点$\mathrm{A}(1,\ 0)$および点$\displaystyle \mathrm{P}(\sqrt{3} \cos \theta,\ \sqrt{3} \sin \theta) \left( 0<\theta<\frac{\pi}{4} \right)$がある．$x$軸に関して点$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}$とし，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}$を通る直線を$\ell$，$2$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とする．次に答えよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点を表す．

(1)$\sqrt{3} \cos \theta>1$を示せ．
(2)直線$\ell$の方程式と直線$m$の方程式を$\theta$を用いて表せ．
(3)直線$\ell$と直線$m$の交点$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(4)三角形$\mathrm{PAQ}$の面積を$S$とする．$\theta$が変化するとき，$S$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．
(5)$\theta$が$(4)$で求めた値をとるとき，$2$直線$\ell,\ m$および曲線$x^2+y^2=3 (x \geqq \sqrt{3} \cos \theta)$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)放物線$y=x^2-x$の頂点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{Q}$はこの放物線上の点であり，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$とも点$\mathrm{P}$とも異なるとする．$\angle \mathrm{OPQ}$が直角であるとき，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)関数$f(x)$は以下の条件（イ），（ロ），（ハ）を満たす．そのような正の数$a$の値と$f(x)$を求めよ．

（イ）$f^\prime(x)=x^2+ax$
（ロ）$f(0)=-1$
（ハ）$f(x)$の極大値と極小値の差が$\displaystyle \frac{4}{81}$

(3)方程式$2(\log_2 x)^2-7 |\log_2 x|-4=0$を解け．
(4)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき，不等式$\sin 3x+\sin 2x<\sin x$を解け．

空間において，$3$点$\mathrm{A}(5,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(4,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 5)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$がある．以下の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線を下し，平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\ell \overrightarrow{\mathrm{AB}}+m \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおくとき，実数$\ell,\ m$の値を求めよ．
(4) 直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{M}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=k \overrightarrow{\mathrm{AM}}$とおくとき，実数$k$の値と三角形$\mathrm{HBC}$の面積$T$を求めよ．
(5)原点$\mathrm{O}$を頂点，四角形$\mathrm{ABHC}$を底面とする四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABHC}$の体積$V$を求めよ．

$b>0$，$a=2 \sqrt{3}b$とし，原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の楕円$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$を$E$とする．楕円$E$上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$の媒介変数表示は$x=a \cos \theta$，$y=b \sin \theta (0 \leqq \theta<2\pi)$で与えられる．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$で楕円$E$と共通の接線をもつ円を考える．このような円のうち，不等式$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \geqq 1$の表す領域内にある円を$C$とする．円$C$の半径を$r(\theta)$とするとき，$C$の中心を$\theta$と$r(\theta)$を用いて表せ．
(2)$2d=11b$とし，$4$つの頂点が$(d,\ d)$，$(-d,\ d)$，$(-d,\ -d)$，$(d,\ -d)$である正方形$F$を考える．点$\mathrm{P}$が楕円$E$上を動くとき，$(1)$の円$C$の中心は正方形$F$の周上を動くとする．このとき，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$に対して，$C$の半径$r(\theta)$を求めよ．
(3)$(2)$の$r(\theta)$の$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$における最大値は$\displaystyle \frac{5 \sqrt{5}}{2}b$であることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$2$次方程式$t^2+5t+2=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2+\beta^2$の値を求めよ．
(2)$u,\ v$を実数とする．$2$次方程式$t^2-ut+v=0$が実数解をもつとき，点$(u,\ v)$の存在範囲を図示せよ．
(3)平面上の点$(a,\ b)$が原点を中心とする半径$1$の円の内部を動くとき，点$(a+b,\ ab)$の動いてできる領域を図示せよ．

座標空間に原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(2 \sqrt{3},\ 0,\ 2)$，$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 2 \sqrt{3},\ 1)$がある．次の問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{OAB}$は正三角形であることを示せ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$が正四面体となるような点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$2$次方程式$t^2+5t+2=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2+\beta^2$の値を求めよ．
(2)$u,\ v$を実数とする．$2$次方程式$t^2-ut+v=0$が実数解をもつとき，点$(u,\ v)$の存在範囲を図示せよ．
(3)平面上の点$(a,\ b)$が原点を中心とする半径$1$の円の内部を動くとき，点$(a+b,\ ab)$の動いてできる領域を図示せよ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$をとり，$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の第$1$象限にある部分を$C$とする．$3$点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$，$\mathrm{R}$は$C$の周上にあり，$2y_1=y_2$および$\angle \mathrm{AOP}=4 \angle \mathrm{AOR}$を満たすものとする．直線$\mathrm{OQ}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{Q}^\prime$，直線$\mathrm{OR}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{R}^\prime$とする．$\angle \mathrm{AOP}=\theta$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}^\prime$と点$\mathrm{R}^\prime$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{BR}^\prime}{\mathrm{BQ}^\prime}$の極限を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$であることは用いてよい．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$をとり，$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の第$1$象限にある部分を$C$とする．$3$点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$，$\mathrm{R}$は$C$の周上にあり，$2y_1=y_2$および$\angle \mathrm{AOP}=4 \angle \mathrm{AOR}$を満たすものとする．直線$\mathrm{OQ}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{Q}^\prime$，直線$\mathrm{OR}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{R}^\prime$とする．$\angle \mathrm{AOP}=\theta$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}^\prime$と点$\mathrm{R}^\prime$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{BR}^\prime}{\mathrm{BQ}^\prime}$の極限を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$であることは用いてよい．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$をとり，$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の第$1$象限にある部分を$C$とする．$3$点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$，$\mathrm{R}$は$C$の周上にあり，$2y_1=y_2$および$\angle \mathrm{AOP}=4 \angle \mathrm{AOR}$を満たすものとする．直線$\mathrm{OQ}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{Q}^\prime$，直線$\mathrm{OR}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{R}^\prime$とする．$\angle \mathrm{AOP}=\theta$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}^\prime$と点$\mathrm{R}^\prime$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{BR}^\prime}{\mathrm{BQ}^\prime}$の極限を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$であることは用いてよい．