座標平面上の放物線$y=-x^2+2$を$C_1$とし，$0<t<\sqrt{2}$に対して，$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,\ -t^2+2)$をとる．点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に平行な直線を$\ell$とする．また，点$\mathrm{P}$を通り，$y$軸を軸とし原点を頂点とする放物線を$C_2$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)放物線$C_2$の方程式を求めよ．
(2)放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積$S_2(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$S_2(t)$の$0<t<\sqrt{2}$における最大値とそのときの$t$を求めよ．
(4)放物線$C_1$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とするとき，$S_1(t)=S_2(t)$となる$t$を求めよ．

座標平面上の放物線$y=-x^2+2$を$C_1$とし，$0<t<\sqrt{2}$に対して，$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,\ -t^2+2)$をとる．点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に平行な直線を$\ell$とする．また，点$\mathrm{P}$を通り，$y$軸を軸とし原点を頂点とする放物線を$C_2$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)放物線$C_2$の方程式を求めよ．
(2)放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積$S_2(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$S_2(t)$の$0<t<\sqrt{2}$における最大値とそのときの$t$を求めよ．
(4)放物線$C_1$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とするとき，$S_1(t)=S_2(t)$となる$t$を求めよ．

座標平面上の放物線$y=-x^2+2$を$C_1$とし，$0<t<\sqrt{2}$に対して，$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,\ -t^2+2)$をとる．点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に平行な直線を$\ell$とする．また，点$\mathrm{P}$を通り，$y$軸を軸とし原点を頂点とする放物線を$C_2$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)放物線$C_2$の方程式を求めよ．
(2)放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積$S_2(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$S_2(t)$の$0<t<\sqrt{2}$における最大値とそのときの$t$を求めよ．
(4)放物線$C_1$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とするとき，$S_1(t)=S_2(t)$となる$t$を求めよ．

座標平面上の曲線$C:y=e^x$に対し，次の問に答えよ．

(1)原点から曲線$C$に引いた接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた図形$D$を図示せよ．
(3)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
(4)部分積分法を用いて，不定積分$\displaystyle I=\int \log y \, dy$，$\displaystyle J=\int (\log y)^2 \, dy$を求めよ．
(5)$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(4,\ 0)$，$\mathrm{P}(t,\ 0)$をとる．ただし，$0<t<4$とする．さらに放物線$C:y=-x^2+7x$上に$2$点$\mathrm{B}(4,\ 12)$，$\mathrm{Q}(t,\ -t^2+7t)$をとる．$\triangle \mathrm{APB}$の面積を$f(t)$とし，放物線$C$，線分$\mathrm{PQ}$，線分$\mathrm{OP}$によって囲まれた図形の面積を$g(t)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$f(t)$を$t$を用いて表せ．
(2)$g(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$h(t)=f(t)+g(t)$とおく．$0<t<4$における$h(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

$f(x)=x^3+2x^2-x-2$とし，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における$C$の接線を$\ell$とおく．$\ell$が$2$直線$x=-1$，$x=1$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$t$が$-1<t<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{OQR}$の面積を$S(t)$とおく．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S(t)$の最小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．
(4)$t<1$のとき，$\ell$と$C$が$t<s<1$を満たす点$\mathrm{U}(s,\ f(s))$で交わるような$t$の範囲を求めよ．またそのとき，線分$\mathrm{PU}$と$C$とで囲まれる部分の面積と，線分$\mathrm{UR}$と$C$と直線$x=1$とで囲まれる部分の面積が等しくなるような$t$の値を求めよ．

$f(x)=x^3+2x^2-x-2$とし，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における$C$の接線を$\ell$とおく．$\ell$が$2$直線$x=-1$，$x=1$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$t$が$-1<t<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{OQR}$の面積を$S(t)$とおく．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S(t)$の最小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．

中心が原点$\mathrm{O}$で半径が$a$の定円$C_1$上を，半径$\displaystyle \frac{a}{4}$の円$C_2$が内接しながらすべることなく回転する．円$C_2$上の点$\mathrm{P}$は最初に点$\mathrm{A}(a,\ 0)$にあるとする．円$C_2$の中心を$\mathrm{B}$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$\angle \mathrm{AOB}=\theta$とする．$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$を$a,\ \theta$で表しなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$a,\ \theta$で表しなさい．
(3)$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，動点$\mathrm{P}$が移動する距離を求めなさい．

座標平面上の原点$\mathrm{O}$，$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2} \right)$，$\displaystyle \mathrm{Q} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2} \right)$の$3$点を通る放物線$y=ax^2+bx+c$を$C_1$とし，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)放物線$C_1$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)放物線$C_1$と円$C_2$で囲まれた図形のうち，放物線$C_1$の上側の部分の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)整式$P(x)$は，$\displaystyle P \left( \frac{5}{3} \right)=\frac{8}{3}$と$\displaystyle P \left( -\frac{7}{2} \right)=-\frac{5}{2}$を満たす．$P(x)$を$6x^2+11x-35$で割った余りを求めよ．
(2)座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 3,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ s,\ t)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$，原点を$\mathrm{O}$とする．$\mathrm{OG} \perp \mathrm{AG}$，$\mathrm{OG} \perp \mathrm{AB}$となるときの$s$と$t$の値を求めよ．
(3)変量$x$の値が$x_1,\ x_2,\ x_3$のとき，その平均値を$\overline{x}$とする．分散$s^2$を
\[ \frac{1}{3}\{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+(x_3-\overline{x})^2 \} \]
で定義するとき，$s^2=\overline{x^2}-(\overline{x})^2$となることを示せ．ただし$\overline{x^2}$は${x_1}^2,\ {x_2}^2,\ {x_3}^2$の平均値を表す．