,最高点の高さは$[ ] \; \mathrm{m}$である.
(5)$4$桁の自然数で各位の数字がすべて異なるものは全部で$[ ]$個あり,そのうち,$1234$より大きいものは全部で$[ ]$個である.
(6)平面上に半径$1$と半径$2$の円がある.共通接線がちょうど$3$本引けるとき,この$3$本の接線によって囲まれる三角形の面積は$[ ]$である.
(7)$\mathrm{A}$君は$3$校の大学を受験し,合格する確率はすべて等しく$\displaystyle \frac{1}{2}$であるという.$\mathrm{A}$君が少なくとも$1$校に合格する確率は$[ ]$である.また,合格した大学には$1$校につき$30$万円の入学金を支払うとすると,支払う入学金の期待値は$[ ]$円である.
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「各位」とは・・・

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