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私立 立教大学 2016年 第3問$6$人の学生$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$，$\mathrm{d}$，$\mathrm{e}$，$\mathrm{f}$がいて，学生は$3$つの部屋$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{Z}$のいずれかの部屋に必ず入る．それぞれの部屋の最大収容人数は，$\mathrm{X}$が$2$人，$\mathrm{Y}$が$3$人，$\mathrm{Z}$が$4$人である．$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{Z}$の部屋に入る人数を$(x,\ y,\ z)$と表す．例えば，$\mathrm{X}$に$1$人，$\mathrm{Y}$に$2$人，$\mathrm{Z}$に$3$人が入るとき，$(1,\ 2,\ 3)$と表す．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{X}$を空き部屋とし，$\mathrm{Y}$に$2$人，$\mathrm{Z}$に$4$人入るときの，学生の入り方の場合の数を求めよ．
(2)$\mathrm{X}$が空き部屋のときの，可能な$(0,\ y,\ z)$の組をすべて求めよ．また，$\mathrm{X}$が空き部屋のときの，学生の入り方の場合の数を求めよ．
(3)$\mathrm{X}$に$1$人だけが入るときの，可能な$(1,\ y,\ z)$の組をすべて求めよ．また，$\mathrm{X}$に$1$人だけが入るときの，学生の入り方の場合の数を求めよ．
(4)$\mathrm{X}$が満室になり，かつ空き部屋がないときの，可能な$(2,\ y,\ z)$の組をすべて求めよ．また，$\mathrm{X}$が満室になり，かつ空き部屋がないときの，学生の入り方の場合の数を求めよ．
(5)$\mathrm{a}$と$\mathrm{b}$が一緒の部屋にならず，かつ空き部屋があるときの，学生の入り方の場合の数を求めよ．
(1)$\mathrm{X}$を空き部屋とし，$\mathrm{Y}$に$2$人，$\mathrm{Z}$に$4$人入るときの，学生の入り方の場合の数を求めよ．
(2)$\mathrm{X}$が空き部屋のときの，可能な$(0,\ y,\ z)$の組をすべて求めよ．また，$\mathrm{X}$が空き部屋のときの，学生の入り方の場合の数を求めよ．
(3)$\mathrm{X}$に$1$人だけが入るときの，可能な$(1,\ y,\ z)$の組をすべて求めよ．また，$\mathrm{X}$に$1$人だけが入るときの，学生の入り方の場合の数を求めよ．
(4)$\mathrm{X}$が満室になり，かつ空き部屋がないときの，可能な$(2,\ y,\ z)$の組をすべて求めよ．また，$\mathrm{X}$が満室になり，かつ空き部屋がないときの，学生の入り方の場合の数を求めよ．
(5)$\mathrm{a}$と$\mathrm{b}$が一緒の部屋にならず，かつ空き部屋があるときの，学生の入り方の場合の数を求めよ．
私立 東京薬科大学 2016年 第4問$2$つの動点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は，一辺の長さが$1$の立方体の辺上を，毎秒$1$の速さで，次の規則にしたがって移動する．
\mon[$\lbrack$規則$1 \rbrack$] 最初は同じ頂点にあり，同時に移動を開始する．
\mon[$\lbrack$規則$2 \rbrack$] どの頂点からも，$1$秒で移動可能な$3$つの頂点のいずれかに確率$\displaystyle \frac{1}{3}$で移動する．
自然数$n$について，移動を開始してから$n$秒後における$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$間の距離が$\sqrt{2}$となる確率を$P_n$とする．以下の問に答えよ．
(1)$\displaystyle P_1=\frac{[ヘ]}{[ホ]},\ P_2=\frac{[マミ]}{[ムメ]}$である．
(2)$P_n$と$P_{n+1}$の関係は
\[ P_{n+1}=\frac{[モ]}{[ヤ]} P_n+\frac{[ユ]}{[ヨ]} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
である．
(3)$\displaystyle P_n=\frac{[ラ]}{[リ]} \left( 1-\frac{[ル]}{{[レ]}^n} \right) (n=1,\ 2,\ \cdots)$である．
\mon[$\lbrack$規則$1 \rbrack$] 最初は同じ頂点にあり，同時に移動を開始する．
\mon[$\lbrack$規則$2 \rbrack$] どの頂点からも，$1$秒で移動可能な$3$つの頂点のいずれかに確率$\displaystyle \frac{1}{3}$で移動する．
自然数$n$について，移動を開始してから$n$秒後における$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$間の距離が$\sqrt{2}$となる確率を$P_n$とする．以下の問に答えよ．
(1)$\displaystyle P_1=\frac{[ヘ]}{[ホ]},\ P_2=\frac{[マミ]}{[ムメ]}$である．
(2)$P_n$と$P_{n+1}$の関係は
\[ P_{n+1}=\frac{[モ]}{[ヤ]} P_n+\frac{[ユ]}{[ヨ]} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
である．
(3)$\displaystyle P_n=\frac{[ラ]}{[リ]} \left( 1-\frac{[ル]}{{[レ]}^n} \right) (n=1,\ 2,\ \cdots)$である．
私立 慶應義塾大学 2015年 第2問$a$を実数とする．絶対値を含む式$|x-a|x-a |x-a|$は，以下の$(1)$と$(2)$のように$2$通りの解釈が可能である．それぞれの解釈のもとで，方程式
\[ |x-a|x-a |x-a|=x-a \]
を考える．
(1)$|x-a|x-a |x-a|$を，絶対値$|x-a|$と$x$の積から，$a$と絶対値$|x-a|$の積を引いた値と解釈する．このとき，上の方程式の実数解を$a$を用いて小さいほうから列挙すると$x=[キ]$となる．
(2)$|x-a|x-a |x-a|$を$x-a |x-a|x-a$の絶対値であると解釈する．このとき，上の方程式の実数解の個数が$1$個となるための必要十分条件は$a \geqq [ク]$である．また，この方程式の実数解が異なる$3$つの整数となるのは$a=[ケ]$のときである．
(3)$(2)$と同じ解釈のもとで，上の方程式の実数解の個数が有限であるための必要十分条件は$a \neq [コ]$である．$a \neq [コ]$が必要条件であることの証明を書きなさい．
\[ |x-a|x-a |x-a|=x-a \]
を考える．
(1)$|x-a|x-a |x-a|$を，絶対値$|x-a|$と$x$の積から，$a$と絶対値$|x-a|$の積を引いた値と解釈する．このとき，上の方程式の実数解を$a$を用いて小さいほうから列挙すると$x=[キ]$となる．
(2)$|x-a|x-a |x-a|$を$x-a |x-a|x-a$の絶対値であると解釈する．このとき，上の方程式の実数解の個数が$1$個となるための必要十分条件は$a \geqq [ク]$である．また，この方程式の実数解が異なる$3$つの整数となるのは$a=[ケ]$のときである．
(3)$(2)$と同じ解釈のもとで，上の方程式の実数解の個数が有限であるための必要十分条件は$a \neq [コ]$である．$a \neq [コ]$が必要条件であることの証明を書きなさい．
私立 東京薬科大学 2014年 第5問$k$を正の定数として，放物線$C:y=x^2$と直線$\ell_n:y=a_nx+ka_n-{a_n}^2$を考える．$C$と$\ell_n$の共有点の個数を$a_{n+1}$として数列$\{a_n\}$を定める．ただし，以下では常に$a_1=0$とする．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．
(1)$k=1$のとき，$a_2=[と]$，$a_3=[な]$である．
(2)$k=1$のとき，$\displaystyle \sum_{n=1}^{100} a_n=[にぬ]$である．また，$C$と$\ell_n$の共有点の個数が$2$であるとき，両者で囲まれる部分の面積は$\displaystyle \frac{[ね]}{[の]}$である．
(3)数列$\{a_n\}$のとる値に$2$が一度も現れないとき，$\displaystyle k \leqq \frac{[は]}{[ひ]}$である．
(4)数列$\{a_n\}$のある番号$N$から先の項（$N$も含める）がすべて$2$になるとき，そのようなことが可能になる$N$の最小値は$[ふ]$であり，そのとき$\displaystyle k>\frac{[へ]}{[ほ]}$である．
(1)$k=1$のとき，$a_2=[と]$，$a_3=[な]$である．
(2)$k=1$のとき，$\displaystyle \sum_{n=1}^{100} a_n=[にぬ]$である．また，$C$と$\ell_n$の共有点の個数が$2$であるとき，両者で囲まれる部分の面積は$\displaystyle \frac{[ね]}{[の]}$である．
(3)数列$\{a_n\}$のとる値に$2$が一度も現れないとき，$\displaystyle k \leqq \frac{[は]}{[ひ]}$である．
(4)数列$\{a_n\}$のある番号$N$から先の項（$N$も含める）がすべて$2$になるとき，そのようなことが可能になる$N$の最小値は$[ふ]$であり，そのとき$\displaystyle k>\frac{[へ]}{[ほ]}$である．
公立 横浜市立大学 2014年 第4問$n$を$4$以上の整数とする．$1$番から$n$番までの番号がふられたボールが$1$つずつある．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)以下のような操作でボールを$1$列に並べる：
(i) $1$番のボールを適当な位置におく．
(ii) $2$番のボールを$1$番のボールの左または右に同じ確率でおく．
(iii) $3$番のボールをすでに並んでいる$2$つのボールの左または間または右に同じ確率でおく．
\mon[$\tokeishi$] 以下$n$番まで番号順に，$k$番のボールを，すでに並んでいるボールの一番左または間または一番右に同じ確率でおく，ことを繰り返す．
例えば，左から$2$番，$1$番，$3$番のボールが並んでいるとき，$4$番のボールが$2$番と$1$番の間におかれる確率は$\displaystyle \frac{1}{4}$である．
$n$番のボールをおき終えたとき，$i$番のボールが左から$j$番目に並ぶ確率は$\displaystyle \frac{1}{n}$であることを証明せよ．ただし，$i$と$j$は$1$以上，$n$以下の整数とする．
(2)$(1)$のボールの列を，（左から）番号順に並び替えるため，以下の操作を考える：
隣り合った$2$つのボールの組で，左のボールの番号が右のそれより大きなもの（入れ替え可能な組と呼ぶ）が存在するとき，そのようなボールの組を$1$つ選び，入れ替える．
入れ替え可能な組が複数あった場合に，入れ替える組をどのように選んだとしても，この操作を繰り返すことにより，すべてのボールの列は，必ず番号順の列になることを証明せよ．
(3)$(2)$の操作の回数は，入れ替える組の選び方とは無関係であることを証明せよ．
(4)$(2)$においてボールの列を番号順に並べ替えるとき，$i$番のボールを，より番号の小さいボールと入れ替える回数の期待値を$E_i$とする．このとき，
\[ \sum_{i=1}^n E_i \]
を求めよ．
(1)以下のような操作でボールを$1$列に並べる：
(i) $1$番のボールを適当な位置におく．
(ii) $2$番のボールを$1$番のボールの左または右に同じ確率でおく．
(iii) $3$番のボールをすでに並んでいる$2$つのボールの左または間または右に同じ確率でおく．
\mon[$\tokeishi$] 以下$n$番まで番号順に，$k$番のボールを，すでに並んでいるボールの一番左または間または一番右に同じ確率でおく，ことを繰り返す．
例えば，左から$2$番，$1$番，$3$番のボールが並んでいるとき，$4$番のボールが$2$番と$1$番の間におかれる確率は$\displaystyle \frac{1}{4}$である．
$n$番のボールをおき終えたとき，$i$番のボールが左から$j$番目に並ぶ確率は$\displaystyle \frac{1}{n}$であることを証明せよ．ただし，$i$と$j$は$1$以上，$n$以下の整数とする．
(2)$(1)$のボールの列を，（左から）番号順に並び替えるため，以下の操作を考える：
隣り合った$2$つのボールの組で，左のボールの番号が右のそれより大きなもの（入れ替え可能な組と呼ぶ）が存在するとき，そのようなボールの組を$1$つ選び，入れ替える．
入れ替え可能な組が複数あった場合に，入れ替える組をどのように選んだとしても，この操作を繰り返すことにより，すべてのボールの列は，必ず番号順の列になることを証明せよ．
(3)$(2)$の操作の回数は，入れ替える組の選び方とは無関係であることを証明せよ．
(4)$(2)$においてボールの列を番号順に並べ替えるとき，$i$番のボールを，より番号の小さいボールと入れ替える回数の期待値を$E_i$とする．このとき，
\[ \sum_{i=1}^n E_i \]
を求めよ．
私立 安田女子大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \left( \frac{4}{7}-\frac{7}{9} \right) \div \frac{13}{3}$を計算せよ．
(2)不等式$x \cdot |x|<x$を解け．
(3)正四面体の$4$個の頂点を，それぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$4$つの文字で表すとき，文字の配置方法は何通りあるか求めよ．ただし，正四面体を回転させてすべての文字が一致すれば，同じ配置方法とみなす．
(4)分担可能なある仕事を仕上げるのに，$\mathrm{A}$さんは$3$時間，$\mathrm{B}$さんは$4$時間，$\mathrm{C}$さんは$6$時間かかる．この仕事を$3$人で分担し，同時に行うとすると時間はどれだけかかるか求めよ．
(1)$\displaystyle \left( \frac{4}{7}-\frac{7}{9} \right) \div \frac{13}{3}$を計算せよ．
(2)不等式$x \cdot |x|<x$を解け．
(3)正四面体の$4$個の頂点を，それぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$4$つの文字で表すとき，文字の配置方法は何通りあるか求めよ．ただし，正四面体を回転させてすべての文字が一致すれば，同じ配置方法とみなす．
(4)分担可能なある仕事を仕上げるのに，$\mathrm{A}$さんは$3$時間，$\mathrm{B}$さんは$4$時間，$\mathrm{C}$さんは$6$時間かかる．この仕事を$3$人で分担し，同時に行うとすると時間はどれだけかかるか求めよ．
国立 山梨大学 2011年 第2問実数全体で定義された関数$F(x)$が次の条件$①$と$②$の両方を満たすとき「$F(x)$は性質$(\mathrm{P})$を持つ」ということにする．
$①$ すべての実数$x$について$F(x)>0$である．
$②$ $F(x)$は何度でも微分が可能で$\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}\log F(x)=\frac{1}{\{F(x)\}^2}$を満たす．
(1)$y=f(x)$が性質$(\mathrm{P})$を持つとき$y^{\prime\prime}y-(y^\prime)^2=1$，$y^{\prime\prime\prime}y-y^{\prime\prime}y^\prime=0$となること，および$\displaystyle \frac{y^{\prime\prime}}{y}$は正の定数であることを示せ．
(2)$y=f(x)$は性質$(\mathrm{P})$を持つとする．$\displaystyle \frac{y^{\prime\prime}}{y}=k^2$（$k$は正の定数）とおくとき，$k^2y^2-(y^\prime)^2=1$であることを示し，さらに$ky-y^\prime>0$および$ky+y^\prime>0$が成り立つことを示せ．
(3)$c$を実数とする．(2)のとき，関数$\displaystyle kf(c)y+\frac{1}{k}f^\prime(c)y^\prime$も性質$(\mathrm{P})$を持つことを証明せよ．ただし$①$を示すために
\[ kf(c)y+\frac{1}{k}f^\prime(c)y^\prime=f(c)(ky \mp y^\prime) \pm \frac{1}{k}y^\prime (kf(c) \pm f^\prime(c)) \quad (\text{複号同順}) \]
を利用してもよい．
$①$ すべての実数$x$について$F(x)>0$である．
$②$ $F(x)$は何度でも微分が可能で$\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}\log F(x)=\frac{1}{\{F(x)\}^2}$を満たす．
(1)$y=f(x)$が性質$(\mathrm{P})$を持つとき$y^{\prime\prime}y-(y^\prime)^2=1$，$y^{\prime\prime\prime}y-y^{\prime\prime}y^\prime=0$となること，および$\displaystyle \frac{y^{\prime\prime}}{y}$は正の定数であることを示せ．
(2)$y=f(x)$は性質$(\mathrm{P})$を持つとする．$\displaystyle \frac{y^{\prime\prime}}{y}=k^2$（$k$は正の定数）とおくとき，$k^2y^2-(y^\prime)^2=1$であることを示し，さらに$ky-y^\prime>0$および$ky+y^\prime>0$が成り立つことを示せ．
(3)$c$を実数とする．(2)のとき，関数$\displaystyle kf(c)y+\frac{1}{k}f^\prime(c)y^\prime$も性質$(\mathrm{P})$を持つことを証明せよ．ただし$①$を示すために
\[ kf(c)y+\frac{1}{k}f^\prime(c)y^\prime=f(c)(ky \mp y^\prime) \pm \frac{1}{k}y^\prime (kf(c) \pm f^\prime(c)) \quad (\text{複号同順}) \]
を利用してもよい．
私立 明治大学 2011年 第1問長方形$\mathrm{ABCD}$は，各辺の長さが整数で，面積が$1728$である．また$\mathrm{AB}<\mathrm{BC}$であるとする．下記の空欄内の各文字に当てはまる数字を答えよ．
(1)長方形$\mathrm{ABCD}$は$[ア][イ]$通り存在する．
(2)可能な長方形について$\mathrm{AB}+\mathrm{BC}$の総和は$\kakkofour{ウ}{エ}{オ}{カ}$となる．
(3)辺$\mathrm{AB}$の長さの最大値は$[キ][ク]$である．
(1)長方形$\mathrm{ABCD}$は$[ア][イ]$通り存在する．
(2)可能な長方形について$\mathrm{AB}+\mathrm{BC}$の総和は$\kakkofour{ウ}{エ}{オ}{カ}$となる．
(3)辺$\mathrm{AB}$の長さの最大値は$[キ][ク]$である．
国立 信州大学 2010年 第2問10個の文字$a,\ a,\ a,\ b,\ b,\ c,\ c,\ d,\ e,\ f$から4個の文字を選び，1列に並べて文字列を作成する．
(1)同じ文字を3個含む文字列の総数を求めよ．
(2)文字がすべて異なる文字列の総数を求めよ．
(3)作成可能な文字列の総数を求めよ．
(1)同じ文字を3個含む文字列の総数を求めよ．
(2)文字がすべて異なる文字列の総数を求めよ．
(3)作成可能な文字列の総数を求めよ．
国立 大阪大学 2010年 第5問$n$を$0$以上の整数とする．立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$の頂点を，以下のように移動する$2$つの動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を考える．時刻$0$には$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$に位置し，$\mathrm{Q}$は頂点$\mathrm{C}$に位置している．時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置していれば，時刻$n+1$には，$\mathrm{P}$は時刻$n$に位置していた頂点から，それに隣接する$3$頂点のいずれかに等しい確率で移り，$\mathrm{Q}$も時刻$n$に位置していた頂点から，それに隣接する$3$頂点のいずれかに等しい確率で移る．一方，時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が同じ頂点に位置していれば，時刻$n+1$には$\mathrm{P}$も$\mathrm{Q}$も時刻$n$の位置からは移動しない．
(1)時刻$1$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置するとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$はどの頂点にあるか．可能な組み合わせをすべて挙げよ．
(2)時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置する確率$r_n$を求めよ．
(3)時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$がともに上面$\mathrm{ABCD}$の異なる頂点に位置するか，またはともに下面$\mathrm{EFGH}$の異なる頂点に位置するかのいずれかである確率を$p_n$とする．また， 時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$のいずれか一方が上面$\mathrm{ABCD}$，他方が下面$\mathrm{EFGH}$にある確率を$q_n$とする．$p_{n+1}$を，$p_n$と$q_n$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{q_n}{p_n}$を求めよ．
（図は省略）
(1)時刻$1$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置するとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$はどの頂点にあるか．可能な組み合わせをすべて挙げよ．
(2)時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置する確率$r_n$を求めよ．
(3)時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$がともに上面$\mathrm{ABCD}$の異なる頂点に位置するか，またはともに下面$\mathrm{EFGH}$の異なる頂点に位置するかのいずれかである確率を$p_n$とする．また， 時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$のいずれか一方が上面$\mathrm{ABCD}$，他方が下面$\mathrm{EFGH}$にある確率を$q_n$とする．$p_{n+1}$を，$p_n$と$q_n$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{q_n}{p_n}$を求めよ．
（図は省略）