$-\sqrt{2} \leqq x \leqq \sqrt{2}$の範囲で，点$\mathrm{P}$は放物線$y=-x^2+2$上を動き，点$\mathrm{Q}$は放物線$y=x^2-2$上を動く．ただし，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$は異なる点とする．

(1)直線$\mathrm{PQ}$が原点を通るとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値と最小値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ．

$-\sqrt{2} \leqq x \leqq \sqrt{2}$の範囲で，点$\mathrm{P}$は放物線$y=-x^2+2$上を動き，点$\mathrm{Q}$は放物線$y=x^2-2$上を動く．ただし，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$は異なる点とする．

(1)直線$\mathrm{PQ}$が原点を通るとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値と最小値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ．

数直線上の点$\mathrm{Q}$は，はじめは原点$x=0$にあり，さいころを投げるたびに以下のルールに従って移動する．$\mathrm{Q}$が$x=a$にあるとき，
\begin{itemize}
出た目が$1$ならば$x=a$にとどまる．
出た目が$2,\ 3$ならば$x=a+1$へ動く．
出た目が$4,\ 5,\ 6$ならば$x=0$に戻る（$a=0$ならば動かない）．
\end{itemize}

(1)整数$a \geqq 0$に対して，さいころを$3$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=a$にある確率を求めよ．
(2)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=0$にある確率を求めよ．
(3)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=1$にある確率を求めよ．

原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする．円$C_1$に外接しながら，半径$1$の円$C_2$がすべることなく回転する．円$C_2$の中心を$\mathrm{P}$とし，円$C_2$上の点$\mathrm{Q}$は最初，$x$軸上の点$\mathrm{A}(3,\ 0)$にあるものとする．半直線$\mathrm{PQ}$上で点$\mathrm{P}$からの距離が$2$の点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{OP}$が$x$軸の正の向きとなす角を$\theta$とする．$C_2$が回転して$\theta$が$0$から$2\pi$まで変化するとき，点$\mathrm{R}$が描く曲線を$C$とする．曲線$C$の概形を図$1$に示す．以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り$x$軸と平行な直線を$\ell$とする．直線$\ell$と線分$\mathrm{PR}$のなす角$\alpha$を，$\theta$を用いて表せ．また，$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)曲線$C$と$x$軸の共有点の座標をすべて求めよ．
(4)曲線$C$と$y$軸の共有点の座標をすべて求めよ．
(5)点$\mathrm{R}$の$x$座標が最小となるときの点$\mathrm{R}$の座標をすべて求めよ．
(6)曲線$C$と$x$軸，$y$軸に囲まれた図$2$の斜線部分の面積を求めよ．

$xy$平面の直線$y=(\tan 2 \theta)x$を$\ell$とする．ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$とする．図で示すように，円$C_1$，$C_2$を以下の$(ⅰ)$～$\tokeishi$で定める．

(i) 円$C_1$は直線$\ell$および$x$軸の正の部分と接する．
(ii) 円$C_1$の中心は第$1$象限にあり，原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_1$は$\sin 2\theta$である．
(iii) 円$C_2$は直線$\ell$，$x$軸の正の部分，および円$C_1$と接する．
\mon[$\tokeishi$] 円$C_2$の中心は第$1$象限にあり，原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_2$は$d_1>d_2$を満たす．

円$C_1$と円$C_2$の共通接線のうち，$x$軸，直線$\ell$と異なる直線を$m$とし，直線$m$と直線$\ell$，$x$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．

(1)円$C_1,\ C_2$の半径を$\sin \theta,\ \cos \theta$を用いて表せ．
(2)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ．
(3)$(2)$の最大値を与える$\theta$について直線$m$の方程式を求めよ．
（図は省略）

数直線上の点$\mathrm{Q}$は，はじめは原点$x=0$にあり，さいころを投げるたびに以下のルールに従って移動する．$\mathrm{Q}$が$x=a$にあるとき，
\begin{itemize}
出た目が$1$ならば$x=a$にとどまる．
出た目が$2,\ 3$ならば$x=a+1$へ動く．
出た目が$4,\ 5,\ 6$ならば$x=0$に戻る（$a=0$ならば動かない）．
\end{itemize}

(1)整数$a \geqq 0$に対して，さいころを$3$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=a$にある確率を求めよ．
(2)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=0$にある確率を求めよ．
(3)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=1$にある確率を求めよ．

数直線上の点$\mathrm{Q}$は，はじめは原点$x=0$にあり，さいころを投げるたびに以下のルールに従って移動する．$\mathrm{Q}$が$x=a$にあるとき，
\begin{itemize}
出た目が$1$ならば$x=a$にとどまる．
出た目が$2,\ 3$ならば$x=a+1$へ動く．
出た目が$4,\ 5,\ 6$ならば$x=0$に戻る（$a=0$ならば動かない）．
\end{itemize}

(1)整数$a \geqq 0$に対して，さいころを$3$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=a$にある確率を求めよ．
(2)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=0$にある確率を求めよ．
(3)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=1$にある確率を求めよ．

$a,\ b,\ c$および$d$は実数で，$a>0$，$b<0$，$d \neq 0$とする．また
\[ f(x)=ax+b,\quad g(x)=x^2+cx+d \]
とおく．$xyz$空間内に$3$点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$があり，点$\mathrm{O}$は原点を表す．点$\mathrm{P}_0(-4,\ 0,\ 4 \sqrt{3})$は定点で，$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$はそれぞれ実数$t$の値に応じて定まる点$\mathrm{P}_1(-t,\ f(t),\ 2 \sqrt{3})$，$\mathrm{P}_2(t,\ g(t),\ 0)$である．この$3$点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$が次の$3$条件をみたしているとき，定数$a,\ b,\ c,\ d$の値をすべて求めなさい．


(i) $t=0$のとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2$のなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$である．
(ii) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1$の長さの最小値は$\sqrt{14}$である．
(iii) 点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$は，$t=1$および$t=-3$のとき，それぞれ同一平面上にある．

数直線上の点$\mathrm{Q}$は，はじめは原点$x=0$にあり，さいころを投げるたびに以下のルールに従って移動する．$\mathrm{Q}$が$x=a$にあるとき，
\begin{itemize}
出た目が$1$ならば$x=a$にとどまる．
出た目が$2,\ 3$ならば$x=a+1$へ動く．
出た目が$4,\ 5,\ 6$ならば$x=0$に戻る（$a=0$ならば動かない）．
\end{itemize}

(1)整数$a \geqq 0$に対して，さいころを$3$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=a$にある確率を求めよ．
(2)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=0$にある確率を求めよ．
(3)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=1$にある確率を求めよ．

曲線$\displaystyle y=-x^2+\frac{3}{2}$上の点$\mathrm{P}(x,\ y) (y \geqq 0)$から原点$\mathrm{O}$が中心で半径が$1$である円に$2$本の接線を引き，それらの接点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．四角形$\mathrm{PAOB}$の面積の最大値$M$，最小値$m$とそれらを与える点$\mathrm{P}$の座標をそれぞれ求めよ．