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横浜市立大学 公立 横浜市立大学 2016年 第3問
関数$y=\tan x$は,区間$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$で単調増加である.したがって,この区間で逆関数を作ることが出来る.それを
\[ y=\phi(x) \quad (-\infty<x<\infty) \]
と書く(この逆関数を$\mathrm{Arctan} \ x$と書く参考書もある).正確を期すために,$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\phi(x)<\frac{\pi}{2}$としておく.以下の問いに答えよ.ただし,「$-\infty<x<\infty$」は「$x$は実数」という意味である.

(1)関数$f(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{4 \sqrt{2}} \log \frac{x^2+\sqrt{2}x+1}{x^2-\sqrt{2}x+1}+\frac{1}{2 \sqrt{2}} \left\{ \phi(\sqrt{2}x+1)+\phi(\sqrt{2}x-1) \right\} \]
とおく.$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ.
(2)積分
\[ \int_0^1 \frac{1}{x^4+1} \, dx \]
を求めたい.正確な値は求められないので,以下のようにする.即ち,関数$G(x)$で
\[ \int_0^1 \frac{1}{x^4+1} \, dx=G(\sqrt{2}+1) \]
となる関数を求めよ.
(3)積分の等式
\[ \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^4 x} \, dx=\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos^4 x} \, dx \]
を示せ.
(4)積分
\[ \int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos^4 x} \, dx \]
を求めよ.
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