座標平面上に$2$つの放物線$C_1:y=x^2$と$C_2:y=-x^2+4x+6$がある．$2$つの放物線$C_1$と$C_2$の交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．ただし，$\mathrm{P}$の$x$座標の値は$\mathrm{Q}$の$x$座標の値よりも小さいものとする．また，放物線$C_2$の頂点を$\mathrm{R}$とし，原点を$\mathrm{O}$とする．このとき，次の問(1)～(3)に答えよ．

(1)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{OR}$と，$2$つの放物線$C_1$，$C_2$とで囲まれる部分のうち，点$\mathrm{P}$を含む部分の面積を$S$とする．$S$を求めよ．
(3)線分$\mathrm{OR}$の中点を$\mathrm{M}$とする．線分$\mathrm{OM}$と線分$\mathrm{MQ}$と$C_1$とで囲まれる部分の面積を$T$とする．$T$を求めよ．

関数$\displaystyle y=\frac{1}{x}$のグラフの$x>0$の部分を曲線$C$とする．実数$t$は$0<t<1$をみたすものとし，$C$上に点P$\displaystyle \left(t,\ \frac{1}{t} \right)$をとる．このとき，次の問(1)～(5)に答えよ．

(1)曲線$C$上の点$\mathrm{A}(1,\ 1)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り直線$\ell$と平行な直線を$m$とし，直線$m$と曲線$C$の共有点で点$\mathrm{P}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とし，$2$つの線分$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$および曲線$C$で囲まれた部分の面積を$S$とする．面積$S$を$t$で表せ．
(4)点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線，点$\mathrm{Q}$を通り$y$軸に平行な直線，曲線$C$，および$x$軸で囲まれた部分が，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V$とする．体積$V$を$t$で表せ．
(5)$\displaystyle \lim_{t \to 1-0} \frac{S}{V}$を求めよ．

Aは$2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8$と書かれた札を，Bは$2,\ 4,\ 6,\ 8$と書かれた札を手元に持ち，札の数字が書かれた面$(\text{表})$はふせられた状態である．両者は札をよくかき混ぜた後$n$枚の札を引き，表にして数字を比べる．ただし，$n=1$のときは数字の大きい方が勝ちで，両者の数字が等しいときは引き分けとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$n=1$とする．

(2)引き分けとなる確率を求めよ．
(3)勝った者は自分が引いた札の数字が得点となり，その他の場合はそれぞれの得点が0となるとき，Aの得点の期待値を求めよ．

(4)$n=2$とする．Aの札の数字の合計と，Bの札の数字の合計が等しくなる確率を求めよ．
(5)$n=1$とする．数直線上にある点Pを，Aが勝ったときは正の方向に2だけ，Bが勝ったときは負の方向に1だけ動かす．ただし，引き分けのときは動かさない．こうした試行を4回繰り返すとき，最初に原点にあった点Pが4回の試行後に原点に位置する確率を求めよ．なお，AとBが引いた札は，試行が終わるごとに各々の手元に戻し，よくかき混ぜて次の試行を行うものとする．

次の問いに答えよ．

(1)$1$から$9$までの番号が書かれた$9$個のポールが袋に入っている．この袋の中から$1$個のボールを取り出し，その番号を確認してからもとに戻す試行を考える．

(i) この試行を$3$回行ったとき，同じ番号のボールを少なくとも$2$回取り出す確率は$\displaystyle\frac{[ア][イ]}{[ウ][エ]}$である．

(ii) この試行を$2$回行ったとき，取り出したボールの番号の差が$1$以下となる確率は$\displaystyle\frac{[オ][カ]}{[キ][ク]}$である．

(2)$t$を$t>1$をみたす実数とし，$xy$平面上で次の方程式で表される$3$直線$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を考える．
\[ \begin{array}{l}
\ell_1:tx-y=0 \\
\ell_2:x-ty-t^2=0 \\
\ell_3:x+ty-t^2=0
\end{array} \]
$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$で囲まれる三角形の面積を$S(t)$とし，この三角形の$x$軸の上側の部分の面積を$S_1(t)$，$x$軸の下側の部分の面積を$S_2(t)$とする．

(i) $S_2(t)=2S_1(t)$となる$t$の値は$t=\sqrt{[ケ]}$である．
(ii) $\displaystyle S(t)=\frac{t^{[コ]}}{t^{[サ]}-[シ]}$であり，$S(t)$を$t$で微分して符号を調べることにより，$S(t)$は$\displaystyle t=\left( \frac{[ス]}{[セ]} \right)^{\frac{[ソ]}{[タ]}}$で最小値をとることがわかり，最小値は
\[ \frac{7}{[チ]} \left( \frac{[ツ]}{[テ]} \right)^{\frac{[ト]}{[ナ]}} \]
となる．

(3)$p$を実数とし，方程式$\displaystyle x^3-px^2-\frac{13}{4}x+\frac{15}{8}=0$は$3$つの実数解$a,\ b,\ c (a>b>c)$をもつとする．$a+c=2b$をみたすとき，
\[ a=\frac{[ニ]}{[ヌ]},\quad b=\frac{[ネ]}{[ノ]},\quad c=\frac{[ハ]}{[ヒ]},\quad p=\frac{[フ]}{[ヘ]} \]
である．
(4)$\mathrm{O}$を原点とする空間内に$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=3 \]
であり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のどの$2$つのなす角も$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとする．$\mathrm{G}$を$\triangle \mathrm{ABC}$の重心とし，$\mathrm{M}$を$\mathrm{AB}$の中点，$\mathrm{N}$を$\mathrm{BC}$の中点，$\mathrm{L}$を$\mathrm{MN}$の中点とする．このとき，
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OG}}|=\frac{[ホ]}{[マ]},\quad |\overrightarrow{\mathrm{GL}}|=\frac{\sqrt{[ミ][ム]}}{[メ][モ]} \]
である．

自然数$n$に対して，$3$次曲線$C_n:y=x(x-n)(x-n-1)$を考え，原点$\mathrm{O}$を通る$C_n$の接線で，接点が原点以外のものを$\ell_n$とする．また，$C_n$の原点における接線と$C_n$で囲まれる部分の面積を$S_n$とし，$\ell_n$と$C_n$で囲まれる部分の面積を$T_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\ell_n$の方程式を求めよ．
(2)$S_n,\ T_n$を求め，さらに，$\displaystyle \frac{T_n}{S_n}$を求めよ．
(3)$\ell_1$と平行な$C_1$の接線で，$\ell_1$と異なるものを$\ell^\prime$とする．$\ell^\prime$の方程式を求めよ．
(4)$\ell^\prime$は$(3)$におけるとおりとする．次の$4$直線で囲まれる部分を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．
\begin{itemize}
$\ell_1$
$\ell^\prime$
$\ell_1$が$C_1$と接する点を通り，$y$軸に平行な直線
$\ell^\prime$が$C_1$と接する点を通り，$y$軸に平行な直線
\end{itemize}

次の空欄ア～ケに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$(x-2y)^8$の展開式における$x^5y^3$の係数は[ア]である．
(2)$\displaystyle \int_0^2 (x^2-ax+2)\, dx=0$の等式を満たす定数$a$の値は[イ]である．
(3)$1$から$200$までの整数で，$3$および$7$のいずれでも割りきれない数の個数は[ウ]個である．
(4)方程式$5x+3y+z=15$を満たす自然数$x,\ y,\ z$の組の個数は[エ]個である．
(5)原点$\mathrm{O}$から出発して数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$は，サイコロを振って偶数の目が出るとその目の数に$+3$をかけた数だけ移動し，奇数の目が出るとその目の数に$-2$をかけた数だけ移動する．このサイコロを$1$回振るときの点$\mathrm{P}$の数直線上の位置の期待値は[オ]である．
(6)$a=\log_2 5,\ b=\log_2 9$とおく．$\log_4 150$を$a,\ b$を用いて表すと[カ]である．
(7)複素数$z$が$\displaystyle z=\frac{a}{1-3i}+\frac{bi}{1+3i}$で与えられたとき，$z=4i$となるような実数$a,\ b$を求めると，$a=[キ],\ b=[ク]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(8)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に長さが等しいベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(2,\ 6)$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとき，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は[ケ]である．ただし，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$2$より小さいとする．

円$C:x^2+y^2+2x-6y+k=0$について考える．原点$\mathrm{O}$から$C$に引いた$2$本の接線が直交するとき，$k$の値を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間の$4$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{D}(1,\ 1,\ -2)$について，次の各問いに答えよ．また，$0<m<1$とする．

(1)$\mathrm{AB}$を$m:(1-m)$に内分する点を$\mathrm{P}_m$とし，$\mathrm{OP}_m$を$m:1$に内分する点を$\mathrm{Q}_m$とする．このとき，$\mathrm{Q}_{\frac{1}{5}}$の座標は，$\displaystyle \left( \frac{[ラ]}{[リ][ル]},\ \frac{[レ]}{[ロ][ワ]},\ [ヲ] \right)$である．

(2)$\mathrm{OC}$を$m:1$に内分する点を$\mathrm{R}_m$，$\mathrm{AD}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{R}_m \mathrm{M}$を$m:(1-m)$に内分する点を$\mathrm{S}_m$とすると，$\mathrm{S}_{\frac{1}{2}}$の座標は，$\displaystyle \left( \frac{[ン][あ]}{[い][う]},\ \frac{[え]}{[お][か]},\ \frac{[き]}{[く]} \right)$である．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{CQ}_m}$と$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$について，
\[ \overrightarrow{\mathrm{CQ}_m} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\frac{1}{m+1}(-[け]m^2+[こ]m-[さ]) \]
である．したがって，この$2$つのベクトルは垂直にはなりえない．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{CQ}_m}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直となるような$m$の値は，$\displaystyle m=\frac{[し]}{[す]}$である．

(5)$\displaystyle \frac{m+1}{m} \times \mathrm{Q}_m \mathrm{S}_m$が最小となるのは$\displaystyle m=\frac{[せ][そ]}{[た][ち]}$のときであり，その最小値は$\displaystyle \sqrt{\frac{[つ][て]}{[と][な]}}$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)関数$f(\theta)=\sin^2 \theta-\sqrt{3} \cos \theta+2 (0 \leqq \theta \leqq \pi)$は，$\theta=[ア]$で最大値$[イ]$をとる．
(2)実数$x,\ y$が$2x+3y+1=0$を満たすとき，$4^x+8^y$は$x=[ウ]$で最小値$[エ]$をとる．
(3)実数$a$に対して，$3$次方程式$9x^3-3x^2+ax-1=0$の$1$つの解が$\displaystyle \frac{1}{3}$のとき，$a=[オ]$である．また，この方程式の$\displaystyle \frac{1}{3}$以外の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \alpha^{18}+\beta^{18}=\frac{[カ]}{3^9}$である．
(4)平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$と，点$(3,\ 0)$を通る傾き$m$の直線$\ell$がある．$\ell$と$C$が異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わるとき，$m$の範囲は$[キ]$である．また，線分$\mathrm{AB}$の長さが$\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{5}$のとき，$m=[ク]$である．
(5)$a$を$0$でない実数とする．関数$f(x)=a(x^3-3x^2+a)$の極小値が$1$であり，極大値が$7$より大きいとき，$a=[ケ]$で，その極大値は$[コ]$である．

放物線$C:y=x^2-kx (k>0)$と直線$\ell:y=3x$がある．$C$と$\ell$の交点で原点$\mathrm{O}$以外の点を$\mathrm{A}$とする．$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1$，$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．

(1)$\mathrm{A}$の座標を$k$で表せ．
(2)$S_1$を$k$で表せ．
(3)$\mathrm{A}$を通り$x$軸に垂直な直線と，$x$軸および$C$で囲まれた部分の面積を$S_3$とする．$S_3$を$k$で表せ．
(4)$(3)$の$S_3$と$S_2$が等しいとき，$k$の値を求めよ．