$k>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，2点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$は曲線$\displaystyle y=\frac{1}{k}x^2$上にあり，かつ$\triangle \mathrm{OAB}$は正三角形とする．また，$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円を$S$とし，$\mathrm{C}$をその中心とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)中心$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)円$S$の方程式を求めよ．
(3)$T$を中心$\mathrm{D}(3k,\ -2k)$，半径$k$の円とする．$T$上の点$\mathrm{P}$から円$S$へ2本の接線を引いて，その接点を$\mathrm{E},\ \mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{CP}$の長さを$t$として，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$を$k$と$t$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{P}$が円$T$上を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$の最大値と最小値を求めよ．

$k>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，2点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$は曲線$\displaystyle y=\frac{1}{k}x^2$上にあり，かつ$\triangle \mathrm{OAB}$は正三角形とする．また，$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円を$S$とし，$\mathrm{C}$をその中心とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)中心$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)円$S$の方程式を求めよ．
(3)$T$を中心$\mathrm{D}(3k,\ -2k)$，半径$k$の円とする．$T$上の点$\mathrm{P}$から円$S$へ2本の接線を引いて，その接点を$\mathrm{E},\ \mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{CP}$の長さを$t$として，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$を$k$と$t$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{P}$が円$T$上を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$の最大値と最小値を求めよ．

$xy$平面上に点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$と，原点を中心とする半径1の円$C$を考える．$C$上の点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に垂直な直線を$\ell$とし，$\ell$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$\mathrm{P}$の$x$座標を$a$とするとき，$f(a)=\mathrm{AQ}+\mathrm{PQ}$を$a$を用いて表しなさい．
(2)(1)で求めた関数$f(a)$の$-1 \leqq a \leqq 1$における最大値を求めなさい．

半径1の円周上に等間隔に並んだ8個の点がある．これらの中から相異なる3個の点を同時に選び，それらを結んで三角形をつくる．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)何種類の異なる三角形がつくられるかを答えなさい．ただし，合同な三角形は同じものとみなすことにする．
(2)面積が最大の三角形がつくられる確率と，その三角形の面積を求めなさい．
(3)つくられる三角形の面積の期待値を求めなさい．

平面上に異なる2点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$がある．$\mathrm{A}$を通る直線$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$ \\
と$\mathrm{B}$を通る直線$m_1,\ m_2,\ m_3$が図のように交わっており， \\
直線$\ell_1$と$m_1$の交点を$\mathrm{P}$，$\ell_2$と$m_2$の交点を$\mathrm{Q}$，$\ell_3$と$m_3$の \\
交点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$\ell_1$と$\ell_3$，$\ell_2$と$\ell_3$，$m_1$と$m_2$，$m_2$ \\
と$m_3$のなす角はすべて$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であり，$\displaystyle 0<\angle \mathrm{PAB}<\frac{\pi}{3}$， \\
$\displaystyle 0<\angle \mathrm{PBA}<\frac{\pi}{3}$である．$\alpha=\angle \mathrm{PAB}$，$\beta=\angle \mathrm{PBA}$として，次の問いに答えなさい．
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(1)$\angle \mathrm{APB}+\angle \mathrm{AQB}$を求めなさい．
(2)5点$\mathrm{A}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$が同一円周上にあることを示しなさい．
(3)5点$\mathrm{A}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$を通る円の半径が1であるとき，五角形$\mathrm{AQRBP}$の面積を$\sin \alpha$，$\sin \beta$，$\sin 2 \alpha$，$\sin 2 \beta$を用いて表しなさい．

$\angle \mathrm{ACB}$が直角の$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．また，$\mathrm{AB}=20$，$\mathrm{BD}=15$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABD}$の内接円の半径$r$と，外接円の半径$R$を求めよ．

半径$2$の円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{BD}$がこの円の直径であるとする．$\mathrm{AD}=3$，$\mathrm{CD}=2$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
(2)$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とし，$\angle \mathrm{AEB}=\theta$とする．このとき，$\sin \theta$の値を求めよ．

空間内に三角形$\mathrm{ABC}$と定点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面$S$とがある．点$\mathrm{P}$が$S$上のすべての点を動くときの$\mathrm{AP}^2+\mathrm{BP}^2+\mathrm{CP}^2$の最大値，最小値をそれぞれ$M,\ m$とするとき，次の問に答えよ．ただし，三角形$\mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$は$\mathrm{OG}>1$をみたすものとする．

(1)$M=\mathrm{AQ}^2+\mathrm{BQ}^2+\mathrm{CQ}^2$となる$S$上の点を$\mathrm{Q}$，$m=\mathrm{AR}^2+\mathrm{BR}^2+\mathrm{CR}^2$となる$S$上の点を$\mathrm{R}$とするとき，$3$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{G}$は$1$直線上にあることを示せ．
(2)$\sqrt{M-(\mathrm{GA}^2+\mathrm{GB}^2+\mathrm{GC}^2)}-\sqrt{m-(\mathrm{GA}^2+\mathrm{GB}^2+\mathrm{GC}^2)}$の値は三角形$\mathrm{ABC}$に無関係に定まることを示し，その値を求めよ．

$1$辺の長さが$a$の正八面体について，次の問に答えよ．

(1)表面積$S$を求めよ．
(2)体積$V$を求めよ．
(3)この正八面体に内接する球の半径$r$を求めよ．

$0 \leqq \theta \leqq \pi$は$\cos(2\theta) = \cos(3\theta)$を満たす．
次の問に答えよ．

(1)$\alpha - \beta = 2 \theta,\ \alpha+\beta = 3\theta$を満たす$\alpha,\ \beta$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\theta$の値を求めよ．
(3)$\cos\theta$の値を求めよ．
(4)$1$辺の長さが$1$の正五角形$\mathrm{ABCDE}$の外接円の半径を$R$とする．$R^2$の値を求めよ．