$n$を$3$以上の自然数とする．平面上の点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接する正$n$角形の面積を$a_n$，外接する正$n$角形の面積を$b_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_n$を求めよ．
(2)$b_n$を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{b_n}{a_n}<\frac{4}{3}$となる最小の$n$を求めよ．


\mon[補足：] 円に内接する正$n$角形とは，円周を$n$等分して隣り合う点を線分で結んでできる正$n$角形をいう．円に外接する正$n$角形とは，円周を$n$等分した各点において円の接線をひき，隣り合う点における$2$つの接線の交点を頂点とする正$n$角形をいう．

四角形$\mathrm{ABCD}$の各辺が，下の図のように点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$で円$\mathrm{O}$に外接している．このとき，次の問題に答えよ．
（図は省略）

(1)$\mathrm{AB}+\mathrm{CD}=\mathrm{BC}+\mathrm{DA}$を証明せよ．
(2)円$\mathrm{O}$の半径が$1$のとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を$\mathrm{AB}$と$\mathrm{CD}$を用いて表せ．

円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$があり，$\mathrm{AD}=5$，$\mathrm{BC}=10$，対角線$\mathrm{BD}=\sqrt{91}$，$\angle \mathrm{BAD}=120^\circ$である．

(1)$\mathrm{AB}=[][]$であり，三角形$\mathrm{ABD}$の面積は$\displaystyle S_1=\frac{[][] \sqrt{3}}{2}$である．
(2)三角形$\mathrm{BCD}$の面積が$\displaystyle S_2=\frac{45 \sqrt{3}}{2}$であれば，$\mathrm{DC}=[][]$である．
(3)この円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{273}}{[][]}$である．
(4)この円の中心を$\mathrm{O}$としたとき，三角形$\mathrm{BOD}$の面積は$\displaystyle S_3=\frac{91 \sqrt{3}}{[][]}$である．

次の問に答えよ．

(1)$\left( \begin{array}{cc}
1+a & 1 \\
4 & 3+3a
\end{array} \right)$が逆行列をもたないような$a$の値をすべて求めよ．
(2)$xy$平面上の曲線$y=\sqrt{x-1}+1$と直線$y=x-6$の交点の座標を求めよ．
(3)媒介変数表示
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=4 \cos^2 \theta \\
y=4 \cos \theta \sin \theta
\end{array} \right. \]
の表す円の方程式，および中心の座標と半径を求めよ．

次の$[　]$にあてはまる答を求めよ．

(1)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=4$である三角形$\mathrm{ABC}$を考える．$\cos \angle \mathrm{BAC}$の値は$[　]$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[　]$である．また，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[　]$である．さらに，三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心を$\mathrm{I}$とし，直線$\mathrm{AI}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AI}$の長さを線分$\mathrm{ID}$の長さで割った$\displaystyle \frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{ID}}$の値は$[　]$である．
(2)放物線$y=x^2-4x+3$を$C$とおく．点$(2,\ -5)$から$C$に引いた$2$本の接線の方程式は$y=[　]$と$y=[　]$である．これら$2$本の接線と$C$で囲まれた図形の面積は$[　]$である．

一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\angle \mathrm{ADM}=\theta$としたとき，$\cos \theta$の値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[　]}}{[　]}$である．頂点$\mathrm{A}$から$\mathrm{MD}$へ下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とすると，$\mathrm{AH}$の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{[　]}}{[　]}$であり，この正四面体の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[　]}}{[][]}$である．また，この正四面体に内接する球の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[　]}}{[][]}$である．

次の各問に答えよ．

(1)$\mathrm{A}$地点から$15 \, \mathrm{km}$離れた$\mathrm{B}$地点まで行くのに，初めは時速$4 \, \mathrm{km}$で歩き，途中から時速$6 \, \mathrm{km}$で歩くことにする．$\mathrm{A}$地点を出発後，$3$時間以内に$\mathrm{B}$地点に到着するためには，時速$4 \, \mathrm{km}$で歩ける距離は最大で$[ア] \, \mathrm{km}$である．
(2)半径$2 \sqrt{6}$の円に内接する正三角形の$1$辺の長さは$[イ] \sqrt{[ウ]}$である．
(3)中心が$(-2,\ 3)$で，$y$軸に接する円の方程式は$x^2+y^2+[エ]x-[オ]y+[カ]=0$である．
(4)$3^n$の一の位の数字が$1$になる正の整数$n$の最小値は$[キ]$であり，$3^{102}$の一の位の数字は$[ク]$である．
(5)数直線上の集合$A=\{x \;|\; 2<x<9 \}$，$B=\{x \;|\; k<x<k+2 \}$（ただし，$k$は定数）において，$A \cap B$が空集合となるような$k$の値の範囲は$k \leqq [ケ]$または$[コ] \leqq k$である．
(6)白玉$3$個，赤玉$5$個の計$8$個の玉が入った箱の中から同時に$4$個の玉を取り出すとき，白玉も赤玉もともに取り出される確率は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[スセ]}$である．
(7)方程式$\displaystyle 9^x=\frac{3}{27^x}$の解は$\displaystyle x=\frac{[ソ]}{[タ]}$である．
(8)関数$f(x)=-2x^3-6x^2+9$の極大値は$[チ]$，極小値は$[ツ]$である．

次の文中の$[ア]$～$[ホ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい．

点$\mathrm{A}$の座標を$(4,\ 0)$，点$\mathrm{B}$の座標を$(0,\ 3)$とし，点$\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$を通る直線$L$と点$\mathrm{A}$で接する半径$r$の円を考える．このような円は，直線$L$より上の領域と下の領域にそれぞれ存在する．直線$L$より上の領域に存在する円を$C_1$，下の領域に存在する円を$C_2$とする．また，点$\mathrm{B}$を通る円$C_1$へのもう$1$本の接線が円と接する点を$\mathrm{P}_1$，同じく，点$\mathrm{B}$を通る円$C_2$へのもう$1$本の接線が円と接する点を$\mathrm{P}_2$とする．
（図は省略）
(1)円の半径$r$が線分$\mathrm{AB}$の長さ$R$と等しいとする．
円$C_1$の中心の座標は$([ア],\ [イ])$，円$C_2$の中心の座標は$([ウ],\ [エ])$である．
また，点$\mathrm{P}_1$の座標は$([オ],\ [カ])$，点$\mathrm{P}_2$の座標は$([キ],\ [ク])$である．
(2)円の半径$r$が線分$\mathrm{AB}$の長さ$R$の$2$倍であるとする．
円$C_1$の中心の座標は$([ケ][コ],\ [サ])$，円$C_2$の中心の座標は$([シ],\ [ス])$である．
点$\mathrm{B}$と円$C_1$の中心を通る直線は，線分$\mathrm{AP}_1$を垂直二等分する．その交点を$\mathrm{Q}_1$とする．同様に，点$\mathrm{B}$と円$C_2$の中心を通る直線は，線分$\mathrm{AP}_2$を垂直二等分する．その交点を$\mathrm{Q}_2$とする．
点$\mathrm{B}$と円$C_1$の中心を通る直線の式は$\displaystyle y=\frac{[セ]}{[ソ]}x+[タ]$であり，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}_1$を通る直線の式は，$\displaystyle y=-\frac{[ソ]}{[セ]}x+[チ]$と表すことができる．
同様に，点$\mathrm{B}$と円$C_2$の中心を通る直線の式は$\displaystyle y=\frac{[ツ][テ]}{[ト]}x+[タ]$であり，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}_2$を通る直線の式は，$\displaystyle y=-\frac{[ト]}{[ツ][テ]}x+\frac{[ナ]}{[ニ][ヌ]}$と表すことができる．
点$\mathrm{Q}_2$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ネ]}{[ノ]},\ \frac{[ハ]}{[ノ]} \right)$，点$\mathrm{P}_2$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ヒ][フ]}{[ヘ]},\ \frac{[ホ]}{[ヘ]} \right)$となる．

$xy$平面上に$2$つの円$C_1:x^2+(y-3)^2=4$，$C_2:(x-4)^2+y^2=9$がある．次の問に答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の接点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[　]}{[　]},\ \frac{[　]}{[　]} \right)$である．
(2)原点を中心とし，$C_1$と$C_2$の両方に接する円を$C_3$とすると，$C_3$の半径は$[　]$である．
(3)$C_1,\ C_2,\ C_3$が接する$3$つの接点を通り，軸が$y$軸と平行な放物線の頂点の座標は
$\displaystyle \left( \frac{[　]}{[][]},\ -\frac{[　]}{[][]} \right)$である．

次の$[　]$にあてはまる数を記入せよ．

(1)直線$(1-k)x+(1+k)y-k-3=0$は定数$k$の値によらず定点$\mathrm{A}$を通る．このとき，定点$\mathrm{A}$の座標は，$([　],\ [　])$である．また，中心が点$\mathrm{A}$で，直線$x+y=5$に接する円の半径は$[　]$となる．
(2)空間の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 2,\ -3)$，$\mathrm{B}(1,\ -1,\ 1)$において，線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{C}$の座標は，$([　],\ [　],\ [　])$である．また，このとき，$\cos \angle \mathrm{AOC}=[　]$となる．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=6$とする．また，$\angle \mathrm{BAC}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[　]$となり，$\mathrm{BP}=[　]$，$\mathrm{AP}=[　]$となる．$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径を$r$とすると，$r=[　]$である．
(4)$4$つの数
$\log_2 (\log_4 (\log_8 16))$，$\log_4 (\log_8 (\log_2 16))$，$\log_8 (\log_2 (\log_4 16))$，$\log_2 (\log_8 (\log_4 16))$の大小を比較すると，$[　]<[　]<[　]<[　]$となる．